2021-2022学年河南省大联考高三（上）段考数学试卷（理科）（一）（学生版+解析版）

2021-2022学年河南省大联考高三（上）段考数学试卷（理科）

（―）

一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，

只有一个是符合题目要求的）

I.（5分）已知集合4={x||x|W2,xGZ},B={x\x1-x-6<0},则AAB=（）

A.{-2,-1,0,1,2,3}B.{-2,-1,1,2}

C.{-1,0,1,2}D.{-2,-1,0,

2.（5分）复数2=金；（i为虚数单位），则忆|等于（

B.2V2D.V2

3.（5分）下列说法中正确的个数是（）

（1）命题”所有基函数f（x）=x。的图象经过点（1,1）”.

（2）“在△ABC中,若sinA>sinB,则A>B”的逆否命题是真命题.

（3）若非零向量满足「工>0,则软与了的夹角为锐角.

（4）命题“Vx>0,202Q'+2021>0,'的否定是3AO^O,2020xo+2021<0".

（5）命题“小bER,则/+房24是⑷+族已2的充分不必要条件”.

A.2B.3C.4D.5

4.（5分）已知函数/（X）是定义域为R的奇函数，当x6［0,1］时，f（x）=/,且VxeR,

f（x）=f（2-x）,则/（2021.5）=（）

11

A.-sB.-C.0D.1

5.（5分）设加、〃是两条不同的直线，a、B是两个不重合的平面，给定下列四个命题:

①若ml.n,“ua,则zn_La；

②若aJ_a,au0,贝ija_L0；

③若，〃J_a,〃_La,贝！］”?〃”；

④若mua,〃u0,a〃0,则

其中真命题的是（）

A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④

6.（5分）函数f（x）=弛喀1的大致图象为（）

(x+1)

n

7.（5分）已知函数/'（x）=sin2x+cos2x+l,若函数/'（%）的图象向左平移一个单位长度后

4

得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的图象的一个对称中心为（）

A.G，0）B.（J,1）C.今，0）D.1）

8.（5分）如图，己知正三棱柱ABC-AIBICI的各条棱长都是1,M是881的中点，则异面

直线AC与C例所成角的大小是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

7T

9.（5分）已知函数/（无）=2百sinuu・cos3x+2cos%x-1（3>0）的最小正周期为万，则

7T

当元日0,一]时，函数y=/（x）的值域是（）

4

A.[-2,1]B.[-2,2JC.[-1,1JD.[-1,2]

10.（5分）我们把4=22n+1（九=L2,3…）叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学

家）.设如=log2（为-1）,n=l,2,3…,S〃表示数列｛〃〃｝的前i项之和,则使不等式

2223242n+163

~4-~+7TT-+-----<7777成立的最大正整数n的值是（）

S2s3S3s4SnSn+i127

A.5B.6C.7D.8

11.（5分）不等式〃小+5元-7〃>3-27对一切〃E（-1,0）恒成立，则实数元的取值范围

是（)

B.(-8,-4]U[-1,+8)

C.(-4,-1)D.（一4，2）

12.（5分）已知关于x的不等式1-----仇x在（0,+8）上恒成立，则实数入的取值

范围为（

11

A.(-，+00)B.(e,+°°)C.(0,}D.(0,e)

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.（5分）已知向量；=（1,k）,b=（9,k-6）.若最||b,则实数&=

x+y>l

14.（5分）若x,y满足约束条件-1目标函数z=or+2y仅在点（1,0）处取得最

2x—y<2

小值，则a的取值范围是.

15.（5分）据市场调查，某种商品一年内的销售量按月呈/（久）=Zsin（3x+0）+

B（4>0,3>0,|wl<珈勺模型波动（X为月份），已知3月份达到最高量9000,然后逐

步降低，9月份达到最低销售量5000,则7月份的销售量为.

16.（5分）如图，一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4,一只小虫从圆锥的底面

圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处.若该小虫爬行的最短路程为4世，

则圆锥底面圆的半径等于.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（10分）已知角a的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P

（I）求sin（a+n）的值；

（II）若角P满足sin（a+P）=要,求cosp的值.

18.（12分）已知函数f（x）=x2+2ax+2,x€[-5,5].

（I）当a=-1时，求函数/（x）的最大值和最小值;

（II）求实数a的取值范围，使y=/（x）在区间[-5,5]上是单调函数.

19.(12分)已知函数/(x)=另石.

(1)试判断/(外在［1,2］上的单调性；

(2)求函数/(x)在［1,2］上的最值.

20.(12分)已知0VaV*•且sin(a+«)=』tan^=1.

⑴求cosa的值；

(2)求sin0的值.

21.(12分)某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同

时蓄水池又向居民小区不间断供水，f小时内供水总量为120烦吨，(0WfW24)

(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？

(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，

有几小时出现供水紧张现象.

22.(12分)设函数/(x)=xeax+hx,曲线y=/(x)在点(2,/(2))处的切线方程为y

=(e-1)x+4,

(I)求a,b的值；

(II)求/(无)的单调区间.

2021-2022学年河南省大联考高三（上）段考数学试卷（理科）

（―）

参考答案与试题解析

一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，

只有一个是符合题目要求的）

1.（5分）已知集合4={刈%|・2,xeZ},8={x*-x-6<0},则AriB=（）

A.{-2,-1,0,1,2,3}B.{-2,-1,0,1,2}

C.{-1,0,1,2}D.{-2,-1,0,1}

【解答】解：VA={-2,-1,0,1,2},B={x|-2<x<3）,

；.4nB={-1,0,1,2）.

故选：C.

2.（5分）复数2=署（i为虚数单位），贝屹|等于（）

A.3B.2A/2C.2D.V2

t解答】解：•.•2=M=r]^rl+i，

.".|z|=|z|=Vl2+I2=V2.

故选：D.

3.（5分）下列说法中正确的个数是（）

（1）命题''所有第函数/（x）=尸的图象经过点（1,1）”.

（2）“在△ABC中，若sinA>sinB,则A>8”的逆否命题是真命题.

（3）若非零向量满足：）>0,贝丘与1的夹角为锐角.

（4）命题“Vx>0,202（T+2021>0w的否定是2020^+2021<0".

（5）命题“a,bER,则次+/>224是⑷+|用N2的充分不必要条件”.

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：（1）命题”所有基函数/（X）=/的图象经过点（1,1）”

根据基函数的性质，（1）正确.

（2）“在△ABC中，若sinA>sinB,

所以2K•sinA>2K・sin8,即则A>B,

所以该命题为真命题，

所以该命题的逆否命题是真命题，故(2)正确;

(3)若非零向量满足「工》0,

当向量a秘方向相同，且共线时，满足a•%>(),

则；与总的夹角为锐角，该命题错误，故(3)错误.

(4)命题“Vx>0,2020V+2021>0W的否定是2020x<>+2021<0"故(4)

错误.

(5)命题“a,b&R,由于鸣回，

则当/+序》4时，间+|臼22,

但是当，间+|目》2成立，a2+/>2>4不一定成立，

故命题“a,b&R,则次+/>2,4是⑷+|例22的充分不必要条件”.故(5)正确.

故选：B.

4.(5分)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当xe［0,1］时，/(%)=/，且Vx€R,

f(x)=f(2-x),则/(2021.5)=()

11

A.B.-C.0D.1

88

【解答】解：根据题意，函数f(x)是定义域为R的奇函数，即=-/(-x),

又由VxeR,f(x)=f(.2-x),则有/(2-x)=-/(-x),即/(x+2)=-f(x),

变形可得：/(x+4)=-f(x+2)=/(x),则函数/(x)是周期为4的周期函数，

f(2021.5)=/(1.5+2020)=/(1.5)(2-0.5)=/(0.5),

当尤［0,1］时，/(x)=4，则/(0.5)=(-)3=点

故选：B.

5.(5分)设加、〃是两条不同的直线，a、0是两个不重合的平面，给定下列四个命题：

①若"7_L”，〃ua,贝

②若a_La,au0,则a_L0；

③若〃?_La,〃_La,则机〃〃；

④若,〃ua,〃u0,a〃0,则机〃

其中真命题的是()

A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④

【解答】解：①若〃ua,由于〃是a内的一条直线，故〃z_La不对，由定义，只

有m垂直于a内的任一条直线，

才有〃z_La,故①错；

②若au0,由面面垂直的判定定理得a_L0,故②对；

③若〃?_La,〃_La,由同垂直于一个平面的两直线平行，得相〃%故③对；

④若mua,a//P，贝ljm，〃无公共点，则相〃〃或〃?，〃异面，故④错.

故选：B.

6.(5分)函数/(x)=纲用的大致图象为()

【解答】解：要使函数有意义，则x+l#O,得xW-1,

/(X-1)=誓［是偶函数，则/a-1)关于y轴对称，则f(x)关于》=_］对称，排

除A,D,

当厂-+8,f(x)>0,排除C,

故选：B.

71

7.(5分)已知函数/(x)=sin2x+cos2x+l,若函数/(x)的图象向左平移个单位长度后

得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的图象的一个对称中心为()

A.(表0)B.1)C.弓，0)D.%1)

【解答】解：函数/(x)=sin2x+cos2x+l=&sin(Zr+9+1,

若函数/(x)的图象向左平移三个单位长度后得到函数g(x)=V2sin(2x+孚)+1的图

44

象,

令2冗+苧=加，kEZ,求得后竽-粤,f(x)=1,

故函数g(x)的图象的对称中心为(不■一工■,1),kWZ.

28

71

不妨让％=1,可得函数g(x)的图象的一个对称中心为(W，1),

8

故选：B.

8.(5分)如图,己知正三棱柱ABC-AiBiCi的各条棱长都是1,M是881的中点，则异面

D.90°

【解答】解：以A为原点，AC、A41所在的直线分别为y、z轴，

在平面A8C内，作At,平面ACCiAi,建立如图所示的空间直角坐标系,

V311

贝ijA(0,0,0),C(0,1,0),M(—,-),Ci(0,1,1),

222

——11

'.AC—(0,1,1),CM—(—,—5，一)，

1r222

cos<AC>CM>--=0,

X—"1"

\AC.\-\CM\

.♦.异面直线ACI与CM所成角的大小是90°.

故选：D.

7T

9.(5分)已知函数/己)=2V3sina)x*cosa)x+2cos2a)x-1(a)>0)的最小正周期为一,则

当工日0,，时，函数y=/(x)的值域是()

A.[-2,1]B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-1,2]

【解答】解：:函数f(x)=2V3sina)xecosa)x+2cos2a)x-1

=V3sin2o)x+cos2o)x:=2sin(2u)x+z)(a)>0)的最小正周期为一，

62

2717TJr

:.—=—，.，.a)=2,f(x)=2sin(4工+工).

2a)2J6

当冗W[0,R时，以+看[jsin(4x+卷)G[—1],f(x)6[-1,2].

故选：D.

10.(5分)我们把々=22n+1(九=L2,3…)叫“费马数”(费马是十七世纪法国数学

家).设Z=log2(Fn-1),n=l,2,3…，S〃表示数列｛〃〃｝的前〃项之和，则使不等式

2223242n+163

~~+…+-------V成立的最大正整数n的值是()

另为与与S3S45n5n+i127

A.5B.6C.7D.8

【解答】解：由于a=22n+1,所以4〃=k)g2(F,z-1)=2%贝ij,

2n+12n+111

所以------=------------------=----------------,

n+1n+2n+1n+2

SnSn+1(2-2)(2-2)2-22-2

一…2223242n+11111

所以----+----+----+…+-------=-..—―---+----——---+…+

2334

S&s2s3S3s4Snsn+12-22-22-22-2

1111

2九+1.22n+2-2-22n+2-2，

]16311

则：；一cn+2c〈工，整理得二+2c>=，即2"+2<256,即〃<6,故〃=5.

22n+2-21262n+2-2254

故选：A.

11.(5分)不等式以2+5%-7“>3-2/对一切(-1,0)恒成立，则实数x的取值范围

是()

1

A.(-8,-4]U(2/+8)B.(-°°,-4]U[-1,+8)

1

C.(-4,-1)D.(-4,分

【解答】解：不等式〃/+5x-7q>3-2?可化为a(？-7)+5x+2?-3>0,

由不等式对一切(-1,0)恒成立，

可设/(〃)=a(jt2-7)+5x+2/-3,

则

即,2/+5%—3>0

tx2+5%+4>0’

解得卜--3必>j

/<-4殷>-1

所以xW-4或在土

1

所以实数x的取值范围是(-8,-4]U[-,+8).

故选：A.

12.(5分)已知关于x的不等式空出在(0,+8)上恒成立，则实数入的取值

X+1

范围为()

A.弓，+00)B.(e,+8)C.(0,1)D.(0,e)

【解答】解：关于x的不等式贮卫生在(0,+8)上恒成立，

X+1

则("+1)Ax>(x+l)lnx=(etfLX+1)Inx,

设/(冗)=(/+1)x,x>0,

(Ax)>于(bvc),

•:f(x)="(x+1)+l>0,

：.f(x)在(0,+oo)上单调递增，

:•入x>lnx,

.、^Inx

•.卜>—>

x

设g(x)=x>0,

•I/、1—lnx

・・g(x)=­

令g'(x)=0,解得x=e,

当0<xVe时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增,

当时，g'(x)<0,函数g(x)单调递减，

1

：・g(X)max=g(e)=

・・・入〉看I

故选：A.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)

TTTT2

13.（5分）已知向量Q=（Lfc）,b=（9,fc-6）.若QII匕，则实数Z=-彳.

【解答】解：由alib,得IX（&-6）-%=0,解得仁一本

故答案为：-

fx+y>1

14.（5分）若x,y满足约束条件x-yN-l目标函数z=ar+2y仅在点（1,0）处取得最

（2x-y<2

小值，则a的取值范围是（-4,2）.

【解答】解：可行域为△ABC,如图,

当〃=0时,显然成立.

当a>0时，直线ax+2y-z=0的斜率k=*>kAC=-La<2.

当4<0时，k=*VkAB=2

a>-4.

综合得-4<a<2,

B（A>0,3>0,|0|，）的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高量9000,然后逐

步降低，9月份达到最低销售量5000,则7月份的销售量为6000.

【解答】解：作出函数F（x）的简图如图所示，

三角函数模型为：于（x）=Asin（3x+<p）+B,由题意知：A=2000,8=7000,T=2X（9

-3)=12,

；.3=爷=看,所以/'(X)=2000sin(1x+9)+7000,

7171

当x=3时，y取最大值，所以—x3+"=-+2kii,依Z,

62

.•・(P=0+2ATT,kWZ,

故/(x)=2000s呜x+7000(14x412,xGN*),

77r

A/(7)=2000sin-y+7000=6000,

故7月份的出厂价格为6000元.

故答案为：6000.

16.(5分)如图，一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4,一只小虫从圆锥的底面

圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处.若该小虫爬行的最短路程为4VL

则圆锥底面圆的半径等于1.

【解答】解：根据圆锥的侧面展开图:

得知：OA=OB=4,A8=4VL

所以OA2+OB2=AB2,故乙408=

设圆锥的底面半径为r,

利用4x；2m解得r=l.

故答案为：1.

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(10分)已知角a的顶点与原点。重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P

(一工34

〈5'5人

(I)求sin(a+ir)的值；

(II)若角0满足sin(a+p)=各求cosp的值.

【解答】解：（I）•••角a的顶点与原点。重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P

"屋，尸一”=1。用J(一款+(-32=1,

y4

/.sin(a+n)=-sina=--=-=；

r5

(II)由x——耳，y=一e,r=\OP\=11

得sbia=一1cosa=-|,

又由sin(a+p)=衾，

得cos(a+0)=±Jl-sin2(a+£)=±J1-(^)2=土圣

1235456

则cosp=cos［(a+p)-a］=cos(a+B)cosa+sin(a+0)sina=诟x(―^)+^x(一弓)=一旃,

、1235416

或cosp=cos［(a+p)-a|=cos(a+B)cosa+sin(a+0)sina=一诟x(一可)+正"(一耳)=希.

cosp的值为—,或

18.(12分)已知函数/(x)=/+2ar+2,x€［-5,5］.

(I)当a=-1时，求函数/(x)的最大值和最小值；

(II)求实数a的取值范围，使y=/(x)在区间［-5,5］上是单调函数.

【解答】解：(I)a=-1,/(x)=/-2x+2=(x-1)2+1；

'.'xGf-5,5］；

；.x=l时，/(%)取最小值1；

x=-5时，/(%)取最大值37；

(II)/(%)的对称轴为x=-a；

,：f(x)在［-5,5］上是单调函数;

二-aW-5,或-心5；

二实数a的取值范围为(-8,-5］U［5,+°°).

丫2

19.(12分)已知函数/(X)

(1)试判断f(x)在［1,2］上的单调性;

(2)求函数/(x)在［1,2］上的最值.

【解答】解：（1）因为函数f（x）=备,

所以…笔竽F

因为1WXW2,

所以/（x）<0,

所以函数/（x）在［1,2］上为减函数.

（2）由（1）知/（无）在［1,2］上为减函数，

411

所以/（X）min—f（2）=2_3=_4,j（X）max—f（1）==一手

20.（12分）已知0VaV.〈夕Or且s讥（a+/?）=/,tan^=

（1）求cosa的值；

（2）求sinp的值.

【解答】解：（1）VaV*V£Or月.sin（a+6）=/,tan?=*.

，tana=1篝|=$可得：cosa=扃高=j-

.________4

（2）由（1）可得：sina=V1—cos2a=

Va+0V等，可得：cos（a+p）=7、-sin2（a+£）=—1，

53