2021-2022学年江苏省苏州市昆山市震川高级中学高二（下）期中数学试卷

2021-

2022学年江苏省苏州市昆山市震川高级中学高二（下）期中数学试卷

试题数：22,总分：150

1.（单选题，5分）已知盘产二。仁4,则*的取值为（）

A.7

B.8

C.9

D.10

2.（单选题，5分）已知函数f（x）=lnx+2xMx,则函数f（x）的图象在x=2处的切线方程

为（）

A.9x-y-21n2-18=0

B.9x+2y-21n2+18=0

C.9x+2y-21n2・18=0

D.9x-2y+21n2-18=0

3.（单选题，5分）某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用X（万

元）与销售利润Y（万元）的统计数据如表，由表中数据，得线性回归直线1：y=bx+a,

则下列结论正确（）

广告费用X（万2356

元）

销售利润y（万57911

元）

A.直线1过点（2,5）

B.直线1过点（4,8）

C.a<0

D,变量y和x呈负相关

4.（单选题，5分）现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙3人不能相邻的排法有（）

A.维•庵种

B.（力，就•朗）种

C.Aj种

D.（Al-At）种

5.（单选题，5分）函数f（x）=（x2-x）ex的图象大致是（）

6.（单选题，5分）现有4人去参加甲、乙两个游戏，约定：每人掷一枚质地均匀的骰子，掷

出的点数是3的倍数的人去参加甲游戏，掷出的点数不是3的倍数的人去参加乙游戏.用X,

Y分别表示这4人中去参加甲、乙游戏的人数，记J=|X-Y|,则P解=2）=（）

7.（单选题，5分）若函数/（%）=①x+在区间G，2）上有两个零点，则常数a的取值

范围（）

11

A.—VQ<—F）2

22

B.l<a<-2+ln2

C.l<a<2-ln2

D.e-<a<l

8.（单选题，5分）为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测.现有两种检测方式：

（1）逐份检测；（2）混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为

阴性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检一次就够了，如果检测结果为阳性，

为了明确这k份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，这k

份核酸的检测次数总共为k+1次.假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴

性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为p(0<p<l),若k=5,运用概率

统计的知识判断下面哪个p值能使得混合检测方式优于逐份检测方式.(参考数据：

log50.724«-0.2)()

A.0.7

B.0.2

C.0.4

D.0.5

9.(多选题,5分)若/。22=的+的(x+1)+(12(X+1)2+.“+£12022(%+1)2022,则

()

A.展开式中所有的二项式系数之和为22。22

B.展开式中二项式系数最大的项为第1012项

C.ao=O

D.ai+az+a3+…+a2022=-l

10.(多选题，5分)下列命题正确的是()

A.在回归分析中，相关指数R2越大，说明回归效果越好

B.己知P(K2>3.841)=0.05,若根据2x2列联表得到B的观测值为4.1,则有95%的把握认

为两个分类变量有关

C.已知由一组样本数据(X”yD(i=l,2,n)得到的回归直线方程为9=4x+20,且

；£匕々=10，则这组样本数据中一定有(10,60)

D.若随机变量X〜N(H，4),则不论u取何值，P(n-4<X<n+6)为定值

11.(多选题，5分)已知函数y=/(x),%€(0,5),/'(%)是其导函数，恒有f'(x)cosx>

f(x)sinx,则()

A./g)>V2/g)

B.2/g)>V6/g)

C.1/g)<cosl/(l)

D./g)>2cosl-/(l)

12.(多选题，5分)甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3

个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以Ai，A2和A3表示由甲口

袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取

出的球是红球的事件，则下列结论中错误的是（）

A.Ai，A?,A3是两两互斥的事件

•2

B.P（B\A2-）=-

C.事件A1与事件B相互独立

D.P（B）=|

13.（填空题，5分）为了监控某种食品的生产包装过程，检验员每天从生产线上随机抽取k

（kGN9包食品，并测量其质量（单位：g）.根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下

每包食品质量服从正态分布N（n，J）.假设生产状态正常，记？表示每天抽取的k包食品

中其质量在（n-3a,p+3o）之外的包数，若S的数学期望E⑴>0.02,则k的最小值为

附：若随机变量X服从正态分布N（n，02）,则P（n-3o<X<n+3o）《0.9973.

14.（填空题，5分）已知函数f（x）=ex+ae*在［0,1］上不单调，则实数a的取值范围为—

15.（填空题，5分）随机变量E的分布列如表，其中［wpw］,则当p=—时，E（?）取最大

值；当p=一时，D（p有最大值.

123

PP12

33"P

xex—X2—2x(xv1)

f2x-3(x>n一,当虻(-8,m］时，f(x)的

取值范围为xC（-8,1-1］,则实数m的取值范围是

17.（问答题，10分）已知（城+/）2n的展开式的二项式系数和比（3.1）n的展开式的二

项式系数和大992.求（2%-的展开式中，

（1）二项式系数最大的项；

（2）系数最小的项.

18.（问答题，12分）如图，一个正方形花圃被分成5份.

（1）若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿

4种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法？

（2）若将这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法?

19.(问答题，12分)已知函数f(x)=(x+1).ex.

(1)求函数f(x)的极值：

(2)若f(x)>ax2,对任意的x>0恒成立，求a的取值范围.

20.(问答题，12分)某化工厂为预测产品的回收率y,需要研究它和原料有效成分含量x之

间的相关关系，现收集了4组对照数据.

X2468

y36710

(1)请根据相关系数r的大小判断回收率y与x之间是否存在高度线性相关关系；(精确到

小数点后两位)

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程夕=6x+6,并预

测当x=10时回收率y的值.

参考数据：口,力―立重,]=碑驾萼，a=y-bx.

J票13-目2.优式的_"Y,i=1Xi-nx

|r|1>0.8<0.3其他

x,y相关关系完全相关不相关高度相关低度相关中度相关

21.(问答题，12分)为了解昆山震川高级中学中学高二年级学生身视力情况，对高二年级

(1)班-(8)班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行视力监测.

经统计，每班10名学生中视力监测成绩达到优秀的人数散点图如表：(x轴表示对应的班号,

y轴表示对应的优秀人数)

班号12345678

人数86947598

(1)若用散点图预测高二年级学生视力情况，从高二年级学生中任意抽测1人，求该生视力

监测成绩达到优秀的概率；

(2)若从以上统计的高二(2)班的10名学生中按分层抽样抽出5人，再从5人中任取2

人，设X表示2人中视力监测成绩达到优秀的人数，求X的分布列及其数学期望；

(3)假设每个班学生视力优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的视力优秀率相等.现在

从每班中分别随机抽取1名同学，用飞k=l”表示第k班抽到的这名同学视力优秀，yk=0”表示

第k班抽到的这名同学视力不是优秀(k=l,2,8).写出方差D(米)，D(&),D

(&),D(&)的大小关系.

22.(问答题，12分)设函数f(x)=-a2lnx+x2-ax(aGR).

(1)试讨论函数f(x)的单调性；

(2)设(p(x)=2x+(a2-a)Inx,记h(x)=f(x)+(p(x),当a>0时，若方程h(x)

=m(meR)有两个不相等的实根x"x2,证明：h'(警)>0.

2021-

2022学年江苏省苏州市昆山市震川高级中学高二(下)期中数学试卷

参考答案与试题解析

试题数：22,总分：150

1.(单选题，5分)已知C*"2=c^4,则*的取值为()

A.7

B.8

C.9

D.10

【正确答案】：D

【解析】：根据已知条件，结合组合数公式，即可求解.

【解答】：解：TC菰2=。54,

•••x+2+x-4=18或x+2=x-4,解得x=10或无解，

故x的取值为10.

故选：D.

【点评】：本题主要考查组合数公式，属于基础题.

2.(单选题，5分)已知函数f(x)=lnx+2x2-4x,则函数f(x)的图象在x=2处的切线方程

为()

A.9x-y-21n2-18=0

B.9x+2y-21n2+18=0

C.9x+2y-21n2-18=0

D.9x-2y+21n2-18=0

【正确答案】：D

【解析】：对函数f(x)求导，由导数的几何意义可得所求切线的斜率，再根据f(2)=ln2

及点斜式方程即可得解.

【解答】：解：f'M=^+4x-4,则((2)=[+8-4=1，

・•・函数f(x)的图象在x=2处的切线的斜率为1

又f（2）=ln2+2x22-8=ln2,

;由直线的点斜式方程可得y-仇2=久％-2）,即9x-2y+21n2-18=0.

故选：D.

【点评】：本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于基础

题.

3.（单选题，5分）某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用X（万

元）与销售利润丫（万元）的统计数据如表，由表中数据，得线性回归直线Z：y=bx+a,

则下列结论正确（）

广告费用X（万2356

元）

销售利润y（万57911

元）

A.直线1过点（2,5）

B.直线1过点（4,8）

C.a<0

D.变量y和x呈负相关

【正确答案】：B

【解析】：求出回归方程，对照四个选项一一判断即可.

对于A：求出经过（2,5.2）,即可判断；对于B：直线1过样本中心点；

对于C：计算出a=2.4>0,即可判断；对于D：由5=1.4>0判断正相关.

【解答】：解：由表中数据计算元=12+3+5+6）=4,9=［（5+7+9+11）=8,

所以线性回归直线经过样本中心点（4,8）,所以B正确；

又27=1（阳-土）（7i—y）=（—2）X（—3）+（―1）x（―1）+1x14-2x3=14,

£匕（阳一x）2=（一2/+（-1）2+12+22=10,所以（=<=1.4,

所以变量y和x呈正相关，故D错误；

所以6=9一6元=8—1.4x4=2.4,所以C错误；

所以回归方程为y=1.4x+2.4,当x=2时，y=1.4x2+2.4=5.2.所以直线过点（2,52）,故

A错误.

故选：B.

【点评】：本题考查了线性回归方程的应用，属于基础题.

4.（单选题，5分）现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙3人不能相邻的排法有（）

A.鹿•福种

B.（感一服•用）种

C.Al・Al种

D.（感-舞）种

【正确答案】：B

【解析】：采用逆向思维利用总数减去全部相邻的即可.

【解答】：解：T8个人排成一排照相，减去甲、乙、丙三人全相邻排法，

共有A88-A6^A33,

故选：B.

【点评】：本题考查排列组合及简单计数问题，在题目中要求元素不相邻，这种问题一般采用

插空法，先排一种元素，再在前面元素形成的空间，排列不相邻的元素.

5.（单选题，5分）函数f（x）=（x2-x）ex的图象大致是（）

【正确答案】：B

【解析】：根据题意，先分析f(x)的符号，排除AC,再求出函数的导数，分析f(x)的单

调性，排除D,即可得答案.

【解答】：解：根据题意，f(x)=(x2-x)ex,

在区间(-8,0)上，(x2-x)>0,ex>0,则有f(x)>0,函数图像在x轴上方，排除C,

同理：在区间(0,1)上，有f(x)<0,函数图像在x轴下方，在区间(1,+oo)上，有f

(x)>0,函数图像在x轴上方，排除A,

f(x)=(x2+x-l)ex,令F(x)=0,即x2+x-l=0,解可得*=三遗或三遗，

在区间(-00,三芝)上，f(x)>0,函数f(x)为增函数，

在区间(三包，三匹)上，f'(x)<0,函数f(x)为减函数，

在区间(匚手，+8)上，f(x)>0,函数f(x)为增函数，排除D,

故选：B.

【点评】：本题考查函数图象的分析，涉及函数单调性、特殊值的分析，属于基础题.

6.(单选题，5分)现有4人去参加甲、乙两个游戏，约定：每人掷一枚质地均匀的骰子，掷

出的点数是3的倍数的人去参加甲游戏，掷出的点数不是3的倍数的人去参加乙游戏.用X,

Y分别表示这4人中去参加甲、乙游戏的人数，记《=|X-Y|,则P(彳=2)=()

【正确答案】：A

【解析】：根据己知条件，结合二项分布的概率公式，即可求解.

【解答】：解：这4人中，每人去参加甲游戏的概率为去参加乙游戏的概率为|,

设"这4人中恰有i人去参加甲游戏”为事件A(i=0,1,2,3),

则P(4)=以窗(|广‘，

Pg)=P(%)+P0)=C“J(|y+盘(丁(|)】=黑

故选：A.

【点评】：本题主要考查二项分布的概率公式，属于基础题.

7.(单选题，5分)若函数/a)=1nx+：—a在区间G，2)上有两个零点，则常数a的取值

范围()

A.-■<a<—+ln2

22

B.Ka<-+ln2

2

C.l<a<2-ln2

i

D.-<a<l

e

【正确答案】：B

【解析】：依题意，函数g(x)=仇久+1的图象与直线y=a在6，2)上有两个不同的交点，

利用导数研究函数g(x)的图象，观察图象即可得出答案.

【解答】：解：令/(%)=+§—a=0,WInx+-=a,

依题意，函数g(x)="工+：的图象与直线y=a在(},2)上有两个不同的交点，

由g'(x)=：妥=昼,易知函数g(X)在&1)上单调递减,在(1,2)上单调递增,

且在x=l处取得极小值g(1)=1,

又。0=2-m2,^(2)=|+/n2,g(J>g(2),作出函数g(x)的草图及直线y=a的图

由图象可知，满足题意的实数a的取值范围为(1,j+/n2).

故选：B.

【点评】：本题考查函数零点与方程根的关系，考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值,

考查数形结合思想，属于中档题.

8.(单选题，5分)为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测.现有两种检测方式：

(1)逐份检测；(2)混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为

阴性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检一次就够了，如果检测结果为阳性，

为了明确这k份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，这k

份核酸的检测次数总共为k+1次.假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴

性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为p(0<p<l),若k=5,运用概率

统计的知识判断下面哪个p值能使得混合检测方式优于逐份检测方式.(参考数据：

logs0.724«-0.2)()

A.0.7

B.0.2

C.0.4

D.0.5

【正确答案】：B

【解析】：分别求出两种检测的期望值，再结合对数函数的公式比较二者的大小，即可求解.

【解答】：解：设混合检测方式，样本需要检测的总次数Y可能取值为1,6,

P(Y=l)=(1-p)5,p(Y=6)=1-(1-p)5,

所以E(Y)=lx(1-p)s+6x[l-(1-p)5]=6-5x(1-p)5,

设逐份检测，样本需要检测的总次数X,则E(X)=5,

若混合检测方式优于逐份检测方式，需E(Y)<E(X),即6-5x(1-p)s<5,即(1一p)5

>r

即1-p>5-0-2,

••,log50.724«-0.2,

1-p>5Zo^0-724=0,724,

•­•0<p<0.276.

故选：B.

【点评】：本题考查了离散型随机变量的期望，属于中档题.

2022

9.(多选题,5分)若％2。22=%+。式%+1)++1)2H----i-a2Q22(X+l),则

()

A.展开式中所有的二项式系数之和为22。22

B.展开式中二项式系数最大的项为第1012项

C.ao=O

D.ai+az+ajH---Fa2022=-l

【正确答案】：ABD

【解析】：因为X2O22=[-1+(x+l)]2022=ao+ai(x+l)+a2(x+1)2+...+a2022(%+1)2022,

选项A：根据二项式系数和公式即可判断求解；选项B：根据n的值以及二项式系数性质即可

判断；选项C：令x+l=0即可求解；选项D：令x+l=l,建立方程即可求解.

2

【解答】：解：因为X2022—-1+(x+l)]2022=a0+(Zj(X+1)+O2(X+I)+...+a

2。22(%+1)2022,

选项A:展开式的二项式系数和为22022,故A正确，

选项B：因为n=2022,所以展开式的二项式系数的最大项为第1012项，故B正确，

选项C：令x+l=0,则a0=(-1)2°22=1,故c错误，

选项D：令x+l=l,则ao+ai+.“+a2O22=O，所以ai+a2+...+a2022=0-l=-l»故D正确，

故选：ABD.

【点评】：本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题.

10.(多选题，5分)下列命题正确的是()

A.在回归分析中，相关指数R2越大，说明回归效果越好

B.已知P(K2>3.841)=0.0知若根据2X2列联表得到K2的观测值为4.1,则有95%的把握认

为两个分类变量有关

C.已知由一组样本数据(x“yD(i=l,2,…，n)得到的回归直线方程为夕=4x+20,且

；2仁1々=10，则这组样本数据中一定有(10,60)

D.若随机变量X〜N(山4),则不论“取何值，P(n-4<X<n+6)为定值

【正确答案】：ABD

【解析】：A.在回归分析中，利用相关指数R2的大小，即可判断出正误；

B.根据P(e33.841)=0.05,根据2x2列联表得到》的观测值为4.1,即可判断出结论;

C.根据回归直线方程为夕=4x+20,由5=10,得到夕=60是一个估计值，即可判断出结

论；

D.若随机变量X〜N(山4),x=黑为对称轴，P(n-4<X<^+6)与p取值无关，即可判断

出结论.

【解答】：解：A.在回归分析中，相关指数R2越大，说明回归效果越好，正确；

B.由P(K2Z3.841)=0.05,根据2x2列联表得到K?的观测值为4.1,则有95%的把握认为

两个分类变量有关，正确；

C.根据回归直线方程为夕=4久+20,由元=10,得到夕=60是一个估计值，因此这组样本

数据中不一定有(10,60),因此不正确；

D.若随机变量X〜N(p,4),x=n为对称轴，则不论u取何值，P(p-4<X<p+6)为定值,

正确.

故选:ABD.

【点评】：本题考查了回归分析相关指数R2的性质、回归直线方程的应用、独立性检验原理、

正态分布列的性质，考查了推理能力与数据分析，属于基础题.

11.(多选题，5分)已知函数y=/(%),xe(0,9,/'(%)是其导函数，恒有f'(x)cosx>

f(x)sinx,则()

A./g)>V2/g)

B.2/g)>V6/g)

C.1/g)<cosl/(l)

D./g)>2cosl-/(l)

【正确答案】：ABD

【解析】：由已知不等式考虑构造函数g(x)=f(x)cosx,并对其求导，结合导数分析出函

数单调性，利用单调性检验各选项即可判断.

【解答】：解：令g(x)=f(x)cosx,

因为x€(0,时，。(x)cosx>f(x)sinx,

贝ijg'(x)=f(x)cosx-f(x)sinx>0,

所以g(x)在(0,1)上单调递增，

所以g>g(9，即“《)>曲(9，

所以f(三)>V2f(7)，A正确；

34

因为g(">g("，即日花)>当黑)，

化简得2f(-)>V6f(-),B正确；

46

因为g(2)<g(1)，即(?)<coslf(1),

626

所以工f(-)<^coslf(1),C错误：

263

因为g(j)>g(1),gp|f(^)>f(1)cosl.

所以f(g)>2f(1)cosl,D正确.

故选：ABD.

【点评】：本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于中档题.

12.(多选题，5分)甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3

个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以Ai，A2和A3表示由甲口

袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取

出的球是红球的事件，则下列结论中错误的是()

A.Ai，Az，A3是两两互斥的事件

-2

C.事件A1与事件B相互独立

D.P(B)=|

【正确答案】：CD

【解析】：根据已知条件，结合互斥事件的概念和条件概率公式，即可求解.

【解答】：解：由题意得可知A1，A?,A3是两两互斥的事件，故A正确；

2211

VP(Al)=b，P(A2)=^=|,P(A3)=：,

・•.p(B|A2)=需=苧=1，故B正确；

P(B)=P(BAi)+P(BA)+P(BA)=—X—+-X—4-ix—=—,

23111051121110

P(B|Ai)彳P(B),

事件A,与事件B不独立，故C、D错误；

故选：CD.

【点评】：本题考查了独立事件、互斥事件及对立事件的判断与概率的计算，属于基础题.

13.(填空题，5分)为了监控某种食品的生产包装过程，检验员每天从生产线上随机抽取k

(kGNO包食品，并测量其质量(单位：g).根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下

每包食品质量服从正态分布N(口，J).假设生产状态正常，记孑表示每天抽取的k包食品

中其质量在(U-3。，n+3a)之外的包数，若E的数学期望E(，)>0.02,则k的最小值为

附：若随机变量X服从正态分布N(n，制)，则p(R-3a<X<n+3o)a0.9973.

【正确答案】：[1]8

【解析】：由特殊区间的概率得(止3。，n+3o)之外的概率P=0.0027,根据f〜B(k,

0.0027)及二项分布的期望公式求k的最小值.

【解答】：解：质量在(p-3o,|i+3o)之外的概率为1-P(^-3o<X<n+3a)=0.0027,

所以《〜B(k,0.0027),则E(P=0.0027k>0,02,

则k>黑？笈7.4,又keN*,故最小k=8.

故答案为：8.

【点评】：本题考查了二项分布的期望公式，属于基础题.

14.(填空题，5分)已知函数f(x)=ex+ae”在［0,1］上不单调，则实数a的取值范围为—

【正确答案】：［1］(1,e2)

【解析】：由题意可得，((%)=/一*=0在［0,1］上有变号零点，分离参数后，结合函数

的单调性即可求解.

【解答】：解：由题意可得，/'(%)=/-2=0在［0,1］上有变号零点，

故a=e2x在［0,1］上有变号零点，

因为y=e?x在［0,1］上单调，e2xG［l,e2］,

故l<a〈e2,

故答案为：(1,e2)

【点评】：本题主要考查了函数的单调性与导数关系的简单应用，属于基础试题.

15.(填空题，5分)随机变量孑的分布列如表，其中;Wpw1则当P=一时，E(Q取最大

值；当p=一时，D(Q有最大值.

123

PP12

33"P

【正确答案】：囚；；［2］巳

【解析】：由数学期望的定义知E(p=lxp+2xg+3x(|-p)=|-2p,从而确定最大值点；

由方差的定义并化简得D(0="-(|-2p)］2xp+［2-(|-2p)］2x|+［3-(|-2p)px(|-p)

=-4p2+|p+|,从而利用二次函数的性质确定最大值点.

【解答】：解：由题意得，

E(《)=lxp+2x—+3x(--p)=--2p,

故当p=；时，

E(P取得最大值=

5Lo

D⑴=[1-(|-2p)]2xp+[2-(|-2p)px|+[3-(|-2p)>(|-p)

c7117

=(2p--)2xp+(2p--)2x-+(-+2p)2x(--p)

33333

,.20,25、,.8,4、1,..4,1、2、

=(4po2-—p+—)xp+z(4po2--p+-)x-+z(4po24--p+-)xz(--p)

•3yO✓OO3zO

20〃25,48,4,8,8,2..4.1

=4p3.-,p2+—p+-p92--p+—+-po2+-P+—・4p3--p2--p

,,8,2

=-4p92+-p+-,

8

由二次函数的性质知，当P=-TI=；时，

2x(-4)3

D(0有最大值；

故答案为：；；|.

【点评】：本题考查了离散型随机变量的数学期望与方差及函数最值问题，属于中档题.

X6X—X2—2.X(XV1)

__z、八一，当x£(-00,m]时，f(x)的

{2x-3(x>l)

取值范围为xe(-00,1-1],则实数m的取值范围是

e

【正确答案】：[1][-1,2-/]

【解析】：当xSl时，求得f(x)的导数和单调性、极值，画出f(x)的图象，求得2x-

3=1」的x的值，结合图象和条件可得m的范围.

e

【解答】：解:当xWl时,f(x)=xex・x2・2x

的导数为F(x)=(x+1)(ex-2),

当・14xMn2时,f(x)<0,f(x)递减；

x>ln2或xV・l时，f(x)>0,f(x)递增，

x=-l处f(x)取得极大值l-ix=ln2处取得极小值-山22,

e

作出y=f(x)的图象，

当XC(-co,m]时，f(x)的取值范围为XC(-co,1-i],

由2x・3=l-，可得x=2

e

可得

2e

故答案为：［-1,2-；］.

2e

【点评】：本题考查分段函

数的图象和性质，注意运用

导数判断单调性和极值，考

查数形结合思想方法和运算

能力，属于中档题.

17.（问答题，10分）已知

（证+%2）2n的展开式的二项

式系数和比（3X-1）n的展开

式的二项式系数和大

992.求卜%—2n的展开

式中,

（1）二项式系数最大的项;

（2）系数最小的项.

【正确答案】：

【解析】：（1）首先利用展开式的应用求出n的值，进一步求出二项式系数的最大项；

（2）利用系数的绝对值的最大项求出结果.

【解答】：解：（1）已知（版+/）2rl的展开式的二项式系数和为22%（3x-l）n的展开式

的二项式系数和为2n,

故：22n-2n=992,解得2n=32,

故n=5.

（2x-1）10的二项式系数的最大项为味）•（2x）5・（-05=-8064.

设系数的绝对值最大的项为第r+1项;

.210-r>Cr-l,2ll-r

所以>解得

.210-r>C^1•29T

故r=3.

3

故系数最小的项为岛•（2x）7=一15360/.

【点评】：本题考查的知识要点：二项展开式的应用，组合数的应用，主要考查学生的运算能

力和数学思维能力，属于中档题.

18.（问答题，12分）如图，一个正方形花圃被分成5份.

（1）若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿

4种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法？

（2）若将这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法?

CDE

【正确答案】：

【解析】：（1）先对A部分种植，再对B部分种植，对C部分种植按与B相同及与B不同

两种情况进行分类；

（2）先将7个盆栽分成5组，有2种分法，分好后再全排列即可.

【解答】：解：（1）先对A部分种植，有4种不同的种植方法；再对B部分种植，有3种

不同的种植方法；对C部分种植进行分类：

①若与B相同，D有2种不同的种植方法，E有2种不同的种植方法，共有

4x3x1x2x2=48（种）；

②若与B不同，C有2种不同的种植方法，D有1种不同的种植方法，E有2种不同的种植

方法,共有4x3x2x1x2=48（种）；

综上所述，共有96种种植方法；

（2）将7个盆栽分成5组，有2种分法：

①若分成2-2-1-1-1的5组，有等种分法；

②若分成3-1-1-1-1的5组，有0种分法；

将分好的5组全排列，对应5个部分，则一共有(等+・湍=16800种分法.

【点评】：本题考查两个计数原理及排列组合的综合运用，考查逻辑推理能力及运算求解能力,

属于基础题.

19.(问答题，12分)已知函数f(x)=(x+1)«ex.

(1)求函数f(x)的极值；

(2)若f(x)>ax2,对任意的x>0恒成立，求a的取值范围.

【正确答案】：

【解析】：(1)求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；

(2)依题意可得(x+1)-e^>ax2,对任意的x>0恒成立，参变分离可得aW经当，对任

意的x>0恒成立，令g(x)="三，xe(0,+oo),利用导数说明函数的单调性，即可求

出g(x)min，即可得解.

【解答】：解：(1)因为f(x)=(x+1)-ex定义域为R,所以f(x)=(x+2)ex,

当x>-2时F(x)>0,当x<-2时F(x)<0.

所以f(x)在(-oo,-2)上单调递减，在(-2,+oo)上单调递增，

所以f(x)在x=-2处取得极小值一段，无极大值.

e2

(2)因为f(x)>ax2,对任意的x>0恒成立，

即(x+1)-ex>ax2,对任意的x>0恒成立,

所以aW普丝，对任意的x>0恒成立，

令g(x)=,xe(0,+00),则g'(x)=,

所以当时，g'(x)>0,当0<x(夜时g'(x)<0,

即g(x)在(0,夜)上单调递减，在(鱼，+8)上单调递增，

所以g(x)在％=遮处取得极小值，即最小值，

所以g（x）mbt=9（夜）=（空），，

所以aw普f,即ae（—8,臂f].

【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，不等式恒成立问题，考查了转化思

想，属中档题.

20.（问答题，12分）某化工厂为预测产品的回收率y,需要研究它和原料有效成分含量x之

间的相关关系，现收集了4组对照数据.

X2468

y36710

（1）请根据相关系数r的大小判断回收率y与x之间是否存在高度线性相关关系；（精确到

小数点后两位）

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程夕=6x+a,并预

测当x=10时回收率y的值.

参考数据：一器网—），.J丁呼a=y-bx.

J毙式所科•骋1（%-"FX

|r|1>0.8<0.3其他

x,y相关关系完全相关不相关高度相关低度相关中度相关

【正确答案】：

【解析】：（1）根据已知条件，结合相关系数的公式，即可求解.

（2）根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解线性回归方程，将

x=10代入上式的线性回归方程中，即可求解.

【解答】：解：（1）x=5,9=6.5,

r=丁广用仇-刀-芸x0,98>0.8,

粗匕3y产讯泌-加V5。。

所以X与y高度线性相关.

（2）根据最小二乘法方=*母二等="=1.1,3=1,

Li=lxt-nx20

所以回归方程为9=1.1%+1,

当x=10时，9=1.1x10+1=12.

【点评】：本题主要考查了线性回归方程的求解，需要学生熟练掌握最小二乘法公式，属于基

础题.

21.（问答题，12分）为了解昆山震川高级中学中学高二年级学生身视力情况，对高二年级

（1）班-（8）班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行视力监测.

经统计，每班10名学生中视力监测成绩达到优秀的人数散点图如表：（x轴表示对应的班号,

y轴表示对应的优秀人数）

班号12345678

人数86947598

（1）若用散点图预测高二年级学生视力情况，从高二年级学生中任意抽测1人，求该生视力

监测成绩达到优秀的概率；

（2）若从以上统计的高二（2）班的10名学生中按分层抽样抽出5人，再从5人中任取2

人，设X表示2人中视力监测成绩达到优秀的人数，求X的分布列及其数学期望；

（3）假设每个班学生视力优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的视力优秀率相等.现在

从每班中分别随机抽取1名同学，用“8=1”表示第k班抽到的这名同学视力优秀，"&=0”表示

第k班抽到的这名同学视力不是优秀（k=l,2,…，8）.写出方差D（日），D（灯），D

（彳3）,D（&）的大小关系.

【正确答案】：

【解析】：（1）根据散点图可求得抽取的80人中，视力监测成绩达到优秀的人数，由古典

概型概率公式可得结果；

（2）首先可确定X所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，

由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望；

（3）由两点分布方差计算公式可求得D（国），D（灯），D（&）,D（&）的值，由此可得

大小关系.

【解答】：解：（1）抽取的80人中，视力监测成绩达至U优秀有8+6+9+4+7+5+9+8=56

人，

.••从高二年级学生中任意抽测1人，该生视力监测成绩达到优秀的概率p=期=《；

8010

(2)由散点图可知：高二(2)班的10名学生中，视力监测成绩达到优秀的人数为6人，

按分层抽样，所抽5人，有3人视力监测成绩达到优秀，2人视力监测成绩没有达到优秀，

记从5人任抽2人，设X表示2人中视力监测成绩达到优秀的人数，则X中能值为0,1,2,

.•.X所有可能的取值为0,1,2,

...P(X=0)=q=工，P(X=1)=琴=?,P(X=2)=4=巨，

\7Cf10k，第517Cl10

则X的分布列为

X12

P133

W5W

E；

('X")—Ox-1-0--Fix—5F2X—io=—s

⑶由散点图知：P&=l)=^=g,Pg=0)=卷=g,.・.£)©)=gx2=£,

。&=1)=卷=|，P«2=0)=^=1..-.D«2)=|X1=A,

P&3=1)=V，P&3=0)=春,二。&3)=磊,

P(§4=1)=悌=|，P&=。)=4=|，•'♦D&)=9XI=袅

••.D(&)=D(5)>D(Ei)>D(&).

【点评】：本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题.

22.(问答题，12分)设函数f(x)=-a2lnx+x2-ax(aGR).

(1)试讨论函数f(x)的单调性；

(2)设隼(x)=2x+(a2-a)Inx,记h(x)=f(x)+<p(x)»当