北京市海淀区届高三上学期期中考试数学（文）试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精北京市海淀区2017-2018学年高三上学期期中考试数学试题(文科）1。若集合，集合，则A。B。C。D.【答案】C【解析】,由交集的定义得到:故答案选择C.2。命题“”的否定是A。B。C。D.【答案】D【解析】命题“"的否定是：；根据换量词否结论，不变条件的原则得到结论即可.故答案为D。3.下列函数中,既是偶函数又在上单调递增的是A。B。C.D。【答案】C【解析】A：是偶函数,在上是减函数。故不正确.B：是非奇非偶函数，在上是减函数.故不正确.C:函数是偶函数，在上是增函数，故正确。D：是奇函数，在R上是增函数.故不正确。故答案为C。4。已知数列满足，则A.B。C。D。【答案】D【解析】根据条件得到：可设，，故两式做差得到:,故数列的每一项都为0，故D是正确的。A，B，C，都是不正确的。故答案为D.5。在平面直角坐标系中，点的纵坐标为，点在轴的正半轴上.在△中,若，则点的横坐标为A.B。C.D.【答案】A【解析】设点C的坐标为，点A的坐标为，则，由，以及,得到故得到故答案选A。6.已知向量是两个单位向量，则“”是“”的A。充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D。既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由条件得到，即两边平方得到：得到即两个向量的夹角是0,又因为长度相等，故;反之也能推得结论。故答案为C.7。已知函数（)的部分图象如图所示,则的值分别为A.B。C.D.【答案】B【解析】由条件知道:均是函数的对称中心，故这两个值应该是原式子分母的根,故得到,由图像知道周期是，故，故，再根据三角函数的对称中心得到，故如果，根据,得到故答案为B。点睛:根据函数的图像求解析式，一般要考虑的是图像中的特殊点，代入原式子；再就是一些常见的规律,分式型的图像一般是有渐近线的，且渐近线是分母没有意义的点；还有常用的是函数的极限值等等方法。8。若函数的值域为，则实数的取值范围是A.B.C。D.【答案】D【解析】当时，,故函数在上单调递减，在上单调递增，且过原点，最小值为；当时，若a〈0，则原函数开口向下，值域小到负无穷，故一定有a>0，此时图像是开口向上的二次函数图像，最小值在对称轴处取得，故最小值为故答案为：D。点睛：这是分段函数的值域问题,先确定没有未知量的一支的图像和单调性，从而得到函数的值域,再解决含参数的一支的值域问题.分段函数的值域一般是两段的值域的并集;二次函数的值域问题和函数的对称轴有密切关系，研究轴处的函数值，就是函数的最值。9.已知等差数列满足，则公差=_____.【答案】【解析】由等差数列的通项公式得到：化为基本量a和公差d。故答案为2。10。已知向量，，若与平行，则的值为______.【答案】【解析】∵，∴∵与平行∴∴，故填。11。已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数,当时，，则.【答案】【解析】因为函数是定义在R上的周期为2的奇函数,根据奇函数的定义得到KS5U。..KS5U。.。KS5U。。。KS5U。.。KS5U.。.KS5U...KS5U。。.KS5U。.。故结果为—2。12。如图，弹簧挂着一个小球作上下运动,小球在秒时相对于平衡位置的高度（厘米）由如下关系式确定:，则小球在开始振动（即）时的值为_________,小球振动过程中最大的高度差为__________厘米。【答案】(1)。（2）。【解析】化简可得h=sint+cost=2（sint+cost）=2sin（t+)，令t=0可得h=,由振幅为2，可得小球振动时最高时离平衡位置为2，最低离平衡位置向下为2，故最大的高度差为4故答案为:；4点睛：这个题目是实际应用题目。根据题干条件得到高度的函数表达式,转化为求函数的最值即可;而接下来就是振幅的概念了；实际应用题目首先要弄清楚数学模型,比如这个题中的函数模型,再根据条件转化为数学中的知识。13。能够说明“设是实数。若，则”是假命题的一个实数的值为______。【答案】【解析】因为，故,等号成立的条件为，故当时函数值等于3。此时不满足题干。故答案为2。点睛:这个题目是考查的均值不等式的条件，首先均值不等式的条件是一正，二定，三相等，积是定值时,和有最小值,和是定值时,积有最大值；故首先要构造出乘积的定值，最终确定等号能否取到。14。已知非空集合满足以下两个条件：（ⅰ)；(ⅱ）集合的元素个数不是中的元素,集合的元素个数不是中的元素。那么用列举法表示集合为_______。【答案】或【解析】根据题意可以分情况讨论，当集合A中有一个元素时，若，则,不符合集合的元素个数不是中的元素，这一条件;若A符合条件。，此时不符合条件.当集合A中有两个元素时，2这个数字不能属于A集合，也不能属于B集合。不满足条件。当集合A中有3个元素时,符合条件。故结果为集合为：或。

15。已知函数.（Ⅰ)求的值;（Ⅱ)求函数的单调递增区间。【答案】（I）(II）。【解析】试题分析：(1)把角代入解析式,化简即可；（2）利用辅助角公式化简，根据正弦函数的单调性写出增区间即可求解。试题解析：(I）（II）.令得所以函数的单调递增区间为。16.已知等比数列满足，。（Ⅰ）求的通项公式及前项和；（Ⅱ）设，求数列的前项和.【答案】(Ⅰ）（N+)，；(Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）根据等比数列的概念和通项的性质得到,,进而得到通项公式；（2）由第一问得到,，故，再根据裂项求和的方法求得数列的和即可。（1）设等比数列的公比为。因为，且所以，得，又因为，所以,得，.所以（N+)，所以（2）因为，所以,所以。所以数列的前项和。17.如图,△为正三角形,，，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求,的长。【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），.【解析】试题分析：（1）根据平行线的性质得到）,再根据两角和差公式得到=,代入已知角的三角函数值即可；（2）由三角形中正弦定理得到，进而得到，再根据余弦定理得到的长为。（1)因为△为正三角形,,所以在△中，，所以。所以=因为在△中，，所以。所以。（2）在△中,，由正弦定理得:，所以又在正△中，，,所以在△中，，由余弦定理得:所以的长为.18。已知函数。（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；(Ⅱ）求函数在上的最大值；（Ⅲ）求证：存在唯一的，使得。【答案】（Ⅰ)；（Ⅱ)6；（Ⅲ）证明见解析.【解析】试题分析:（Ⅰ）根据导数的几何意义求切线斜率，写出切线方程;(Ⅱ）写出函数在区间上导数的变化情况，列表求最值即可；（Ⅲ)构造函数=,只需证明函数有唯一零点即可。试题解析：（Ⅰ)由，得，所以，又所以曲线在点处的切线方程为：，即：。（Ⅱ）令，得.与在区间的情况如下：-0+极小值因为所以函数在区间上的最大值为6。（Ⅲ）证明:设=，则，令，得。与随x的变化情况如下：100极大值极小值则的增区间为，，减区间为。又，，所以函数在没有零点，又，所以函数在上有唯一零点。综上，在上存在唯一的,使得.19。已知数列满足，,（N*）.（Ⅰ）写出的值;（Ⅱ）设，求的通项公式；(Ⅲ)记数列的前项和为,求数列的前项和的最小值。【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ）;（Ⅲ）。【解析】试题分析：（Ⅰ）根据递推关系式写出前六项即可;（Ⅱ）利用等差数列定义证明是等差数列,并写出其通项公式;（Ⅲ）根据等差数列的性质写出，再证出是等比数列，写出通项公式，可知当时项是非正的,从而得其最小值。试题解析:(Ⅰ），；（Ⅱ）设，则,所以是以1为首项，2为公差的等差数列，所以.(Ⅲ)解法1:，，所以是以1为首项，为公差的等差数列，所以数列的前n个奇数项之和为，由(Ⅱ)可知,,所以数列的前n个偶数项之和为。所以，所以.因为，且所以数列是以为首项,为公差的等差数列。由可得，所以当或时,数列的前项和的最小值为。点睛:本题考查了等差数列的定义，求数列的前n项和即数列的最大值与恒成立问题，属于难题。解决数列的证明问题时，一般要紧扣等差等比的定义，用定义证明,数列求和时,一般根据通项的特点选择合适的求和方法,其中裂项相消和错位相减法考查的比较多，在涉及数列的恒成立问题时，一般要考虑数列项的最值或前n项和的最值，进行转化处理即可.20。已知函数.（Ⅰ）求证:1是函数的极值点；（Ⅱ）设是函数的导函数，求证：。【答案】（Ⅰ）证明见解析;(Ⅱ)证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）求函数的导数，分析导数在1两侧的符号，判定1是极值点；（Ⅱ)求出的导数，找到,列表求出函数的最小值即可证明.试题解析：（Ⅰ）证明：证法1：的定义域为由得，。当时,，，故在上单调递增；当时，，,故在上单调递减；所以1是函数的极值点。证法2：（根据极值的定义直接证明）的定义域为，当时，，即；当时，,即;根据极值的定义，1是的极值点.（Ⅱ）由题意可知，证法1：，令，，故在上单调递增。又，又在上连续,使得,即，.(*）随x的变化情况如下：↘极小值↗………………10分.由（*)式得，代入上式得。令,，故在上单调递减.,又，.即.证法2：,令，随x的变化情况如下:↘极小值↗，即,当且仅当时取到等号。，令得。随x的变化情况如下：↘极小值↗，即，当且仅当时取到等号。。即。