天津市南开中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页天津市南开中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题一、单选题（本大题共10小题，共50.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.cos675∘的值为(

)A.22 B.−22 C.−2.在▵ABC中，“sinA=sinBA.充要条件 B.充分非必要条件

C.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件3.函数f(x)=lnA.(0,1) B.(1,4.若tanα=3，则1A.−12 B.13 C.±5.函数f(x)=2A.偶函数，在(0,+∞)是增函数 B.奇函数，在(0,+∞)是增函数

C.偶函数，在(6.已知角α的终边上一点P(x,3)，且cosA.15 B.5 C.−15 D.7.设a=log36，b=A.a+b−3(a−1)8.若3sinx−3cosx=A.2π3 B.5π6 C.9.函数f(x)=cosA.

B.

C.

D.10.将函数f(x)=sinx的图像先向右平移π3个单位，再把所得函数图像横坐标变为原来的1ω(ω>0)A.(0,1] B.0,2二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.已知集合A= xlog2x≤112.函数f(x)=x13.已知a>0,b>0,14.已知函数y=sin(ωx+φ)15.天津之眼，全称天津永乐桥摩天轮，是世界上唯一一个桥上瞰景的摩天轮．如图，已知天津之眼的半径是55m，最高点距离地面的高度为120m，开启后按逆时针方向匀速转动，每30min转动一圈．喜欢拍照的南鸢同学想坐在天津之眼上拍海河的景色，她在距离地面最近的舱位进舱．已知在距离地面超过92.5m的高度可以拍到最美的景色，则在天津之眼转动一圈的过程中，南鸢同学可以拍到最美景色的时间是16.已知函数f(x)=x2+(3−a三、解答题（本大题共3小题，共36.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题12.0分)(1)计算：(2)已知sinα+18.(本小题12.0分)已知函数f((1(2)当x∈−19.(本小题12.0分)已知函数f(x)(1)求函数(2)判断函数(3)是否存在实数a，使得当x∈[m,n]时，答案和解析1.【答案】A

【解析】【分析】本题考查诱导公式，属于较易题．

利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得．【解答】解：

cos675∘故选：A．2.【答案】A

【解析】【分析】本题考查充分必要条件的判断．

结合三角形内角与充分、必要条件的知识确定正确选项．【解答】解：在

▵ABC

中，

所以

，所以在

▵ABC

中，“

sinA=sin故选：A3.【答案】B

【解析】【分析】本题考查函数零点所在区间的判断．

首先判断函数的单调性，再根据零点存在定理判断即可．【解答】解：因为

f(x)=lnx−1x2

定义域为

(0,+∞)

，

且

f(x)=lnx−1x2

在

(0,+∞)

上单调递增，

又

f(1)=ln1故选：B4.【答案】B

【解析】【分析】本题主要考查三角函数的二倍角公式、同角三角函数的关系等，属于基础题．

由tanα【解答】

解：由tanα=sinαcosα=3，

结合二倍角公式和同角三角函数的关系，5.【答案】B

【解析】【分析】本题考查函数单调性和奇偶性的判断，属于基础题．

利用奇偶性定义判断

f(x)

的奇偶性，根据解析式结合指数函数的单调性判断

【解答】解：由

f(−x)=2−x−又

y=2x

是增函数，

∴

f(x故选：B．6.【答案】B

【解析】【分析】本题考查三角函数的定义，属于基础题．

由三角函数的定义可列方程解出

x

，需注意

x

的范围．【解答】解：由三角函数定义

cosα=解得

x=±5

，由cosα>0

，知x故选：B．7.【答案】D

【解析】【分析】本题考查对数的运算，属于中档题．

根据题意可得a=log36=【解答】

解：依题意得a=log36=1+log32，b=1+8.【答案】D

【解析】【分析】本题考查正弦型函数性质，涉及辅助角公式．

化简已知条件，结合0<φ<2π【解答】解：依题意

3sinx233所以

φ=-π6+2k由于

0<φ<2π

故选：D9.【答案】D

【解析】【分析】本题考查函数图像的识别．

先判断奇偶性排除C，再利用

f(0)=1

【解答】解：因为函数f(x)的定义域为R，且

f(−x)=因为

f(0)=当

x>0

时，

f(x)=当

0<x<3π4

时，

f′(x)<0

故选：D．10.【答案】C

【解析】【分析】本题考查函数y=根据y=Asin(ω【解答】解：函数f(x)=sin再将图象上每个点的横坐标变为原来的1ω(ω>0得到函数g(x)=sin由x∈π2若函数g(x)在(则(∴

3ωπ2−π3又kπ≤ω当k=0时，解23≤ω≤8∴ω故选C．11.【答案】1,【解析】【分析】本题考查集合交集运算，属于基础题．

由对数函数单调性，求出集合A，再根据交集的定义即可求解．【解答】解：

∵A= xlog2∴A∩故答案为：

1,212.【答案】3

【解析】【分析】本题主要考查了分段函数的零点，属于基础题．

分段分别求出f(x)【解答】

解：当x≥0时，f(x)=x2−2x，

令x2−2x=0得，x=2或x=0，

当x<0时，f13.【答案】

94【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题．

利用基本不等式中“1”的妙用即可求解．【解答】解：因为

a>0所以

a+4b=141a+1b(所以

a+4b

的最小值为

故答案为：

94

14.【答案】

−π【解析】【分析】本题考查正弦型函数的图象与性质，属于基础题．

由图象可得最小正周期

T

的值，进而可得

ω

，又函数图象过点

π3,1

，利用

【解答】解：由图可知

T4=7π12−π3=π4

，因为

ω>因为函数

y=sin(2x+φ)所以

sin2×π3+φ所以

φ=-π故答案为：

−π615.【答案】10

【解析】【分析】本题考查三角函数在实际生活中的应用，属于中档题．

借助三角函数模型，设

H=Asin(ωt+φ)+k

，以轴心

【解答】解：如图，设座舱距离地面最近的位置为点

P

，

以轴心

O

为原点，与地面平行的直线为

x

轴，建立直角坐标系．设

t=0min

时，南鸢同学位于点

P(0,-55)

，以根据摩天轮转一周大约需要

30min

，可知座舱转动的角速度约为

π15由题意，可得

H=55sinπ15t令

H=-55cosπ15t+65≥92所以南鸢同学可以拍到最美景色的时间是

20−10故答案为：10．16.【答案】[1【解析】【分析】本题考查分段函数与不等式综合，属于中档题．

原问题等价于

x≥1

时，

x−lna≥0

恒成立和

【解答】解：由题意，因为

∀x∈R

，不等式

所以

x≥1

时，

x−lna≥0

恒成立，即

x<1

时，

x2+(3令

1−x=t(t>0由对勾函数的单调性知

y=-t+4t+5

在

所以

t=2

时，

−t+4t+5max=−2+42+5=1

，所以故答案为：

[17.【答案】解：(1)依题意，=sin=sin30(2)将

sinα+2cos即

1+2sin2α+所以

tan2α

【解析】本题考查同角三角函数的基本关系以及三角恒等变换，属于中档题．

(1(218.【答案】解：(1)依题意，

f则

T=2π2=π

，由

2所以函数

f(x)

的最小正周期为

π

，对称轴方程为

(2)由(1)知，因

−π3而正弦函数

y=sinx

在

[-5π6由

−5π6≤2x−π6≤−π2

因此f(x)

在

[-π3,-f(x)min=f(−π6所以函数

f(x)

的单调递减区间是

[-π3,-

【解析】本题考查三角恒等变换以及正弦型函数性质，属于中档题．

(1)利用倍角公式、辅助角公式化简函数

f(2)确定函数

f19.【答案】解：(1)由题意知要使

F(x)

有意义，则有3−所以函数的定义域为：

x(2)由(1)知函数F(F∴

函数

F(x)

为

(3)

F假设存在这样的