平稳序列的偏相关系数和Levinson递推公式

平稳序列的偏相关系数和Levinson递推公式（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）

§2.4平稳序列的偏相关系数和Levinson递推公式平稳序列的偏相关系数和Levinson递推公式（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）平稳序列的阶Yule-Walker方程其中称为的阶Y-W系数.当正定时,即刻得到.例4.1在均方误差最小的意义下,用预测时预测的误差最小.其中,为Y-W系数.证设任,作预测,则.其中.若AR(p)序列的自协方差函数,则由Y-W方程确定的Y-W系数,使当时.对一般平稳序列,有如下定理.定理4.1若实列,使得正定,则Y-W系数满足最小相位条件:当时.(见附A)定理4.2(Levinson递推公式)若正定,则用定义4.1若正定,称为或的偏相关系数.满足:即满足:,此时称是后截尾的.定理4.3零均值平稳序列是AR(p)序列偏相关系数在后截尾.(证略)实用中的步骤:1)获得;2)计算;3)利用Levinson的递推公式求4)若在后表现出截尾性,则作为估计5)利用Y-W方程求出的估计.若正定,则得到为稳定的模型.若取值较小,说明正定性较弱,稳定性较差,有接近单位圆的根.§2.5AR(p)序列举例例5.1对,AR(1)模型有平稳解: ;自协方差函数:;;自相关系数:;谱密度(): 相应的谱密度图分别如下:例5.2AR(2)模型,.讨论:1)的根均在单位圆外(略)2)自相关系数满足(再从Y-W方程)解出.称为AR(2)的稳定域;相应地,称为AR(2)的允许域.3)AR(2)的谱密度.若有接近1的共轭根,则在附近有一个峰值,有一个周期为特征.实例 ~标准正态白噪声;特征函数:;特征根:;自相关系数:(逐个推算出)Y-W系数是截尾谱密度()谱密度曲线在处达到峰值,故有相应的周期.图形有此特征.一类由递推关系求通项公式问题的求解的修正凌红（浙江省湖州中学313000）文[1]有如下结论：若有递推关系式，说明为等差数列.其中是的特征方程的特征根，即.反例已知，若，求数列的通项公式.分析此题条件满足上述结论，即.解因为的特征方程为，所以.根据上述结论，知是等差数列，故设公差为，则，可以将它变形为，所以，无解.是什么造成了这样尴尬的场面呢？让我们来重新考虑下这个问题.若已知（且），则可变形为上式可推广为.因为且，所以，，并且由知.而，是否就因为少了这个限制条件呢？回答是肯定的.定理已知（），满足，，并且，则为以为公差的等差数列，其中.证明令，则，设①由可知，方程组①等价于三元方程组②解得又因为，所以，此时，原式可化为.其中，.所以是以为公差的等差数列.说明：①若，则（常数列）；②是（）的特征方程的特征根，是将等式两边同除以某一个数使得和的系数差为2时的的系数；③从上述讨论可以看到“，，”是成等差数列的充要条件（其中）.例1已知，，求数列的通项公式.解考虑特征方程，得.将两边同除以，得，得.又因为，所以是为首项，为公差的等差数列.因此，得.例2已知，若，求数列的通项公式.分析由于题设不满足这个条件，所以不能用上述定理解题.解因式分解可得，知数列的每相邻两项中必至少有一项为，这个数列不确定.参考文献1杜先序朱维宗.类比思维的一种应用.数学通报，2007，10.课题：一类递推数列的通项公式的求法探究————形如一、教学目标：1、进一步理解递推公式是定义数列的一种方法；2、加深理解等差、等比数列的定义；3、掌握形如数列递推公式的通项公式的求法；4、经历构造等差、等比数列的数学学习经验，优化数学思维品质。二、教学重点：一类递推公式的通项公式的求法探讨三、教学难点：等差、等比数列的构造方法四、教学过程：（一）复习引入1、2021年上海高考第20题(本题满分13分)本题共有2个小题，第一个小题满分5分，第2个小题满分8分。已知数列的前项和为，且，（1）证明：是等比数列；（2）求数列的通项公式，并求出n为何值时，取得最小值，并说明理由。2、若数列满足：，求，利用了什么方法？3、在数列中，，且，求，利用了什么方法？（二）求法探究1、已知数列满足：，且，求总结探究方法：2.变式探究①、在数列中，，且满足，求②、在数列中，，且满足，求（三）课堂小结1、体现的数学思想有：类比、构造，2、用到的