上海嘉定区江桥中学高三数学文模拟试题含解析

上海嘉定区江桥中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.将函数的图象向左平移个单位，得到图象对应的解析式为（

）A．

B．C．

D．参考答案：D将函数的图像向左平移个单位，得故选D.2.执行如图所示程序框图，如果输入的，则输出的n=（

）A.3 B.4 C.5 D.6参考答案：C【分析】运行程序，分别计算各次循环所得n,S，判断S与0.1的大小，确定输出值.【详解】当时，，当时，，当时，，当时，，，选C．【点睛】本题考查流程图循环结构，满足条件退出循环，考查运算能力及逻辑推理能力，属于基础题.3.已知f（x）=x2（1nx﹣a）+a，则下列结论中错误的是（）A．?a＞0，?x＞0，f（x）≥0 B．?a＞0，?x＞0，f（x）≤0C．?a＞0，?x＞0，f（x）≥0 D．?a＞0，?x＞0，f（x）≤0参考答案：C【考点】全称命题．【专题】导数的综合应用；简易逻辑．【分析】先利用导数求出函数f（x）的最小值，再转化为函数f（x）≥0恒成立，构造函数设g（a）=e2a﹣1+a，再利用导数求出a的值，问题的得以解决【解答】解：∵f（x）=x2（1nx﹣a）+a，x＞0，∴f′（x）=x（21nx﹣2a+1），令f′（x）=0，解得x=，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x=，函数有最小值，最小值为f（）=e2a﹣1+a∴f（x）≥f（）=e2a﹣1+a，若f（x）≥0恒成立，只要e2a﹣1+a≥0，设g（a）=e2a﹣1+a，∴g′（a）=1﹣e2a﹣1，令g′（a）=0，解得a=当a∈（，+∞）时，g′（a）＜0，g（a）单调递减，当x∈（0，）时，g′（a）＞0，g（a）单调递增∴g（a）＜g（）=0，∴e2a﹣1+a≤0，当且仅当a=时取等号，存在唯一的实数a=，使得对任意x∈（0，+∞），f（x）≥0，故A，B，D正确，当a≠时，f（x）＜0，故C错误故选：C【点评】本题考查了利用导数函数恒成立的问题，关键构造函数g（a），属于中档题4.现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是（）A．① B．①② C．②③ D．①②③参考答案：B【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】根据题意，画出编号为①、②、③的三棱锥的直观图，判断是否存在侧面与底面互相垂直的情况即可．【解答】解：编号为①的三棱锥，其直观图可能是①，其侧棱VC⊥底面ABC，∴侧面VAC⊥底面ABC，满足条件；编号为②的三棱锥，其直观图可能是②，其侧面PBC⊥平面ABC，满足条件；编号为③的三棱锥，其直观图可能为③，其中不存在侧面与底面互相垂直的情况．综上，满足题意的序号是①②．故选：B．5.如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N≥2)和实数a1,a2,…,aN，输出A,B，则（A）A+B为a1,a2,…,aN的和（B）为a1,a2,…,aN的算术平均数（C）A和B分别是a1,a2,…,aN中最大的数和最小的数（D）A和B分别是a1,a2,…,aN中最小的数和最大的数参考答案：C6.已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆

(

)半径为1，则该几何体体积为

A．

B．C．

D．参考答案：A7.设全集，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略8.袋子里装有编号分别为“1、2、2、3、4、5”的6个大小、质量相同的小球，某人从袋子中一次任取3个球，若每个球被取到的机会均等，则取出的3个球编号之和大于7的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】基本事件总数n==20，利用列举法求出取出的3个球编号之和不大于7的基本事件个数，由此能求出取出的3个球编号之和大于7的概率．【解答】解：袋子里装有编号分别为“1、2、3、4、5”的6个大小、质量相同的小球，某人从袋子中一次任取3个球，每个球被取到的机会均等，基本事件总数n==20，取出的3个球编号之和不大于7的基本事件有：122，123，123，124，124，223，共有6个，∴取出的3个球编号之和大于7的概率为：p=1﹣=．故选：B．9.若函数在其定义域内有且只有一个零点，则实数的取值范围为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D试题分析：∵函数在其定义域内有且只有一个零点，∴有且只有一个解，∴在上有且只有一个解，∵，∴或，①当时，作函数与的图象如下，②时，的解为（成立），③当时，可化为，，且，，故有两个不同的正根；故实数的取值集合为，故选：D．考点：函数零点的判定定理.10.下列函数与相等的是(

)A．

B．

C． D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，…，观察以上等式，若（m，n，k均为实数），则m+n－k=_______.参考答案：7912.给出下列四个命题：①命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题为假命题；②命题p：?x∈R，sinx≤1．则￢p：?x0∈R，使sinx0＞1；③“φ=+kπ（k∈Z）”是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；④命题p：“?x0∈R，使sinx0+cosx0=”；命题q：“若sinα＞sinβ，则α＞β”，那么（￢p）∧q为真命题．其中正确的序号是

．参考答案：②③【考点】命题的真假判断与应用．【专题】阅读型；简易逻辑．【分析】①可由互为逆否命题的等价性，先判断原命题的真假；②由含有一个量词的命题的否定形式，即可判断；③运用诱导公式，以及余弦函数为偶函数，即可判断；④首先判断命题p，q的真假，再由复合命题的真假，即可判断．【解答】解：①命题“若α=，则tanα=1”为真命题，由互为逆否命题的等价性可知，其逆否命题是真命题，故①错；②命题p：?x∈R，sinx≤1．则￢p：?x0∈R，使sinx0＞1，故②对；③函数y=sin（2x+φ）为偶函数，由诱导公式可知，φ=+kπ（k∈Z），反之成立，故③对；④由于sinx+cosx=sin（x）≤，故命题p为假命题，比如α=﹣300°，β=30°，满足sinα＞sinβ，但α＜β，故命题q为假命题．则（￢p）∧q为假命题，故④错．故答案为：②③【点评】本题考查简易逻辑的知识：四种命题的真假、命题的否定、充分必要条件的判断，同时考查函数的奇偶性，三角函数的化简，属于基础题．13.|2x﹣1|≥3的解集是．参考答案：（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）【考点】绝对值不等式的解法．【分析】利用绝对值不等式的解法可知，|2x﹣1|≥3?2x﹣1≥3或2x﹣1≤﹣3，从而可得答案．【解答】解：∵|2x﹣1|≥3，∴2x﹣1≥3或2x﹣1≤﹣3，解得x≥2或x≤﹣1，∴不等式|2x﹣1|≥3的解集是：（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．14.过抛物线的焦点作倾角为的直线，与抛物线分别交于、两点（在轴左侧），则

．参考答案：【解析】：15.设函数则

。参考答案：略16.在平面直角坐标系中，为坐标原点，动点到点与到点的距离之比为，已知点，则的最大值为

．参考答案：17.阅读右侧程序框图，则输出的数据为__________．参考答案：易知执行结果．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为：ξ 0 2

3 4 5p 0.03

0.24 0.01 0.48 0.24（1）求q2的值；（2）求随机变量ξ的数学期望Eξ；（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．参考答案：考点：古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）记出事件，该同学在A处投中为事件A，在B处投中为事件B，则事件A，B相互独立，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果．（2）根据上面的做法，做出分布列中四个概率的值，写出分布列算出期望，过程计算起来有点麻烦，不要在数字运算上出错．（3）要比较两个概率的大小，先要把两个概率计算出来，根据相互独立事件同时发生的概率公式，进行比较．解答： 解：（1）设该同学在A处投中为事件A，在B处投中为事件B，则事件A，B相互独立，且P（A）=0.25，P（）=0.75，P（B）=q2，P（）=1﹣q2．根据分布列知：ξ=0时P（）=P（）P（）P（）=0.75（1﹣q2）2=0.03，所以1﹣q2=0.2，q2=0.8；

（2）当ξ=2时，P1=P=（B+B）=P（B）+P（B）=P（）P（B）P（）+P（）P（）P（B）=0.75q2（1﹣q2）×2=1.5q2（1﹣q2）=0.24当ξ=3时，P2=P（A）=P（A）P（）P（）=0.25（1﹣q2）2=0.01，当ξ=4时，P3=P（BB）P（）P（B）P（B）=0.75q22=0.48，当ξ=5时，P4=P（AB+AB）=P（AB）+P（AB）=P（A）P（）P（B）+P（A）P（B）=0.25q2（1﹣q2）+0.25q2=0.24随机变量ξ的数学期望Eξ=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63；

（3）该同学选择都在B处投篮得分超过的概率为P（BB+BB+BB）=P（BB）+P（BB）+P（BB）=2（1﹣q2）q22+q22=0.896；该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72．由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大．点评：本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识．体现数学的科学价值．19.已知直线（t为参数），曲线（为参数）.（1）求直线l与曲线C1的普通方程；（2）已知点，若直线l与曲线C1相交于A，B两点（点A在点B的上方），求的值.参考答案：（1）由直线已知直线（为参数），消去参数得： 曲线（为参数）消去参数得：. （2）设将直线的参数方程代入得：

由韦达定理可得：结合图像可知，由椭圆的定义知：

.

20.已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1．（1）当a=e时，求函数f（x）的单调区间；（2）若对任意x≥0都有f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：＞n+1（n∈N*）．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）a=e时，f（x）=ex﹣ex﹣1，f′（x）=ex﹣e，利用导数的性质求得单调区间．（2）f′（x）=ex﹣a，由x≥0，得出ex≥1．对参数a进行讨论得出a的取值范围．（3）求出x≥ln（x+1），（当且仅当x=0时取等）．取x=，则＞ln（1+），即＞ln（n+1）﹣lnn，累加即可．【解答】解：（1）a=e时，f（x）=ex﹣ex﹣1，f′（x）=ex﹣e，当x＜1时，f′（x）＜0恒成立；当x＞1时，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）的减区间是（﹣∞，1）；增区间是（1，+∞）；（2）f′（x）=ex﹣a，∵x≥0，∴ex≥1．①若a≤1，则f′（x）≥0（仅当a=1且x=0时取等号），∴f（x）增于[0，+∞），∴f（x）≥f（0）=0，合乎题意；②若a＞1，令f′（x）=0得，x=lna，易得f（x）在（﹣∞，lna）上单调减，在（lna，+∞）上单调增，而f（0）=0，所以f（x）在（0，lna）上不恒负，不合题意．综上所述知a的取值范围是（﹣∞，1]；（3）欲证e＞n+1（n∈N*），即证1+++…+＞ln（n+1），由（2）知，当a=1时，ex﹣x﹣1≥0，即当x≥0时，x≥ln（x+1），（当且仅当x=0时取等）．取x=，则＞ln（1+），即＞ln（n+1）﹣lnn，同理，＞lnn﹣ln（n﹣1），＞ln（n﹣1）﹣ln（n﹣2），…，1＞ln2﹣ln1，以上各式相加，得1+++…+＞ln（n+1），故原不等式成立．21.如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AD．底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA=AB=BC=3，点E在棱PB上，且PE=2EB．（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PCB；（Ⅱ）求证：PD∥平面EAC；（Ⅲ）求平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【分析】（Ⅰ）根据PA⊥底面ABCD，得到PA⊥BC，结合AB⊥BC，可得BC⊥平面PAB．最后根据面面垂直的判定定理，可证出平面PAB⊥平面PCB．（Ⅱ）利用线面垂直的性质，可得在直角梯形ABCD中AC⊥AD，根据题中数据结合平行线分线段成比例，算出DC=2AB，从而得到△BPD中，PE：EB=DM：MB=2，所以PD∥EM，由线面平行的判定定理可得PD∥平面EAC．（Ⅲ）建立空间直角坐标系，求出平面AEC、平面PBC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，∴PA⊥BC．又AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．又BC?平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB．…（Ⅱ）证明：∵PC⊥AD，∴在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC=，∴∠DCA=∠BAC=，又AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形，∴DC=AC=（AB）=2AB．连接