2023-2024学年百师联盟高三（上）开学摸底数学试卷（含解析）

4.己知椭圆4.己知椭圆#-+E=i的焦点在y轴上，若焦距为4,则该椭圆的离心率为()A.竺B.yC.iD.Eby=14,则。5=()6.“三分损益法"是古代中国发明的制定音律时所用的生律法.例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为36,那么能发出第二个基准音的乐器的长度为36x（1-|）=24,能发出第三个基准音的乐器的长度为24x（l+|）=32,也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推•现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共12项的数列用来研究数据的变化，己知=192,则=()A,324B.297C.256D.1687.某令饮店有“桃喜芒芒”“草莓玻破”“蜜桃四季春""芋圆葡葡”四种饮品可供选择，现有四位同学到店每人购买一杯饮品，则恰有两种饮品没人购买的概率为()2023-2024学年百师联盟高三（上）开学摸底数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.己知集合4={1,2,3,4},B=(x|^<|)>则AnB=()2.己知cos。+y/~3sina=则cos(a-；)=()A...C.-?D.一兰3.函数/'（*）=言暮（e为自然对数的底数）在［-2,2］的大致图象是()8.8.已知函数/(X)=x3+3x2+x+1,设数列｛如｝的通项公式为an=-2n+9,则f(%)+/'(。2)+••+/■(%)=()二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)9.己知实数771,"满足0VmV：,IVnV2,则下列关系中正确的是()A.mnVnmB.sinmVsin：C.mn2>1D.logmn<lognm10.己知随机变量&服从两点分布，旦P(&=1)=p«=1,2),若!VP1VP2VI,判断不正确的是()A.E(&)VD(&)B.E(G<E(&)C.玖很<D&)D.D&)VD(&)H.若关于x的方程x2+x+m=0(me/?)有两个不等复数根和相，其中*]=-：+^炬是虚数单位)，则下面四个选项正确的有()12.己知函数/•(%)=一若宇°’若关于*的方程，产3)~(2a+l)f(x)+尸+°=0有6个不同的实根，则实数Q可能的取值有()A.-§B.；。D.2三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.己知t为实数，a=(2,0,K=(3,0)，则向量4在向量片方向上的投影向量为.14.己知@+工2)6的展开式中的常数项为(用数字作答).15.己知双曲线E的一个焦点为F,点F到双曲线E的一条渐近线、=写》的距离为1,则双曲线E的标准方程是16.己知在三棱锥P-ABC中，PA+BC=4,ABLACfPA1平面ABC,则三棱锥P-ABC的外接球表面积的最小值为.四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)某厂家为增加销售量特举行有奖销售活动，即每位顾客购买该厂生产的产品后均有一次抽奖机会.在一个不透明的盒子中放有四个大小、质地完全相同的小球分别标有1,2,3,5四个数(1)(1)当m=1时，求曲线y=/'(X)在点(1/(1))处的切线方程;(2)若关于X的不等^/-(x)>|x恒成立，其中e是自然对数的底数，求实数m的取值范围.22.(本小题12.0分)已知点F为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，点P(2,l),Q(0,l),且|PF|=|QF|.(1)求抛物线C的标准方程；(2)若斜率存在的直线Z过点P且交抛物线。于M,N两点，若直线MF,NF交抛物线于A,B两点(M、N与4、B不重合)，求证：直线4B过定点.故选：B.先判断函数的奇偶性，故选：B.先判断函数的奇偶性，再根据/'(2)的正负即可得选项.本题考查函数的图象，属于基础题.4.【答案】B【解析】解：由题得t-4>10-t>0,可得7VCV10,因为焦距为4,所以「一4一(10-。=4,解得t=9,所以椭圆的离心率为f=亮=半.aV55故选：B.答案和解析【解析】解：因为5={x|^<|)={x\x<0或xN2},由交集的运算可知：AC\B=(2,3,4).故选：C.求出集合A,B,由交集的运算能求出结果.本题考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.2.【答案】B【解析】解：因为cos。+y/~3sina=所以fcoscr+^-sina=cos(a-；)=§.故选：B.利用两角差余弦公式的逆用即可得解.本题主要考查两角差的余弦公式的应用，属于基础题.=f(x),则/Xx)为偶函数，所以图象关于y轴对称，排除4、C,又f(2)=芸当>0,B项符合.利用焦点在y利用焦点在y轴上可求t的范围，进而由t-4-(10-t)=4,可求t.本题考查椭圆的性质，属基础题.【解析】解：由题意，可得$5=5。解得=9，..乞=竺=2=二则=：•如=：x14=21,故选：A.先根据等差数列的前〃项和公式及等差中项的性质计算出％=9,再根据题干已知条件计算出。7的值，最后根据等差中项的性质即可计算出。5的值.本题主要考查等差数列的基本运算.考查了方程思想，转化与化归思想，等差中项的性质运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属基础题.【解析】解：根据题意，分析可得a5(l-|)(l+|)(l-|)=a8,而。8=192,解得：a5=324.故选：A.根据题意，分析可得a5(l-|)(l+|)(l-|)=a8,由此计算可得答案.本题考查数列的应用，涉及数列的递推公式，属于基础题.【解析】解：先将四位同学先分为2,2或3,1两堆，共有刍+C；种分堆方法，A2再从4种饮品中选出2种，分配给两堆人，故共有(q+C；)xAg=84种方法，而四位同学到店每人购买一杯饮品，共有44种方法，所以恰有两种饮品没人购买的概率为P=普=刍.404故选：A.先分堆再分配，结合分步乘法计数原理求解.先分堆再分配，结合分步乘法计数原理求解.本题主要考查了排列组合知识，考查了计数原理的应用，属于基础题.8.【答案】D【解析】解：因为/'(x)=*3+3/+x+1=(乂+i)3_2(x+1)+2,即/(x)+/(-2-x)=4,因为Q”=—2n+9,即数列｛%｝为等差数列，由等差数列的性质可得+Q9=。2+。8=。3+。7=。4+。6=2ttS=一2，所以如)+g)=/(a2)+/(%)=/(a3)+/(a7)=fg+fg=4,所以尸(。1)+，(。2)+…+，(妇=4X4故选：D.由函数的性质，结合等差数列的性质求解即可.本题考查了函数的性质，重点考查了等差数列的性质，属中档题.9.【答案】AB【解析】解：由题意知，选项A：mn<l,nm>l,所以mn<nmtA正确；选项B：O<77i<^<-<1<^»所以sinm<sin-»8正确；选项C：取m=；,n=I，则win?=；x(|)2=%v1,C错误：选项。：£>2’logmn>logm^-=-1,lognm<logn^=-1,Wlogmn>lognm,故选：AB.根据己知结合单调性计算指数式，对数式及三角函数值，比较各个选项即可.本题考查函数的单调性，属于基础题.10.【答案】ACD【解析】解：因为随机变量&服从两点分布，且P(*=1)=pt(i=1,2),:VpiV所V1,则E(&)=Pi，E(&)=P2,所以E(fi)VE(&),选项B正确；因为D(&)=Pi(l-Pi),D(&)=p2(l-P2),所以£(&)>»(&),选项A错误;£(&)>。(孔)£(&)>。(孔)，选项C错误；D(fi)-O(f2)=(Pi-P2)(l-Pi-P2)>。，所以D(&)>D&2)，选项D错误•故选：ACD.根据离散型随机变量的数学期望与方差，对选项的命题判断真假性即可.本题考查了离散型随机变量的数学期望与方差的计算问题，是中档题.11.【答案】ACD【解析】解：关于》的方程/+》+m=0(mGR)有两个不等复数根右和*2,其中*1=一：+决«是虚数单位)，则Xj4-x2=—1,所以％2=—：-峭i，m=xrx2=(―|+^i)(—|—-?0=1»故A正确；Xi,X2均为虚数，不能比较大小，故B错误；野=(一；+=1,故C正确；竣=(一§一¥i)2=一！+=工2,故D正确.故选：ACD.根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解.本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.12.【答案】BC【解析】解：当XV0时，f(x)=x3-3x,则「(X)=3x2-3=3(x-l)(x+1),当xE(-1,0)时，f\x)<0,f(x)单调递减，当XG(-00,-1)时，f(x)>0,f(x)单调递增，作出，(x)的图象，如图所示，f2(x)-(2a+l)/(x)+a2+a=(/(%)--a-1)=0,即f(x)=Q与f(x)=a+1共六个不等实根，由图可知f(x)=2时，x=-l或x=2,W/(x)=2有两个根，所以E(X)=1x所以E(X)=1x：+2x?+3x£+4x£==.【解析】(1)根据题意可解P(A)=譬品，(2)根据离散型随机变量的相关知识可解.本题考查离散型随机变量的分布列及其数学期望，属于中档题.18.【答案】(1)证明：由绍产=%+n,即an+1=2an+2n-2,得a&+i+2(n+l)__2an+2n-2+2(n+l)__2/“+4几=2,「。=3)=尸，P(X=4)=村,所以随机变量X的分布列为:两式相减得，25w=2+?+?+--+27r~n'FTT=n.寿=]__(1+；)(!)%即Sn=2-(2+71)(护.【解析】(1)由己知可得Qn+1=2an+2n-2,再由等比数列的定义证明数列｛%+2n｝是等比数列;(2)直接利用错位相减法求数列｛湍哉的前n项和S”本题考查数列递推式，考查等比数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题.由正弦定理得cost+sinC=(2)解：由(1)知，an+2n=2x2n-1=2n,•.•房&；=制•.•Sn=lx(9】+2xG)2+3xG)3+...+nx(9七=1X(^2+2X(^3+•••+(“一l)X(9”+〃X(9混1,Xp2Xp234////：如图以4点为原点，AD,AB所在直线为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，B(0井0),C(2,C,0)，D(2,0,0),p(o,g孳，Q(1,净缁，PC=(2号，一孳，和=(0,—届0)，由(1)知BQ1平面PAC,.%平面P4C的一个法向量为照=(1,一气与，¥)，设平面PCD的一个法向量为元=(x,y,z),nPC=n•CD=0^x+,-=—>r~5y=0»取z=y/~5,得订=(1,1,C),乂APnPC=P,AP,PCc^PAC,又BQu平面ABQ,平面ABQ1•平面PAC.(2)解：作PH1AB于点H,易知PH1平面ABCD,在RtAPAB中，PA=y/AB2-PB2=J(V~5)2-22=1»则PH=萼=¥,AH=VPA^-PH^=网沉__1+1___门cos<BQ,n>=网IE一<lxxT6一由题可知二面角为锐角，所以二面角A-PC-D的余弦值为【解析】(1)利用面面垂直与线面垂直的性质定理及判定定理可得BQ1平面PAC,进而证明结论.(2)作PH1AB于点H,可得PH1平面4BCD,利用勾股定理、等积法可得PA,PH,AH.如图以A点为原点，AD,4B所在直线为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用数量积运算性质、向量夹角公式即可得出结论.本题考查了空间线面位置关系、数量积运算性质、向量夹角公式、二面角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题.21.［答案】解：(1)当m=1时，/(%)=x2-xlnx+1,则f'(x)=2x-Inx-