2022-2023学年上海华二附中高二年级上册开学摸底考数学试卷及答案

华二附中2022学年第一学期高二年级数学开学摸底测验

2022.9

一、填空题(本大题共54分，其中1-6小题每遗4分,7-12题每题5分)

3"-1

1.lim——：——

283向+1

2.已知cos6=-g，则sin|e+')=:

3.过点(-1,-2)斜率为3的直线的点斜式方程是：

4.若复数z满足z(l+i)=1-i(i为虚数单位)，则其共物复数z=;

5.数列｛%｝的前n项和S“=+1,则an=;

6.已知向量2=(1,-2),6=(3,4),则向量1在向量B的方向上的投影向量为

7.已知直线I的一个法向量是ii=(1,-2)，则/的倾斜角的大小是：

8.已知复数z=a+bi｛a,beR)满足|z|=1，则ab范围是;

9.已知平面向量％B满足|2)+B|=|1-3B|=1,则|5+B|的取值范围是;

10.已知数列｛氏｝满足=l,a„+1-ane｛%,勺,…,％｝("€N*),记数列｛。“｝的前〃项和为

S”.若对所有满足条件的｛q,｝，Eo的最大值为A/、最小值为加，则

M+m-;

11.设数列｛4｝满足q=2,4=6,%=12,数列｛%｝前〃项和为5“，且

*二^g=3(〃wN*且〃22).若［x］表示不超过x的最大整数,&=9卢，数列

出｝的前〃项和为7；，则T2020=;

1

12.向量集合S=｛Ha=（x,y）,x,yeR].对于任意&，夕eS;以及任意/lw（O,l），都有

+（1-㈤/eS,则称S为“C类集”.现有四个命题：

⑴若S为“C类集”，则集合〃=｛曲|万eS｝（〃为实常数）也是“C类集”；

⑵若S,T都是“C类集”，则集合/=产+雨€叶也是“C类集”;

⑶若4,A2都是“c类集”，则4uA2也是“c类集”；

（4）若4,4都是“c类集”，且交集不是空集，则4cA2也是“c类集”.

其中正确的命题有；（填写所有正确命题的序号）

二、选择题（本大题共20分，每题5分）

2〃一1n

13.用数学归纳法正明j->--y对任意n>k,（n,k€N）的自然数都成立，则k的最小值

为（）

A.l.B.2.C.3.D.4.

14.已知。是直线的倾斜角，则"sina=孝”是二；”的（）

4.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

a—4ci>4

15.已知数列｛4｝的首项q=a,且0<〃44,%+1=《""，S“是此数列的前〃项

〔6-%a„<4

和，则以下结论正确的是（）

A.不存在a和〃使得S,,=2021B.不存在a和〃使得S,,=2022

C.不存在。和〃使得Sn=2023D.不存在。和〃使得Sn=2024

16.在平面直角坐标系中，已知4（-1,0）、5（1,0）.若对于y轴上的任意〃个不同的点

E,…匕,总存在两个不同的点6，5&=L2,…,使得卜in—sinN/P/区:,

2

则〃的最小值为()

A.3B.4C.5D.6

三、简答题(本大题共76分)

17.(本题共14分，有2个小题，其中第1小题满分6分，第2小题满分8分)

设直线I的方程是2x+吵-1=0，其倾斜角为a.

nTT

(1)若工＜a＜生，求实数加的取值范围；

63

(2)若将倾斜角a用m表示，求a关于m的函数关系.

18.(本题14分,其中第1小题满分6分，第2小题满分8分)

对任意复数z=x+yi(x,yeR),定义g(z)=3*(cosy+isiny).

(1)若g(z)=3，求复数z；

⑵若z=a+bi(a,beH)中的“为常数，则令g(z)=/(b),对任意6,是否一定有常数

m(m丰0)使得/(b+〃?)=/(b)?若存在，则m是否唯一?请说明理由.

3

19.（本题共14分,其中第1小题满分6分，第2小题满分8分）

某地实行垃圾分类后，政府决定为A,B,C三个小区建造一座垃圾处理站〃，集中处理三个小

区的湿垃圾.已知/在8的正西方向，。在8的北偏东30°方向，〃在8的北偏西20°方向,

且在C的北偏西45°方向，小区A与B相距2Km,8与C相距3Km.

（1）求垃圾处理站M与小区。之间的距离；

（2）假设有大、小两种运输车，车在往返各小区、处理站之间都是直线行驶，一辆大车的行车

费用为每公里a元，一辆小车的行车费用为每公里4。元（其中人为满足10（M是1-99内的正

整数）.现有两种运输湿垃圾的方案：

方案1:只用一辆大车运输，从M出发，依次经过A,B,C再由。返回到M：

方案2:先用两辆小车分别从A、C运送到8燃后并各自返回到A、C,,辆大车从M直接到8

再返回到〃.试比较那种方案更合算?请说明理由.

（本大题结果精确到小数点后两位）

4

20.(本题共16分,其中第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)

已知函数f(x)=sin((yx+^)((y>0,0<^<^)的周期为万，图像的一个对称中心为(£■,())

将函数/(x)图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图像向右平移

JT

3个单位长度后得到函数g(x)的图像.

(1)求函数/(X)与g(x)的解析式；

(2)是否存在/€仁,()使得/(%)苗(5),/仁)8a)按照某种顺序成等差数列?若存

在，诸求出该数列公差绝对值的取值范围;若不存在,请说明理由.

(3)求实数。与正整数〃，使得/(x)=/。)+卷。)在(0,〃万)内恰有2016个零点.

5

21.（本题共18分,其中第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

定义:若数列｛c“｝和｛<｝满足q,>0,<〉0,且c„+1=芸（〃eN”,则称数列｛<｝是

化+力

数列｛c.｝的“伴随数列”.已知数列｛〃｝是数列｛%｝的伴随数列，试解答下列问题：

（1）若b“=an（〃eN*）,4=应,求数列｛q｝的通项公式;

⑵若如+为常数，求证:数列1%，是等差数列；

册%

（3）若"+1=夜%（〃€^1"）,数列｛。“｝是等比数歹!|,求力、4的数值.

6

参考答案

一、填空题

12,〃=1

'5;3.y+2=3(x+l);4.1;5.a=<；6.-1;

5n2n-l,n>2

9.1<|a+^|<|-;10.1078；11.2021

7.arctan(-2);8.12.①②④

IL设数列｛a“｝满足q=2,与=6,%=12，数歹!l｛%｝前n项和为Sn,且

黑二^^^=3(〃eN*且〃22).若因表示不超过x的最大整数,"=("I/，数列

S“+「S,+1[a_

低｝的前〃项和为Tn，则％20=；

【答案】2021

【解析】•••当啰2时，S"±2-S曰+1=3,...%也+4田+@+1=3,...a,"-2a„+l+a„=2,

S.+「S“+1.+1

；・。“+2-。“+1-(％+i-%)=2，：.｛a“+]｝从第2项起是等差数列又va｝=2,a2=6,%

=12,-2)一一《)=2,用一%=4+2(〃-1)=2〃+2,当时，an=(a„

2/7?

)+(a„_1-a,一2)+…+(%—4)+卬=+2(〃-1)+••■+2x2+2=2x〃。；。=

.(fl+1)-"+1/、—、、|,、cn_l,(〃+IL〃+l,f,

+1),-------------当〃)2时，b“=-----------------=----—1.又，：b、=

明«L%」L〃一

(l+l)2cT

=2,7^O2o-----=2+2019=2021.故选C.

%a2020_

12.向量集合S={H2=(x,y),xjeR}.对于任意a,£eS;以及任意/le(0,l)，都有

+(1—几)AeS,则称S为“C类集现有四个命题:

⑴若S为"C类集”，则集合〃=万eS}(〃为实常数)也是“。类集”;

7

⑵若S,T都是“C类集”，则集合/={£+距"}也是“C类集”；

(3)若M,A2都是“C类集”，则&uA2也是“C类集”；

(4)若同,A2都是“c类集”，且交集不是空集，则4cA2也是“c类集”.

其中正确的命题有;(填写所有正确命题的序号)

【答案】①②④

【解析】(1)若S为“C类集”，则对于任意5、6eS,以及任意丸e(0,1),都有

+(1—/l)AeS，对于集合〃={〃万|万eS}(〃为实常数),可得对于任意向小BwM,以

及任意2e(0,1)都有加1+(1-4)"eM，故正确；

(2)若S为“C类集”，则对于任意%,反eS,以及任意4e(0,1),都有+(1-4)反eS，若

T为"C类集"，则对于任意了,瓦eT，以及任意2e(0,1)，都有2^+(1-⑷瓦eT可得对

于任意ay+a'1&M,"+瓦6/，以及任意2e(0,l),都有

4(%+%)+(1-2)(夕।+夕2)eM，故正确；

⑶若4为“C类集”，则对于任意)，豆e4，以及任意2e(0,1),都有力1+(1-4)耳e4，

若A2为“C类集”，则对于任意之,瓦e4，以及任意几e(0,1)，都有九2+°-％)瓦e4,设

M=4u^2，〃为4，4中元素的合并而得，且不重复，不符合“。类集”的定义，故错误；

(4)若同为“C类集”，则对于任意)，"e4，以及任意2e(0,1)，都有％]+(1—4)耳e4,

若A2为“C类集”，则对于任意0，区e4，以及任意，€(0,1)，都有％2+(1-4)瓦e%,设

M=4c〃2，M为4、4中元素的公共部分，且不为空集，符合“C类集”的定义，故正确.

二、选择题

13.C14.B15.A16.C

16.在平面直角坐标系中，已知4(-1,0)、5(1,0).若对于y轴上的任意〃个不同的点

8

m・P.，总存在两个不同的点匕5（i,/=1,2,…,〃），使得|sinAAP{B-sin乙〃型上:,

则〃的最小值为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】根据题意可知OWsinN/eBWLOWsin//月84,故

卜in乙49一sin乙华*[0』].因为总存在片,《使卜in乙巧8—sin乙巧8归；，所以可

将sinN/E/的值域分成°，；），四个区间，则根据抽屉原

理,〃>1=4,故〃的最小值为5.故选C.

4

三、解答题

arctan(--),/??<0

m

(

兀八

17.(1)-2^3,-(2)a=<—.m-0

2

7t-arctan(一--),m>0

m

18.(1)z=l+2k/ri，(keZ)

,c，，、△八、cos(b+加)=3"cosb口口/cos(6+加)=cos6

⑵由/(6+加)=/(6),则L」《3".、》,人即1•/入、.入，

[3sin(6+m)-3smb[sin(Z?+加)=sinb

所以加=2k兀,k£Z,所以用不是唯一的；

19.(1)x5.44切？

11

(2)在4MBe中，由-MB-=—，得MB=3旦吧x6.857

sin105sin25sin25

在△中,AMBA=70°,48=2MAy]AB2+MB1-2AB-MB-cos70°=6.452

第一种方案费用：

9

=a(\MA\+\AB\+\BC\+\CM\)a(6.452+2+3+5.438)=16.89〃

第二种方案费用：=2。|MB\+2Aa(\AB\+\BC\)a(13.713+102)

y>y2时,0.01W4<0.32，选择方案二合算;

乂<y2时,0.32<玄0.99，选择方一合算

20.(1)解:由函数/(x)=sin(ox+9)的周期为不,(y>0得切=2,又曲线y=f(x)的一个

对称中心为(7,oJ，9€(O,万)，故f：J=sin(2x*+e]=0，得9=1•，所以

/(x)=cos2x.将函数/(x)图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得

rr

y=cosx的图像，再将N=COSX的图像向左平移卷个单位长度后得到函数

g(x)=cos(x-m)的图像，所以g(x)=sinx.

(B—

(2)存在且唯一，注」」

11I22J

(3)a=1,”=1344或a==1344

21.定义:若数列｛&｝和｛4,｝满足c“>0,d”>0,且c,M=:",+4，〃eN*,则称数列｛*｝

旧+戊

是数列｛qj的“伴随数列''.已知数列｛〃｝是数列｛4｝的伴随数列，试解答下列问题：

(1)若”,=a"(〃wN*),“=后，求数列｛a,J的通项公式a.；

,,f/,y

(2)若“M=l+%(〃6N*),4•为常数，求证:数列1%1是等差数列；

%q

(3)若4+]=后％(〃€?4*),数列｛。“｝是等比数歹1」,求6、4的数值.

10

【答案】(1)%=啦,〃eN*

(2)•••〃川=l+%(〃eN*)%>0,2>0,且%=,nwN*

%M十斤

1+九](、2

•—,%=,%，组~=J1+%,〃wN*°

、+32%'

(卜y(by[/,yl/、2

・•・3-2=L〃£N*.・.数列二:是首项为幺、公差为1的等差数列。

<an+\JI〃，J[\an)\bj

a}=y/2

(3)<1.

4=0

(解析】⑴根据题意，有a>0,b,>0,且a=:"+如

nn+],nGN*0

g+b：

由6“二a”(〃wN),/?.=V2，得a..,=」...-=五,ax=b,=V2,/?GN*

27117

M+an

所以a,,=后,〃eN*。

(2)v〃+]=l+%(〃eN*)a“>0,b,>0,且a,_2,+4neN*

+1/90，〃e/v

%加+b；

1+%r

(丫

-a--l%「b“.%_1h

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3-2