2021-2022学年北师大版九年级数学上册《正方形的性质与判定》习题

1.3《正方形的性质与判定》习题1

一、选择题

1.下列性质中正方形具有而菱形不具有的是（）

A.对角线互相平分B.对角线相等

C.对角线互相垂直D.每一条对角线平分一组对角

2.下列命题不正确的的是（）

A.对角线相等且互相平分的四边形是矩形

B.对角线互相垂直是菱形具有而矩形不一定具有的性质

C.有一个角的是直角的四边形是矩形

D.对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形

3.如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形，剪口与折痕

所成锐角的大小为（）

A.30。B.45，C.60。D.90s

4.四边形ABCD的对角线AC与BD相等且互相垂直，则顺次连接这个四边形四边的中点得到四

边形是（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

5.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件:①AB=BC,②NABC=90°,

③AC=BD,④ACLBD中选两个作为补充条件，使口ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法,

你认为其中错误的是（）

6.下列说法：

①四边相等的四边形一定是菱形

②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形

③对角线相等的四边形一定是矩形

④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分

其中正确的有（）个.

A.4B.3C.2D.1

7.用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形;

⑤等腰三角形；⑥等边三角形，一定能拼成的图形是（）

A.①④⑤B.②⑤⑥C.①②③D.①②⑤

8.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边则/5后。为（）

AD

RC

A.15°B.35°C.45°D.55°

9.如图，边长为a的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形A'8'C'。'，图中阴影部

分的面积为()

G

Dr

A.4azB.AC.(1-^)a2D.（1-乌a?

2343

10.如图，正方形ABCD中，AE=AB,直线DE交BC于点F,则NBEF=（)

11.如图，正方形ABCD中，AB=6,点E在边CD上，且CD=3DE,将"DE沿AE对折至AAFE,

延长EF交边BC于点G,连接AG、CF,则（）

A.6B.2.4C.3.6D,4.8

12.如图，正方形力做9的边长为10,AG=CH£,BG=DH』,连接G〃，则线段做的长为（）

A.2.8B.2&C.2.4D.3.5

13.如图，正方形/用力的边长为8,〃在〃。上，且〃Q2,/V是/。上一动点，则"Vh阶的最

14.如图，矩形ABCD中，AB=10,AD=4,点E从D向C以每秒1个单位的速度运动，以AE

为一边在AE的右下方作正方形AEFG.同时垂直于CD的直线MN也从C向D以每秒2个单位的

速度运动，当经过（）秒时，直线MN和正方形AEFG开始有公共点

C.3D.3.5

二、填空题

L如图，在大正方形中剪去一个小正方形，再将图中的阴影剪拼成一个长方形，如图2,这个

长方形的长为24,宽为16,则图2中S2部分的面积是

51

图2

2.如图，等边△如。在正方形4%/内，连接口、EB,则N/曲的度数是

3.如图，正方形ABCD中，点E在边BC上，ZBAE=n°.如果在边AB、CD上分别找一点F、G,

使FG=AE,FG与AE相交于点0,那么NG0E的大小等于

4.在锐角三角形ABC中，AH是边BC的高，分别以AB,AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG,

连接CE,BG和EG,EG与HA的延长线交于点M,下列结论：①BG=CE；②BGLCE；③AM是4AEG

的中线；④NEAM=NABC.其中正确的是

三、解答题

1.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC的中点，连接AF、DE相交于点G,求证:

AF1DE.

2.已知：如图，在正方形ABC。中，对角线相交于点。，点E,厂分别是边上的

点，且NEO尸=90°.

求证：CE=DF.

BC

E

3.正方形ABCD与正方形CEFG的位置如图所示，点G在线段CD或CD的延长线上，分别连接

BD、BF、FD,得到用BFD.

(1)在图1、图2、图3中，若正方形CEFG的边长分别为1、3、4,且正方形ABCD的边长均为

3,请通过计算填写下表：

正方形CEFG的边

134

长

.盘BFD的面积

⑵若正方形CEFG的边长为a,正方形ABCD的边长为6,猜想S.%的大小，并结合图3证明

你的猜想.

4.如图，四边形4?5为正方形，连接4c

(1)请用尺规作图法在边比上求作一点尸，使得点尸到的距离等于鳍的长度.(保留作图

痕迹，不写作法)

⑵若正方形46徵的边长为4,求(1)中所得的即的长

4^-------------\D

BC

5.已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF

(1)求证：BE=DF；

⑵连接AC交EF于点0,延长0C至点M,使0M=0A,连接EM、FM.判断四边形AEMF是什么

特殊四边形？并证明你的结论.

6.已知：如图，在正方形/阅9中，点反夕在对角线"'上，且4斤6F.

(1)求证：DE//BF

(2)若四边形加期的面积为8,但^,则正方形边长为

7.如图，在RtZSABC中，ACB=90°,过点C的直线MN〃AB,D为AB边上一点，过点D作DE_L

BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD、BE.

(1)求证：四边形ADEC是平行四边形；

(2)当D在AB中点时，请解答下面两个问题：

①求证：四边形BECD是菱形

②当NA的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由.

8.同学们：八年级下册第9章我们学习了一种新的图形变换——旋转，图形旋转过程中蕴含

着众多数学规律，以图形旋转为依托构建的解题方法是解决各类几何问题的常用方法.

图②

(1)(问题提出)

如图①，在正方形/腼中，乙必A“5°，点M/V分别在边6C、勿上.求证：，的三因/+加：

证明思路如下:

第一步：如图②，将△ADN绕点力按顺时针方向旋转90°得到△45£,再证明£氏"三点

在一条直线上.

第二步：证明

请你按照证明思路写出定擘的证明过程.

(2)(初步思考)

如图③，四边形ABCD和CEFG为正方形，连接。C、BE,得到4DCG和ABCE.

下列关于这两个三角形的结论：①周长相等；②面积相等；③4CB舁4CDG.

其中所有正确结论的序号是.

图③

答案

一、选择题

1.B.2,C3.B.4.D.5,C.6.C.7.D,8.C.9.D.

10.B.11.C12.B.13.D.14.A.

二、填空题

1.64

2.150°.

3.90°或(90-2n)°.

4.①②③④.

三、解答题

1.证明：二•四边形ABCD为正方形

.\AB=BC=CD=AD,ZABF=ZDAE=90°,

又：E,F分别是边AB.BC的中点

.\AE=-AB.BF=-BC

22

?.AE=BF.

在AABF与4DAE中，

DA=AB

<NDAE=ABF,

AE=BF

..△DAE-ABF(SAS).

.\ZADE=ZBAF,

VZBAF+ZDAG=90°,

.\ZADG+ZDAG=90°,

.,.ZDGA=90°,

即AF±DE.

2.解：：四边形ABCD为正方形，

>\0D=0C,Z0DF=Z0CE=45°,ZC0D=90°,

VZE0F=90°,即NC0E+NC0F=90°,

二.ZC0E=ZD0F,

.,.△COE之△DOF(ASA),

，CE=DF.

9

3.(1)都是|■⑵如图，连接CF,有正方形的性质可知

4DBC=NFCE=45°

：.BD//CF

.•.△BDE/BCO的高相同

:.S^BFD=S„BCD=-b1

4.(1)由角平分线的性质得：点P为NBAC的角平分线与边BC的交点

分以下三步作图：

①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AC于点M,交AB于点N

②分别以点M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点0

③过点A、0作射线，与边BC交于点P

则如图所示，点P即为所作；

⑵如图，过点P作尸于点Q,则8P=P。

V四边形ABCD是边长为4的正方形

AB=AC=4,ZB=90°,4PCQ=45°

AC=y]AB2+BC2=472

BP=PQ

在R^ABP和Rt^AAQP

AP-AP

Rt^ABP三RtSQP(HL)

：.AB=AQ=4

CQ=AC-AQ=40-4

又PQ±AC,ZPCQ=45°

•••放ACPQ是等腰直角三角形

PQ=CQ=4立-4

BP=PQ=4y/2-4.

AD

5.（1）证明：5四边形ABCD是正方形,

，AB=AD,NB=ND=90°,

在RtAABE和RtAADF中，

..AD=AB

*AF=AE'

.,.RtAADF^RtAABE（HL）

.\BE=DF；

（2）四边形AEMF是菱形，理由为：

证明：•.,四边形ABCD是正方形，

二ZBCA=ZDCA=45°（正方形的对角线平分一组对角），

BC=DC（正方形四条边相等），

：BE=DF（已证）,

二BC-BE=DC-DF（等式的性质），

即CE=CF,

在ACOE和acoF中，

CE=CF

<ZACB=ZACD,

oc=oc

二.△COE四△COF（SAS）,

/.OE=OF,

又OM=OA,

二四边形AEMF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）,

VAE=AF,

二平行四边形AEMF是菱形.

6.⑴连接BD,交AC于点0,

在正方形ABCD中，0B=0D,0A=0C,

VAE=CF,

AOA-AE=OC-CF,

?.OF=OE,

二四边形BEDF是平行四边形，

，DE〃BF；

(2)：四边形ABCD是正方形,

.\OA=OD,OA±OD,

.\OD=OE+AE=OE+^,

.四边形DEBF是平行四边形,OA±OD,

二四边形DEBF是菱形，

,/四边形DEBF的面积为8,

/.yBD*EF=8,

即gx20D・20E=8,

.•.OD・0E=4,

V0D=0E+72,

/.0E=V2,0D=2Q,

?.AD=V20D=4,

故答案为：4.

7.(1)证明:VZACB=90°,DEIBC,

AZACB=ZDFB=90°,

AACDE,

又：MN〃AB,，CE〃AD,

?.四边形ADEC是平行四边形；

(2)①四边形BECD是菱形，理由：

•.•/ACB=90°,点D为AB的中点，四边形ADEC是平行四边形，

.,.CD=-^AB=AD=BD,CE=AD,

；.CE=AD,

；CE〃AD,