第10讲拓展四空间中距离问题（等体积法与向量法）（4类热点题型讲练）

第10讲拓展四：空间中距离问题（等体积法与向量法）一、知识点归纳知识点01：用向量法求空间距离1、点到直线的距离已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得：2、点到平面的距离如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度.二、题型精讲题型01利用向量法求点到直线的距离【典例1】（2023春·四川雅安·高二雅安中学校考期中）直线的方向向量为，且l过点，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】∵，，∴，又，∴在方向上的投影，∴P到l距离.故选：C【典例2】（2023秋·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考期末）已知，，，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，，，可得，则向量在方向上的投影为，所以点A到直线的距离．故选：B.【典例3】（2023春·江苏淮安·高二淮阴中学校联考阶段练习）已知点，若点和点在直线上，则点到直线的距离为___________.【答案】/【详解】由题意知，点，，，可得，则，所以，可得，所以点到直线的距离为.故答案为：.【变式1】（2023秋·天津·高二校联考期末）已知空间内三点，，，则点到直线的距离是（

）．A． B．1 C． D．【答案】A【详解】空间内三点，，，所以，，，，由，所以，所以点A到直线的距离.故选：A.【变式2】（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知空间中三点，则点到直线的距离为__________．【答案】【详解】，,，，设点A到直线的距离为，则.故答案为：.题型02点到平面的距离等体积法【典例1】（2023春·天津河西·高一天津市第四十二中学校考阶段练习）如图，直三棱柱的体积为6，的面积为，则点到平面的距离为（

）A． B． C．2 D．【答案】B【详解】由直三棱柱的体积为6，可得，设到平面的距离为，由，，，解得，即到平面的距离为.故选：B.【典例2】（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）如图，在四棱锥中，已知底面是正方形，底面，且是棱上一点．(1)若平面，证明：是的中点．(2)线段上存在点，使得，求到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）如图，连接BD交AC于点O，连接EO，因为ABCD是正方形，所以O是BD的中点，又平面ACE，平面PBD，平面平面ACE＝EO，所以，因为O为BD的中点，所以E是PB的中点．（2）平面,平面,所以,又平面,所以平面,平面,故,因为，即BE＝2PE，且PC＝BC＝1，则，，E到平面ABCD的距离为，到平面PCD的距离为．设E到平面PAD的距离为h．，，，，，所以．【典例3】（2023春·安徽·高一安徽省郎溪中学校联考阶段练习）已知空间几何体中，是边长为2的等边三角形，是腰长为2的等腰三角形，，，，．(1)作出平面与平面的交线，并说明理由；(2)求点到平面的距离．【答案】(1)作图见解析，理由见解析(2)【详解】（1）如图所示，分别延长，交于点，连接，则即为平面与平面的交线.

理由如下：因为．故，，，四点共面，又，则，交于点．由，平面，得平面；由，平面，得平面．所以是平面与平面的公共点，又也是平面与平面的公共点，所以即为平面与平面的交线.（2）连接交于点，因为，，所以，则点到平面的距离是点到平面的距离的2倍．

因为，，所以，又，，，平面，所以平面

同理可证平面．所以三棱锥的体积

因为是腰长为2的等腰三角形，所以．所以，同理

又已知，故的面积．

设点到平面的距离为，则，即，解得．故点到平面的距离为．【典例4】（2023春·陕西商洛·高二镇安中学校考期中）如图,在四棱锥中,已知棱两两垂直且长度分别为1,1,2,,．(1)若中点为,证明:平面;(2)求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明:取中点为,连接,如图所示:分别为中点,,且,,,,故四边形为平行四边形,故,不含于平面,平面,故平面;（2）连接,两两垂直且长度分别为1,1,2,且,,,将底面拿出考虑如下:,,,,,,记到平面的距离为,则,解得:,故到平面的距离为.【变式1】（2023春·重庆·高一重庆一中校考期中）如图所示，在四棱锥中，四边形为等腰梯形，.(1)证明：平面：(2)若，求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）四边形为等腰梯形，，过点C作于E，如图所示，则，可知，由余弦定理知，则，所以，又，平面，，所以平面.（2）连接BD，如图所示,由（1）可知平面，平面，所以平面平面，平面平面，平面，，平面，又，，所以，在中，由，得，设点到平面的距离为d，则，，解得，即点到平面的距离为.【变式2】（2023·上海·高三专题练习）如图，在正三棱柱中，已知，是的中点.(1)求直线与所成的角正切值(2)求证：平面平面，并求点到平面的距离.【答案】(1)(2)【详解】（1）由正三棱柱结构特征可知：，平面，为等边三角形；直线与所成角即为，平面，，在中，，即直线与所成角的正切值为（2）作，垂足为，平面平面，平面平面，平面，，平面，点到平面的距离即为的长，由（1）知：，，，即，点到平面的距离为.【变式3】（2023·河南·许昌实验中学校联考二模）在四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，，．(1)证明：平面平面．(2)若，，求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）在等腰梯形ABCD中，，，，过点C作于E，则，，，所以，则，所以．又，，BC，平面PBC，所以平面PBC，又平面ABCD，所以平面平面PBC；（2）连接BD，由（1）知平面平面PBC，因为，平面平面，平面，所以平面BCD．又，所以，所以三棱锥的体积．在中，因为，所以．设点D到平面PBC的距离为d，所以三棱锥的体积．由，得，解得．【变式4】（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在长方体中，，，且E为中点．求到平面的距离．【答案】．【详解】由题意，可得长方体中，，，所以．设到平面的距离为，则．在直角中，由勾股定理得，所以，所以，解得，即到平面的距离为．题型03点到平面的距离的向量法【典例1】（2023春·浙江温州·高二校联考期末）如图所示，在棱长为1的正方体中为线段的中点.(1)求证：平面平面；(2)求到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为是正方体，所以平面，所以.又，，所以平面，平面，所以平面平面.（2）在正方体中，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，，，设平面的一个法向量为，.由令，则，，即.设到平面的距离为，则，即点到平面的距离为.【典例2】（2023春·高二单元测试）如图，四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，,，平面平面，为棱上一点（不与重合），平面交棱于点.(1)求证：；(2)若二面角的余弦值为，求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为为矩形，所以，又平面，平面，所以平面，又平面平面，AD在面AEFD内，所以.（2）取的中点，连，取的中点，连，则，因为侧面为正三角形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，所以两两垂直，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系：因为,且侧面为正三角形，所以，又，所以，，，，，设，显然，所以，，，，设平面的一个法向量为，则，取，则，，则，取平面的一个法向量为，则，得，解得.所以，所以，，所以点到平面的距离为.【典例3】（2023秋·山西晋中·高二统考期末）在正方体中，为的中点，过的平面截此正方体，得如图所示的多面体，为直线上的动点.(1)点在棱上，当时，平面，试确定动点在直线上的位置，并说明理由；(2)若为底面的中心，求点到平面的最大距离.【答案】(1)为的中点，理由见解析；(2).【详解】（1）设平面与平面的交线为，因为平面平面，平面平面，所以.由正方体知，平面平面，又因为平面平面，平面平面，所以，所以，取的中点，连接，易知，所以，又因为为的中点，所以为的中点.（2）法一：以点为原点，分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则有，其中，设平面的法向量为，则有即，不妨取，，则，所以点到平面的距离当时，；当时，当，即时，d取到最大值为.综上，点到平面的最大距离为【变式1】（2023春·江西宜春·高二江西省清江中学校考期中）在棱长为4的正方体中，点P在棱上，且．(1)求直线与平面所成的角的正弦值大小；(2)求点到平面的距离．【答案】(1)(2)【详解】（1）连接，由正方体的结构特点易知面，为垂足，所以即为所求的线面角，∵，∴，由勾股定理知，，∴．（2）以D为坐标原点，以，，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由已知，，，，，所以，，，设面的法向量为，故有，令，则，故，故点P到平面的距离．【变式2】（2023春·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）如图所示的几何体是一个半圆柱，点是半圆弧上一动点（点与点，不重合），为弧的中点，.(1)证明：；(2)若平面与平面所成的锐二面角的平面角为，求此时点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）连接BP，在半圆柱中，因为平面，平面，所以，又因为BC是直径，所以，又平面，，所以平面，又平面，所以.（2）依题意可知，以线段BC的中点O为坐标原点，以为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，连接OP，设，则，所以，设平面的一个法向量为，所以，则，令，则，所以，设为平面的一个法向量，则，，所以，令，则，所以，因为平面PCA与平面所成的锐二面角的平面角为，所以，令，则，平方化简得，即，又由，可解得或（舍去），所以，所以平面PCA的一个法向量，且，所以点D到平面PCA的距离.【变式3】（2023·江苏苏州·模拟预测）在如图所示的圆锥中，已知为圆锥的顶点，为底面的圆心，其母线长为6，边长为的等边内接于圆锥底面，且.(1)证明：平面平面；(2)若为中点，射线与底面圆周交于点，当二面角的余弦值为时，求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为为圆锥的顶点，为底面的圆心，所以面.又因为面，所以，即.因为为外接圆圆心，且为正三角形，所以.又因为且，面，所以面，因为面，所以面面.（2）作交于，取中点为.因为，，所以.因为面，，面，所以，.如图，以点为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系.因为，，所以，，所以，，，，.由，得，，，，.设面的法向量为，则，取，则，，所以.设面的法向量为，则,取，则，，所以.由，且，解得，所以，.又因为，所以，所以到面的距离.题型04点到平面的距离的探索性问题【典例1】（2023春·福建·高二校联考阶段练习）如图，三棱锥的底面是以为底边的等腰直角三角形，且，各侧棱长均为3.(1)求证：平面平面；(2)若点为棱的中点，线段上是否存在一点，使得到平面的距离与到直线的距离之比为？若存在，求出此时的长；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，此时的长为1【详解】（1）取中点，连接，如图所示：因为，，所以，且，因为是等腰直角三角形，所以，且，又，满足，所以，因为，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）由（1）知，平面，且，故可以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设，因为点为棱的中点，所以到平面的距离为；则，则，所以，则，，所以，所以，所以，设平面的法向量为，则，即，令，可得，则，由，得，或（舍去），此时.故存在一点，使得到平面的距离与到直线的距离之比为，此时的长为1【典例2】（2023春·福建漳州·高二漳州三中校考阶段练习）如图,四棱锥中,底面是边长为2的正方形,,,且,为的中点．(1)求证:⊥平面;(2)求与平面所成角的正弦值;(3)在线段上是否存在点,使得点到平面的距离为？若存在,确定点的位置;若不存在,请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2);(3)存在,且点为线段的中点．【详解】（1）因为四边形为正方形,则,,因为,,,且两直线在平面内，∴⊥平面,∵平面,∴,因为,,,且两直线在平面内∴⊥平面,∵平面,∴,∵,且两直线在平面内∴⊥平面.（2）因为⊥平面,,不妨以点为坐标原点,、、所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系,则、、、,设平面的法向量为,则,,,由,取,可得,,所以,与平面所成角的正弦值为;（3）设点,设平面的法向量为,,,由,取,则,所以,点到平面的距离为,∵,∴．因此,当点为线段的中点时,点到平面的距离为．【变式1】（2