2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高三（上）期中数学试卷

2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高三（上）期中数学

试卷

一、填空题（本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分）

1.（4分）已知集合4=｛邓）＜》＜2｝,B=｛X|&二三＜0｝，则集合AUB=.

X-1

2.（4分）在华十马6的二项展开式中，/项的系数等于.

3.（4分）已知向量a=（sin。，1）,三二（1,cos8），其中0＜0＜2n,若a-Lb，则9—.

4.（4分）若zi=l+i,zi=a-2Z,其中i为虚数单位，且则实数。=.

5.（4分）已知一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，任取圆锥的两条母线m4则0

6所成角的最大值为.

6.（4分）无穷等比数列｛〃"｝的前”项和为S”，若“1=2,且S2020+2S202l=3S2022,则无穷

等比数列｛。〃｝的各项和为.

7.（5分）设函数f（x）=sin（2x小），若对于任意的X1E[玲，-y]-在区间[a,p]

上总存在唯一确定的X2,使得.f（xi）=0,则|a-01的最小值为.

8.（5分）某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的3款

经典动漫角色玩偶中的一个.小明购买了4个盲盒，则他能集齐3个不同动漫角色的概

率是.

22

9.（5分）己知尸1、尸2是椭圆号-+^-=1的左、右焦点，点P是椭圆上任意一点，以PQ

为直径作圆N,直线ON与圆N交于点。（点。不在椭圆内部），则函•币彳=.

10.（5分）已知函数/（x）=/-a|x|+―-—+。有且只有一个零点，若方程/（x）=%无解,

x2+l

则实数k的取值范围为

11.(5分)已知数列｛〃〃｝满足m=l,若数列｛氏｝满足尻｛四H-皿1Wk(〃EN*),

且。〃+方=2〃(〃WN*),则数列｛〃〃｝的通项公式斯=.

12.(5分)设函数/G)的定义域是(0,1),满足：

(1)对任意的(0,1),/(x)>0；

f(xi)f(I-X1)

(2)对任意的xi,X2G(0,1),都有--------1—<2；

f(x2)f(l-X2)飞

(3)f(1)=2-

则函数目6)=乂£鼠)+工的最小值为-

x

二、选择题(本大题共4小题，每题5分，满分20分)

13.(5分)已知等比数列｛词的公比为4(q#0),S”是｛板｝的前“项和.则“数列｛珈｝单

调递减"是S2>S4”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

14.(5分)下列四个命题中真命题是()

A.同垂直于一直线的两条直线互相平行

B.底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱

C.过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条

D.过球面上任意两点的大圆有且只有一个

15.(5分)已知a,b，c和d为空间中的4个单位向量，且a+b+c=0>则Ia-dl+lb-dl+lc-dl

不可能等于()

A.3B.2A/3C.4D.3&

16.(5分)函数/Xx)的定义域为力，若f(x)存在反函数，且/(x)的反函数就是它本

身，则称f(x)为自反函数.有下列四个命题：

①函数f(X)—是自反函数；

x+1

②若/(x)为自反函数，则对任意的在。，成立f(f(x))=x；

③若函数f(x)=«F(a<x(b)为自反函数，则〃-”的最大值为1；

④若/(x)是定义在R上的自反函数，则方程/(x)=x有解.

其中正确命题的序号为()

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

三、解答题(本大题共5小题，满分76分)解答下列各题要有必要的解题步骤，并请在规

定处答题，否则不得分。

17.(14分)在四棱锥P-ABCD中，底面为梯形，AB//CD,ZBAP=ZCDP=90°,PA

=PD=AB=2,PALPD,四棱锥P-A8CQ的体积为4.

(1)求证：AB_L平面PAD-,

(2)求PC与平面ABC。所成角.

18.(14分)已知函数/(x)=x,g(x)=/-"优+4,/MGR.

(1)当〃?=4时，解不等式g(x)(x)-2|.

(2)若对任意的2],存在X26[l,2],使得g(xi)=/(x2),求实数m的取值范

围.

19.(14分)2021年10月13日第18号台风“圆规”在海南某地登陆，最大风力达到12

级.路边一棵参天大树在树干某点B处被台风折断且形成120。角，树尖C着地处与树

根A相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设/CAB=9(A,B,C三点所在

平面与地面垂直，树干粗度忽略不计).

(1)若。=45°,求折断前树的高度(结果保留一位小数)；

(2)问一辆宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过？并说明理

20.(16分)已知椭圆C：七三=1的左、右焦点分别为四、尸2,点AQ/石，0)在椭圆

abz

上，且AF；•AF；=3,点。，。是椭圆上关于坐标原点。对称的两点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若点P在第一象限，轴于点N,直线QN交椭圆于点M(不同于。点)，试

求/MPQ的值；

(3)已知点R在椭圆上，直线PR与圆/+丁=2相切，连接QR,问：期J-是否为定

'IQRI

值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.

21.(18分)已知数列｛〃”｝满足m=0,_an\=n>且工_(n€N*),

(1)求“4的所有可能取值；

(2)若数列｛"2"｝单调递增，求数列｛。2"｝的通项公式；

(3)对于给定的正整数%,求S&=m+〃2+“+〃&的最大值.

2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高三（上）期中数学

试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分）

1.（4分）已知集合4={川0<》<2},B={X|昔40}，则集合AU8={疝）<xW3）

【分析】先解分式不等式求出8,再利用并集运算求解.

【解答】解：：B={x|三"<0}={川1<启3},A={x|0<x<2},

x-1

，AU8={x[0<xW3},

故答案为：{x|0〈xW3}.

【点评】此题考查了并集及其运算，分式不等式的解法，属于基础题.

2.（4分）在华」）6的二项展开式中，/项的系数等于_噂_.

【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幕指数等于2,求得，•的值，即可求

得展开式的/项的系数.

【解答】解：二项式（•1d）6展开式的通项公式为7k|=量（_1）6-r（_l）r=

然G尸G,

令6-2厂=2,解得r=2,故弓△）6二项展开式中，含/项的系数等于"/）

故答案为：生.

16

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项

的系数，属于基础题.

3.(4分)已知向量2=(sin。，1),1=(1,cos8)，其中O<0<2n,若a-Lb，则。=

3兀而7兀

4—4一

【分析】根据题意，由数量积的计算公式可得a，b=sin0+cos0=0,变形可得tan8=-1,

结合。的取值范围，即可确定。的值.

【解答】解：根据题意，向量a=（sine,b=(l,cos8)，

若a-Lb，则有a*b=sin0+cos0=O,变形可得tanO=-1,

又0V0<2m所以。="或3L；

44

故答案为：”或3L.

44

【点评】本题考查向量垂直的判断方法，涉及向量数量积的计算公式，属于基础题.

4.(4分)若zi=l+i,z2=。-2i,其中i为虚数单位，且则实数〃=-2.

【分析】求出z[•布=(1+力(。+2力=。+切+2计2%=(〃-2)+(。+2)"由

能求出实数〃.

【解答】解：zi=l+i,z2=a-2i,其中i为虚数单位，且Lzt1dL7pFJR八

7.丁=(1+j)(a+2i)=a+ai+2i+2i1—(a-2)+(a+2)i,

Z1z2

."+2=0,解得实数a=-2.

故答案为：-2.

【点评】本题考查实数值的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力,

是基础题.

5.(4分)已知一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，任取圆锥的两条母线。，b,则m

6所成角的最大值为60°.

【分析】设圆锥的底面半径为r,母线长为/,求出r与/的关系，确定两条母线a,6为

轴截面的两条母线时;。，〃所成角的最大，即可得到答案.

【解答】解：设圆锥的底面半径为r,母线长为/,

因为一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，

则2nr=itZ,解得l=2r,

当两条母线”，力为轴截面的两条母线时，“，人所成角的最大，最大值为60。.

故答案为：60°.

【点评】本题考查了圆锥的侧面展开图的理解与应用，解题的关键是掌握圆锥侧面展开

图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的母线长，考查了逻辑推理能力，属于基础题.

6.(4分)无穷等比数列｛a”｝的前“项和为S"，若m=2,且S2020+25202I=3S2022,则无穷

等比数列｛如｝的各项和为_旦_.

—2―

【分析】先求出等比数列｛〃”｝的公比，然后利用无穷等比数列的和可计算出结果.

【解答】解：设等比数列｛丽｝的公比为夕,

因为S2020+252021=352022，

所以S2022~52020=2(S2021-S2022),

即。2()21+〃2022=-242022,

所以3。2022=-<7202b

所以4=-工，

3

a(l-q11)2X[l-(f)n]

所以无穷等比数列｛a,,｝的各项和为S"=1"=------———=

当“f+8时，Sn~*—,

2

故无穷等比数列｛z｝的各项和为3,

2

故答案为：3.

2

【点评】本题考查了等比数列求和公式，极限思想，属于中档题.

7.(5分)设函数f(x)=sin(2xT)，若对于任意的X[E[玲，--]，在区间口，p]

上总存在唯一确定的X2,使得/(xi)(r)=0,则|a-01的最小值为_?L_.

-3―

【分析】根据题意，设集合A为所有-/(xi)构成的集合，集合B是所以构成的

集合，则AUB,求出，|a-尚的最小值.

【解答】解：若对于任意的X]E[今，子]，在区间口，闺上总存在唯一确定的也，

f(XI)+f(X2)=0,得-/(XI)=f(%2),

设集合A为所有，/*(如)构成的集合，集合B是所有/(★)构成的集合，则AGB,

对于任意的—],2x+—fr_2L且L],-/(x)e[-1,1]=A,

因为-/(x)单调递减，根据题意，要使|a-61=0-a最小，只需A=3即可，

所以-Ksin(2x个标)《夺得2x+母E[一去+kJT,看+kTT],(k€z)，

故，|a-目的最小值为工([工_(])]=工.

2L612〃3

故答案为：2L.

3

【点评】考查三角函数图象和性质，三角函数恒成立和能成立问题，综合性高，难度较

大.

8.（5分）某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的3款

经典动漫角色玩偶中的一个.小明购买了4个盲盒，则他能集齐3个不同动漫角色的概

率是A.

-9-

【分析】小明购买了4个盲盒，基本事件总数”=34=81,他能集齐3个不同动漫角色包

含的基本事件个数m=c2A3=36,由此能求出他能集齐3个不同动漫角色的概率.

L4n3

【解答】解：某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司

的3款经典动漫角色玩偶中的一个.

小明购买了4个盲盒，

基本事件总数“=34=81,

他能集齐3个不同动漫角色包含的基本事件个数m=c2A3=36,

.•.他能集齐3个不同动漫角色的概率p=a=36=4

n819

故答案为：A.

9

【点评】本题考查概率的运算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能

力等数学核心素养，是基础题.

22

9.（5分）已知为、尸2是椭圆,写=1的左、右焦点，点P是椭圆上任意一点，以PF1

为直径作圆N,直线ON与圆N交于点。（点Q不在椭圆内部），则西•瓦=3.

【分析】根据中位线定理及椭圆的定义，表示出|。。|,利用极化恒等式即可求得西■•币7

的值.

【解答】解：连接PF2,由题意可知|PF2|=2|。',\NQ\=l.\PFi\,

2

所以|OQ|=|OM+|NQ尸」(\PF2\+\PFI\)=AX4=2,

22

由极化恒等式可知QF；QFj=■国尸2『=4-1=3,

所以西•西=3,

(极化恒等式：a»b=(a+b)2-(a-b)2)

4

故答案为：3.

【点评】本题考查椭圆的定义与性质，中位线定理及向量的数量积运算，考查向量的极

化恒等式的应用，针对于极化恒等式，需要学生会推导及会使用，在做题中能起到事半

功倍的效果，属于中档题.

10.(5分)已知函数/(尤)=/-4|川+——+“有且只有一个零点，若方程f(x)=上无解,

x2+l

则实数%的取值范围为(-8,0).

【分析】先判断出函数/(x)为偶函数，结合题意得到/(0)=0,得到a的值，从而求

出/(x),再判断函数/(X)的单调性，确定f(x)的取值范围，即可得到k的范围.

【解答】解：函数/(x)=7-a|x|+_^+”的定义域为R,

x2+l

又—(-x)—X1-a|x|+—-—+a—f(%),

x2+l

所以/(x)为偶函数，

又函数f(x)=/-a\x\+---+a有且只有一个零点，

x2+l

所以/(0)=0,

解得67=-1,

故f(X)=/+|川+―---1,

x2+l

所以/（x）=/+1+—-—+\x\-2,

x2+l

因为y=/+l+—_在［0,+°°）上为单调递增函数，且丁=国-2在［0,+8）上为单调

递增函数，

所以函数f（x）在［0,+8）上为单调递增函数，

又/（x）为偶函数，

所以/（x）（0）=0,

因为方程/（X）=%无解，

所以％<0,

故实数k的取值范围为（-8,0）.

故答案为：（-8,0）.

【点评】本题考查了函数与方程的综合应用，函数性质的综合应用，考查了函数单调性

与奇偶性的判断与应用，函数零点定义的理解与应用，考查了逻辑推理能力，属于中档

题.

11.（5分）己知数列｛“”｝满足。1=1,若数列｛为｝满足数=/nor｛ai+i-aRlW/（«GN*）»

且即+办=2"（〃€N*）,则数列｛词的通项公式如=上

【分析】根据已知条件分别求m,。2,成，…,由归纳即可得｛珈｝的通项公式.

【解答】解：因为a"+d=2"（尤N*）,

由。1=1,可得加=。2-41=21-1=1,

所以02=01+1=1+1=2,

因为（72+&2=22=4,

可得b2—2=a3-42,

所以“3=4,

因为i»3=23-«3=8-4=4=44-43,

可得“4=8,

***,

所以an—bn=2"

故答案为：2"I.

【点评】本题考查了数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

12.（5分）设函数/G）的定义域是（0,1）,满足:

(1)对任意的xe(0,1),f(x)>0；

,,.,...f(x1)f(1-X1)

(2)对任意的XI,X2e(0,1),都有,1、———!—<2；

f(x2)f(l-X2广

⑶f(y)=2-

则函数晨x)=xf(x)+工的最小值为

X

【分析】由条件(1)(2)进行推导可得了(X)关于直线》=工对称，借由对称轴推出f

2

(X)为常数函数，代入g(x)基本不等式求最值运算.

【解答】解：由题意，令Xl=l-X2,

fX

ET依f(1-Xi)-r2-^f(X)

则不等式法2等价于y十次至2产2,

由(1)对任意(0,1),f(x)>0,

f(1-X2)f(x2)If(1-X2)~f(X2)

=2,

f(X2)f(l-x2)f(x2)f(1-X2)

所以;⑸)=2,

f(X2)f(1-X2)

f(1_)f(x)

当且仅当__?x_=_:，即f(X2)=/(l-X2)时等号成立,

f(X2)f(l-X2)

所以y(x)关于直线》=工对称，

2

所以，(XI)=f(1-XI),f(X2)=f(1-X2),

则不等式空4卷2等价于蓄器4-

f(x2JfU-x2)f(x2)fkx2)

所以"I兴41，

fix?)

因为对任意(0,1),f(x)>0,

所以f(XI)0(X2)>

所以,/1(XI)-f(X2)恒成立，

故/(x)为常数函数，

因为/(工)=2,

所以f(x)=2,

所以g(x)=xf(x)+A=2X+A,

XX

因为xW(0,1),

所以2%+1》班二]=2料(当且仅当x=坐时等号成立)，

所以g(x)的最小值为2我.

故答案为：2近.

【点评】本题考查了抽象函数的性质，基本不等式求最值，属于难题.

二、选择题(本大题共4小题，每题5分，满分20分)

13.(5分)已知等比数列｛曲的公比为q(</#()),是｛如｝的前“项和.则“数列｛丽｝单

调递减”是S2>S4”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】由等比数列的通项公式和数列的单调性的定义，结合充分必要条件的定义可得

结论.

【解答】解：由S2>S4,可得a\+a\q>a\+a\q+a\c^+a\<f',

即为ai(1-/)>0,ax(]+«)<0>

若ai>0,则-l<g<l,且q#0,又q<-1,可得q€0；

若ai<0,则g>l或4<-l,又q>-I,可得q>l,

综上可得，数列｛z｝单调递减；

但“数列｛即｝单调递减“推不到>〃3,S2>S4”,

所以“数列｛%｝单调递减”是“0>。3,S2>S4”的必要不充分条件，

故选：B.

【点评】本题考查等比数列的通项公式的运用，以及数列的单调性的判断和充分必要条

件的定义，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题.

14.(5分)下列四个命题中真命题是()

A.同垂直于一直线的两条直线互相平行

B.底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱

C.过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条

D.过球面上任意两点的大圆有且只有一个

【分析】A,同垂直于一直线的两条直线的位置关系不定；

B,底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱底面不一定是正方形；

C,两条异面直线的公垂线是唯-一的，所以过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有

且只有一条；

D,过球面上任意两点的大圆有无数个；

【解答】解：对于A,同垂直于一直线的两条直线不一定互相平行，故错；

对于8,底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是直四棱柱，不一定是正四棱柱，故错;

对于C,两条异面直线的公垂线是唯一的，所以过空间任一点与两条异面直线都垂直的

直线有且只有一条，正确；

对于O,过球面上任意两点的大圆有无数个，故错；

故选：C.

【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题.

15.（5分）已知a，b，c和d为空间中的4个单位向量，且a+b+c—0＞则Ia-d+lb-d+lc-d

不可能等于（）

A.3B.2A/3C.4D.3&

【分析】首先由三个向量和为0向量得到三向量共面且两两成120度，再分情况考虑三,

不难得解.

【解答】解：设向量之，fe,c,3分别对应向量水，而，灰，而，

由；+E+W="可知三个向量两两夹角为120°,

如图，当。与A重合时，所求值为2、后；

当。与M重合时，所求值为4；

当OO_L平面4BC时，所求值为3圾.

故选：A.

【点评】此题考查了向量的几何意义，分类讨论，数形结合等，难度适中.

16.(5分)函数f(x)的定义域为。，若/(x)存在反函数，且/(%)的反函数就是它本

身，则称f(x)为自反函数.有下列四个命题：

①函数是自反函数；

②若/(x)为自反函数，则对任意的在。，成立/(/(x))=x；

③若函数£&)=五丁(3<*41))为自反函数，则的最大值为1；

④若是定义在R上的自反函数，则方程/(x)=x有解.

其中正确命题的序号为()

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

【分析】由反函数跟自反函数定义逐一进行判断.

【解答】解：①，因为/Xx)=-上，

x+1

定义域为Wx#-1},

设尸——,

x+1

所以y(x+1)=-x,

解得x=--匕，

y+l

所以f(x)的反函数为y=-(xW-1),

x+1

即/(x)反函数为它本身，满足自反函数定义,

故①正确，排除C；

对于③，要使/(X)，有意义,

则1-』》0,

即-IWxWl,

因为/（X）为[m切上的自反函数，

所以[a,b]Q[-1,0]或[a,i]£[0,1],

所以则b-a的最大值为1,③正确，排除8；

对于④，因为互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称，

而/（X）为定义在R上的自反函数，

故/（x）图象关于y=x对称且与y=x有交点，

所以方程/（x）=x有解，故④正确；

故选：D.

【点评】本题考查了反函数的求法，属于基础题.

三、解答题（本大题共5小题，满分76分）解答下列各题要有必要的解题步骤，并请在规

定处答题，否则不得分。

17.（14分）在四棱锥P-ABCD中，底面为梯形，AB//CD,ZBAP=ZCDP=9Q°,PA

=PD=AB=2,PALPD,四棱锥P-ABCQ的体积为4.

（I）求证：AB_L平面PAD-,

（2）求PC与平面ABC£＞所成角.

【分析】（1）证明CO_LOP.AB1DP,然后证明AB_L平面%D

（2）作AQ的中点E,连结PE,CE,说明PE为四棱锥P-ABC。的高，NPCE为PC

与平面ABC。所成角.通过四棱锥P-ABC。的体积，求解得CQ=4.在Rt^PEC中，

求解PC与平面ABCD所成角.

【解答】（1）证明：VZBAP=ZCDP=90°,：.AB1,AP,CDLDP.

又ABMCD、：.ABLDP.'：APQDP=P,AP,DPcffiPAD,

."8J_平面PAD.

（2）解：作A£）的中点E,连结PE,CE,

•：PA=PD,PA±PD,：.PE±AD,AD=2后，PE=yAD=V2-

由(1)AB_L平面RW,故AB_LPE,

又ABnAZ)=A,AB,ADu面ABC。，

所以PE_L平面A8CD,即PE为四棱锥P-ABC。的高，NPCE为PC与平面ABCQ所

成角.

四棱锥P-ABCD的体积为

4=1S梯形ABQ)・PE•鲍罗•・AD'PE=y•272•历

得C£>=4.

在RtAPDC中，PC=VPD2+DC2=V22+42=2V5,

在RtZ\PEC中，sinNPCE等条率，ZPCE=arcsirX^-

1v5iu

【点评】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的

判断定理的应用.考查空间想象能力以及计算能力.

18.(14分)已知函数/(x)=x,g(x)=/-，〃x+4,weR.

(1)当机=4时，解不等式g(JC)>\f(x)-2|.

(2)若对任意的x©l,2],存在％241,2],使得g(xi)—f(X2),求实数，〃的取值范

围.

【分析】(1)当帆=4时，不等式g(x)>[/(x)-2|可化为仇-2|>1,解之即可；

(2)可求得当x€[l,2]Hj,f(x)e[l,2],依题意，1Wx2m+4W2恒成立=(x+"^)

xmax

WmW(x3)，利用对勾函数的性质分别求得(x+2)与(x+冬)，即可求得

XminXmaxxmin

实数机的取值范围.

【解答】解：(1)当机=4时，不等式g(x)>[/(x)-2|可化为：|X-2|2>|X-2|,

aPk-2|>i,

解得x>3或xVl,

故不等式g(x)>|/'(x)-2]的解集为{x|x>3或x<l}.

(2)'：f(x)=x,

.,.当x€[l,2]时，f(x)6[1,2]；

又g(x)=/-〃?x+4,,2],

对于任意的2],总存在也(1,2],使得g(xi)=/(x2)成立，

，g(x)的值域是/(x)的值域的子集，

即当x€[l,2]时，1W/-m+4W2恒成立=@闫)，

YV

maxAmin

又当烂口，2]时，由对勾函数的性质可得y=x+212我，3J,y=x+312«,4],

XX

.,.3W/nW2

即，〃的取值范围为[3,2V31.

【点评】本题考查函数恒成立问题与绝对值不等式的解法，考查化归与转化、函数与方

程等数学思想，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题.

19.(14分)2021年10月13日第18号台风“圆规”在海南某地登陆，最大风力达到12

级.路边一棵参天大树在树干某点B处被台风折断且形成120°角，树尖C着地处与树

根A相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设NC43=e(A,B,。三点所在

平面与地面垂直，树干粗度忽略不计).

(1)若8=45°,求折断前树的高度(结果保留一位小数)；

(2)问一辆宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过？并说明理

可；

(2)设△48C的内接矩形。EFG的边OE在AC上且。E=2,设。G=EF=/b由/C4B

=0,构建函数〃=*sin8sin(60°一8),再结合。范围求得〃范围，然后与救援车

sin60

高比较即可得到答案.

【解答】解：(1)在△ABC中，NCBA=120°,NCAB=45°,

所以/8C4-15°,

由正弦定理，得一^―=~^―=一

sinl5sin45sinl20

所以AB+8C=——"——(sinl50+sin45°)=曳@§逅心11.2,

sinl20°3

答：折断前树的高度11.2米；

(2)如图,

设adBC的内接矩形DEFG的边DE在AC上且DE=2,设DG=EF=h,

因为NC4B=3ZCBA=120°,所以NBC4=60°-0,

所以AD+CE+DE=——+------h-------+2=10,

tan©tan(600-0)

所以.cosB+COS(60°-8)]=8,

sin6sin(600-0)

h—8sin8sin(600-8)-16(次

sin20l-cos28)

sin60°V344

因为g(0,；),所以28T■€(看，

所以sin(20+21)e(A,1],所以左(0,

62

由于曳3<2.5,

3

所以高2.5米的救援车不能从此处通过.

【点评】本题考查了解三角形的应用，正弦定理，三角函数值域的求法，属于中档题.

22

20.(16分)已知椭圆C：2_+2_=i的左、右焦点分别为四、F2,点AG/a，0)在椭圆

bz

上，且有•丽=3,点P，Q是椭圆上关于坐标原点。对称的两点•

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若点P在第一象限，轴于点N,直线QN交椭圆于点M(不同于。点)，试

求NMPQ的值；

(3)已知点R在椭圆上，直线PR与圆/+丫2=2相切，连接QR,问：回_是否为定

iQRl

值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.

【分析】第一问要弄清楚4点就是椭圆的右顶点，第二问要设而不解，计算较繁琐，通

过计算找出两直线PM和PQ是垂直关系，第三问要分直线PR的斜率是否存在两种情况

进行讨论.

【解答】解：(1).；点A(簧，0)在椭圆上.

又：AF[=(-c-a,0),AF2=(C-V6»

=6

,,AFj*AF2-°=3。

.*.C2=3,h2=3.

22

椭圆C的标准方程：/

63

(2).设P(xo,yo)(xo>O>yo>O),M(xi,yi)则Q(-xo,-yo),N(xo,0).

因为M、N、。三点共线，所以＞1=也-,所以门=了0鼠1-0)①.

1

X「XQ2X02X()

22

X。yp__

6+3=1

,两式相减得也？xl+-x-0-----

联立，②

22X[-X02(yi+y°)

工江=1

63

将①代入②中的右边的分母中，化简可得：±1二①=-2

xl-x0Vo

所以KPM=一竺，又因为KPQ=^~,

y。xo

所以KPM*KPQ=-1,所以PMVPQ,

所以NMPQ=JL.

2

(3).①当直线PR的斜率不存在时，依题意可得直线PR的方程为x=&或x=

若直线PR：x=M，则直线PQ：y=x,可得尸(④，-亚)，Q(-我，-我)，R(&，

'加).

则|PR|=2F，|QR|=2后，所以他j-口.

IRQI

其他情况由对称性同理可得㈣-=1.

IRQI

②当直线PR的斜率存在时，设直线PR的方程为y=kx+m,

因为直线与圆。相切，所以圆心0到直线PR的距离为了回一=如,即依|=丹2（1+卜2）-

Vk2+1

设尸（xi,yi）,R（X2,”），则Q（-xi,-yi）.

y=kx+m

联立<22,消去y,得（1+2F）7+4协tx+2m2-6=0,△>0.

同y3

1n

则xi+%2=—曲m,XIX2=2二$.

l+2k2l+2k2

2VWl+k2T6k24+3=

所以|PR|

l+2k2

2VWl+k2Wl+4k2

l+2k2

因为IQR尸国百百丁.

1

又因为yi+y2=k（XI+X2）+2,“=k-"V）+2m=―空弓.

l+2k2l+2k2

所以\QR\=J"4km.）2+（2m）2=之回也+火

Vl+2k2l+2k2l+2k2

2&V1+1^71+4k2二

l+2k2

即旭4

IQRI

综上所述，M

IQR

【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的

根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

21.（18分）已知数列｛〃”｝满足m=0,_an\=n>且L.（门£N*>

（1）求44的所有可能取值；

（2）若数列｛"2”｝单调递增，求数歹1|｛。2"｝的通