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PAGEPAGE4《微分几何简介》笔记Ch.1矢量代数及其在解析几何中的简单应用§1矢量代数定义：矢量即既有大小，又有方向的量（数学量、物理量等）。直角坐标系-点的坐标与矢的分量在三维空间中，取任意一点O和任意彼此垂直的三个右旋的（即构成右手系的）单位矢量，，，构成一个直角坐标系（或标架）。用表示；O称为的原点，，，称为的基矢(或底矢)。若P为空间任意一点，以O为始点，P为终点的矢量称为P点在标架里的径矢。P点在里的坐标，，就是径矢在里的分量：若P、Q为空间两点，它们在里的径矢依次为，则矢量其中就是该矢量在里的分量。各分量均为0的矢量称为零矢。在同一标架里，两个矢量相等的充要条件是它们的分量依次相等。矢量的长为若，为单位矢量（幺矢）。，则叫做在里的方向余弦，它们是和间的角之间的余弦。零矢没有方向余弦。1.2矢量的基本代数运算现有矢量和，则矢量和：矢量加法按照平行四边形（或三角形）法则。矢量差：矢量减法同样按照平行四边形（或三角形）法则，为加法的逆运算。纯量（或数量）乘矢量：若为纯量，则数积（点乘）：矢量，的数积是纯量其中是，之间的角。矢量，相互垂直的充要条件是它们的数积等于零。零矢与任意矢量垂直。矢量和单位矢量的数积等于在的方向的垂直投影。矢积（叉乘）：矢量，的矢积是矢量其中为，不平行时，同时垂直于，的幺矢，且，，按此次序构成右手系。，矢量，相互平行的充要条件是它们的矢积等于零。零矢与任意矢量平行。运算规律一览若，，是任意矢量，，是任意纯量，则结合律：交换律：§2坐标变换2.1基矢变换在研究齿轮啮合运动时，我们通常取三个标架，一个固定在空间，称为基础标架，另两个分别和运动中的两个齿轮相固连。因此，有必要考察两个标架或坐标之间的相互关系。设，为任意两个直角坐标系。考察基矢和之间的关系，设在坐标系里，标架的基矢为即则是在坐标系里的分量，也是方向余弦，即依次和之间的角的余弦：而在在坐标系里，标架的基矢为或若引进方阵的概念和符号，令，则，互为转置方阵，且，其中I表示三阶单位方阵。和都是正常正交方阵表明：从一个坐标系的基矢到另一个坐标系的基矢的变换是具有正常正交方阵的线性变换，称为正常正交变换。若从到的基矢的变换方阵是，则从到的基矢的变换方阵是。设有三个坐标系，和，若从到的基矢的变换方阵是，从到的基矢的变换方阵是，则从到的基矢的变换方阵为2.2矢量的分量变换设，，是任意矢量在坐标系里的分量，则在坐标系里的分量为或2.3点的坐标变换设任意点P在坐标系里的坐标是，在坐标系里的坐标是，再设O点在里的坐标是，则§3刚体变换刚体是指在运动中，其上任意两点的距离始终保持不变的物体。通常我们假定齿轮是刚体，齿轮运动是刚体运动。设为基础标架，为与齿轮相固连的标架，那么，研究齿

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