专题强化三 异面直线、线面角和二面角技巧-2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列（人教A版2019必修第二册）

专题强化三：异面直线、线面角和二面角技巧考点一、异面直线所成的角①两条异面直线所成的角θ∈（0，π2②当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；③两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；④计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。考点二、直线与平面所成的角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角。当直线与平面垂直时，规定这条直线与该平面成直角。当直线与平面平行或在平面内时，规定这条直线与该平面成0°角。（2）范围：斜线与平面所成的角θ的范围是0≤θ≤90°（3）求法：作出斜线在平面上的射影；（4）斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。考点三：二面角技巧一、定义法利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法.例：在三棱锥V－ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝eq\r(3)，求二面角V－AB－C的大小.解取AB的中点D，连接VD，CD，∵△VAB中，VA＝VB＝AB＝2，∴△VAB为等边三角形，∴VD⊥AB且VD＝eq\r(3)，同理CD⊥AB，CD＝eq\r(3)，∴∠VDC为二面角V－AB－C的平面角，而△VDC是等边三角形，∠VDC＝60°，∴二面角V－AB－C的大小为60°.技巧二、三垂线法是利用三垂线定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法.这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线.此方法是属于较常用的.三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直.例：如图，在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC.求二面角A－SC－B的平面角的正弦值.解取SB的中点D，连接AD，则AD⊥SB，垂足为点D，由已知平面SBC⊥平面SAB，平面SBC∩平面SAB＝SB，AD⊂平面SAB，∴AD⊥平面SBC.作AE⊥SC，垂足为点E，连接DE，则DE⊥SC，则∠AED为二面角A－SC－B的平面角.设SA＝AB＝2，则SB＝BC＝2eq\r(2)，AD＝eq\r(2)，AC＝2eq\r(3)，SC＝4.由题意得AE＝eq\r(3)，Rt△ADE中，sin∠AED＝eq\f(AD,AE)＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3)，∴二面角A－SC－B的平面角的正弦值为eq\f(\r(6),3).技巧三、垂面法作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角.关键在找与二面角的棱垂直且与二面角两半平面都有交线的平面.例：如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大小.解∵SB＝BC且E是SC的中点，∴BE是等腰三角形SBC底边SC的中线，∴SC⊥BE.又已知SC⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BDE，∴SC⊥平面BDE，∴SC⊥BD.又SA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴SA⊥BD，而SC∩SA＝S，SC，SA⊂平面SAC，∴BD⊥平面SAC.∵平面SAC∩平面BDE＝DE，平面SAC∩平面BDC＝DC，∴BD⊥DE，BD⊥DC，∴∠EDC是所求二面角的平面角.∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC.设SA＝2，则AB＝2，BC＝SB＝2eq\r(2).∵AB⊥BC，∴AC＝2eq\r(3)，∴∠ACS＝30°.又已知DE⊥SC，∴∠EDC＝60°.即所求的二面角等于60°.专题强化一、单选题1．（2021·安徽·六安市裕安区新安中学高一期末）如图.是圆的直径，，，是圆上一点(不同于，)，且，则二面角的平面角为（

）A． B． C． D．2．（2022·福建·漳州三中高一期中）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为（

）A．0° B．45° C．60° D．90°3．（2022·云南师大附中高一期中）三棱柱中，与AC、AB所成角均为60°，，且，则与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．4．（2021·天津南开·高一期末）如图所示，等边三角形的边长为4，为的中点，沿把折叠到处，使二面角为60°，则折叠后二面角的正切值为（

）．A． B．C．2 D．5．（2022·安徽·合肥市第六中学高一期中）异面直线是指（

）A．不同在任何一个平面内的两条直线B．平面内的一条直线与平面外的一条直线C．分别位于两个不同平面内的两条直线D．空间中两条不相交的直线6．（2022·全国·高一期中）如图所示，在正方体中，M，N分别为棱，的中点，则下列四个结论正确的是(

)A．直线AM与是相交直线B．直线AM与BN是平行直线C．直线AM与BN所成角的余弦值为D．直线AM与平面所成角的余弦值为7．（2022·全国·高一）如图，已知直三棱柱中，侧棱长为，，，点是的中点，是侧面含边界上的动点，且有平面，则直线与侧面所成角的正弦值的最小值为（

）A． B． C． D．8．（2021·云南·丽江市教育科学研究所高一期末）在菱形ABCD中，，，连结BD，沿BD把ABD折起，使得二面角的大小为，连结AC，则四面体ABCD的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．9．（2021·浙江·高一期末）如图，在等腰中，，的内角平分线交边于点D，现将沿翻折至，使得，则的取值范围是（

）A． B． C． D．10．（2020·浙江·高一期末）已知二面角为，，，为垂足，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．二、多选题11．（2022·全国·高一）（多选）如图，在四面体中，点分别是棱的中点，截面是正方形，则下列结论正确的是（

）A． B．截面PQMNC． D．异面直线与所成的角为12．（2021·河北·廊坊市第一中学高一阶段练习）如图，已知正方体的棱长为1，是棱上的动点，则下列说法正确的有（

）A．B．平面C．二面角的大小为D．三棱锥的体积的最大值为13．（2021·江苏南京·高一期末）已知菱形的边长为2，，现将沿折起形成四面体．设，则下列选项正确的是（

）A．当时，二面角的大小为B．当时，平面平面C．无论为何值，直线与都不垂直D．存在两个不同的值，使得四面体的体积为14．（2021·广东佛山·高一期末）如图，在正方体中，下列命题正确的是（

）A．与所成的角为B．与所成的角为C．与平面所成的角为D．平面与平面所成的二面角是直二面角三、解答题15．（2022·浙江温州·高一期中）如图，在三棱锥中，为的中点，和均为等腰三角形，且，，.(1)求三棱锥的体积；(2)求二面角的余弦值.16．（2022·宁夏·银川一中高一期末）如图，在三棱锥S—ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，设PM=AC=1，∠ACB=90°，直线AM与直线SC所成的角为60°.(1)求证：平面MAP⊥平面SAC.(2)求二面角M—AC—B的平面角的正切值；17．（2022·浙江温州·高一期中）如图所示，在四棱锥中，是上的一点，，平面平面，，是等边三角形，已知，.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.18．（2022·全国·高一期中）在正三棱锥中，是的中点且，.(1)求三棱锥的体积；(2)求直线与平面所成角的正弦值.19．（2021·重庆·高一期末）如图所示，图（1）中的中，，，是的中点，现将沿折起，使点到达点的位置，且满足，得到如图（2）所示的三棱锥，点、分别是棱、的中点，、分别在棱、上，满足，.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.20．（2022·福建省德化第一中学高一阶段练习）如图所示，在四棱锥中，四边形ABED是正方形，点G，F分别是线段EC，BD的中点.(1)求证：平面ABC；(2)若平面ABC，且，求异面直线GF与CD所成的角的余弦值.21．（2021·陕西·西安建筑科技大学附属中学高一阶段练习）（1）在如图所示的正方体中，M，N分别为棱和的中点，求异面直线和所成的角的大小．（2）如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，侧棱，求二面角的平面角的大小．22．（2021·浙江省桐乡市高级中学高一阶段练习）如图，在正三棱柱中，，、分别是、的中点．(1)求证：平面；(2)求直线与直线所成角的余弦值．23．（2022·陕西·西安建筑科技大学附属中学高一期末）如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥BC，，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(1)求证：平面BDE⊥平面PAC；(2)求二面角P－BC－A的平面角的大小.24．（2022·浙江省开化中学高一期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，平面平面，，，为的中点．(1)求证：；(2)求二面角的正切值．25．（2021·湖北·高一期末）如图1，在等腰梯形中，，，，．将与分别沿，折起，使得点、重合（记为点），形成图2，且是等腰直角三角形．(1)证明：平面平面；(2)求二面角的正弦值；(3)若，求四棱锥的体积．26．（2022·全国·高一单元测试）如图，在三棱锥中，，，，，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(1)求证：平面平面；(2)求二面角的平面角的大小；(3)当平面时，求三棱锥的体积．27．（2022·全国·高一单元测试）如图，在直角梯形ABCD中，，，，点E是BC的中点．将沿BD折起，使，连接AE、AC、DE，得到三棱锥．(1)求证：平面平面BCD；(2)若，二面角的大小为60°，求三棱锥的体积．28．（2022·全国·高一单元测试）如左图所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点E满足.现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如右图所示.(1)求证：；(2)求异面直线与BE的距离；(3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.29．（2021·吉林·延边二中高一阶段练习）在四棱台中，平面，，，，，，垂足为M.（1）证明：平面平面；（2）若二面角正弦值为，求直线与平面所成角的余弦值.30．（2021·黑龙江齐齐哈尔·高一期末）如图1，已知三棱锥，图2是其平面展开图，四边形为正方形，和均为正三角形，．（1）求二面角的余弦值；（2）若点在棱上，满足，，点在棱上，且，求的取值范围．参考答案：1．C【解析】由圆的性质知：，根据线面垂直的判定得到面，即，结合二面角定义可确定二面角的平面角.【详解】∵是圆上一点(不同于，)，是圆的直径，∴，，，即面，而面，∴，又面面，，∴由二面角的定义：为二面角的平面角.故选：C2．D【解析】【分析】首先还原几何体，再求异面直线所成的角.【详解】如图，还原正方体，如图，，直线与所成的角，即与所成的角，因为，所以直线与所成的角为.故选；D3．A【解析】【分析】延长至，使得，，异面直线与所成角为或其补角．设，求出中的三边长后可得结论．【详解】如图，延长至，使得，连接，，则由与平行且相等得平行四边形，所以，所以异面直线与所成角为或其补角．设，则是菱形且，所以，，是等边三角形，，又，所以，则，所以，，所以异面直线与所成角的余弦值是．故选：A．4．C【解析】【分析】首先作出二面角的平面角，再求正切值.【详解】由条件可知，取的中点，连结，，，，，，是二面角的平面角，，，是等边三角形，，故选：C5．A【解析】【分析】利用定义可以判断选项A正确,借助空间想象力判断选项BCD错误.【详解】解：A.异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线，所以该选项正确；B.平面内的一条直线与平面外的一条直线，可能平行、异面和相交，所以该选项错误；C.分别位于两个不同平面内的两条直线，不一定是异面直线，也有可能平行、异面和相交，所以该选项错误；D.空间中两条不相交的直线，可能异面或者平行，所以该选项错误.故选：A6．C【解析】【分析】A：根据异面直线的判断方法即可判断；B：连接、，根据异面直线判断方法即可判断；C：连接、、EN，为直线与所成的角(或其补角)，解△即可；D：连接DM，∠AMD即为直线AM与平面所成角，解△AMD即可．【详解】对于A，∵M、C、平面，M，A平面，∴直线AM与是异面直线，故A错误；对于B，连接、，∵A、M、平面，B，N平面，∴直线与是异面直线，故B错误；对于C，设的中点为点，连接、、EN，易知EN∥CD且EN=CD，AB∥CD且AB=CD，∴AB∥EN且AB=EN，∴四边形ABNE是平行四边形，∴BN∥AE，∴为直线与所成的角(或其补角)，设正方体的边长为1，则在三角形中，，，，∴，故C正确；对于D，连接DM，∵平面，∴是直线与平面所成的角，在△中，，故D错误；故选：C﹒7．C【解析】【分析】由平面，可知的轨迹是过与垂直的直线在侧面内的部分，又为与侧面所成角，可得最长时直线与侧面所成角的正弦值的最小值，可得的最大值为，进而可得正弦的最小值.【详解】直三棱柱中，侧棱长为，，，点是的中点，是侧面含边界上的动点.由平面，面，∴，即的轨迹是过与垂直的直线在侧面内的部分，由及直棱柱的性质，易证：面，且，∴为与侧面所成角，当越大时越小，同时正弦值也越小，又为与的交点时最长，此时，由△∽△，可得，此时，∴直线与侧面所成角的正弦值的最小值为.故选：C.8．D【解析】【分析】取的中点记为，分别取和的外心与，过这两点分别作平面､平面的垂线，交于点，则就是外接球的球心，先在中，求解，再在，求可得球半径，进而得解.【详解】如图，取的中点记为，连接，，分别取和的外心与，过这两点分别作平面､平面的垂线，交于点，则就是外接球的球心，连接，，易知为二面角的平面角为，则是等边三角形，其边长为，，在中，，∴∵，∴，则四面体的外接球的表面积为.故选：D.9．A【解析】【分析】作于O，连接，易知为二面角的平面角，设，在直角三角形中，可得，在三角形中由余弦定理，可得根据三角函数值即可求出结果.【详解】因为由题意可知,作于O，连接，如图所示则为二面角的平面角，又,所以为等边三角形，设，且，令，则又，所以又，所以又，所以则，又则，所以或（舍去）所以，所以.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据翻折后的角度和长度不变，得到为二面角的平面角；在三角形中由余弦定理，求出由三角函数值的关系进而确定范围.10．B【解析】作出图形，设，，，然后以、为邻边作平行四边形，可知为二面角的平面角，异面直线与所成角为或其补角，计算出三边边长，利用余弦定理计算出，即可得解.【详解】如下图所示：设，，，以、为邻边作平行四边形，在平面内，，，，则，，，，，，所以，为二面角的平面角，即，，为等边三角形，则，四边形为平行四边形，，即，，，，，，平面，平面，，则，在平行四边形中，且，所以，异面直线与所成角为或其补角，在中，，，由余弦定理可得.因此，异面直线与所成角的余弦值为.故选：B.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．11．ABD【解析】【分析】根据线线、线面平行判定和性质逐一判断即可.【详解】解：因为截面是正方形，所以，又平面，平面所以平面又平面,平面平面所以因为截面，截面，所以截面，故B正确同理可证因为，所以，故A正确又所以异面直线与所成的角为，故D正确和不一定相等，故C错误故选：ABD12．ABD【解析】【分析】证明面可证明即可判断A；由面平面可判断B；求二面角的平面角即可判断C；设，则求出最大值可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：连接，，则，面，面，所以，因为，所以面，因为面，所以，故选项A正确；对于B：因为面平面，面，所以平面，故选项B正确；对于C：二面角即为二面角，因为面，所以即为所求角，在中，，故选项C不正确；对于D：设，则，因为,，当点与点重合时，点到的距离最大，此时所以最大为：，所以最大值为，故选项D正确；故选：ABD.13．ABD【解析】【分析】利用图形，结合二面角的定义，判断A；利用面面垂直的判断定理，可证明平面，即可判断B；当时，即可证明，判断C；首先利用体积公式求点到平面的距离，再与比较大小，即可判断D.【详解】A.如图，，所以是二面角的平面角，，当时，是等边三角形，所以，故A正确；B.当时，，所以，又，且，所以平面，平面，所以平面平面，故B正确；C.当时，此三棱锥是正四面体，取的中点，连结，，且，所以平面，所以，故C错误；D.，得，即此时点到平面的距离为，，所以存在两个不同的值，使得四面体的体积为，此时两个二面角互补，故D正确.故选：ABD14．BCD【解析】【分析】根据异面直线所成的角、直线和平面所成的角的概念作出这些角，再求大小即可判断ABC，对于D，利用线面垂直的判定定理判断【详解】解：不妨设正方体的棱长为1，对于A，如图，因为∥，所以与所成的角，即为与所成的角，即，因为，所以，所以A错误，对于B，如图，因为∥，所以为异面直线与所成的角，因为为等边三角形，所以，即与所成的角为，所以B正确，对于C，如图，因为∥，所以四点共面，连接交于，所以，因为平面，平面，所以，因为，所以平面，即平面，所以与平面所成的角为，因为平面，所以，因为，为锐角，所以，所以与平面所成的角为，所以C正确，对于D，如图，因为平面，平面，所以，因为，，所以平面，因为平面，所以平面平面，所以平面与平面所成的二面角是直二面角，所以D正确，故选：BCD15．(1)(2)【解析】【分析】（1）在中，，所以，可以解出，设，的中点分别为，，可以证明平面，从而平面平面，利用面面垂直的性质定理构造出平面的垂线，求出垂线段的长，代体积公式即可求解（2）取的中点记为，连接，，可以证明为二面角的平面角.利用余弦定理即可求解(1)在等腰直角三角形中，，，所以又为中点，则在等腰直角三角形中，，，所以如图所示，所以所以即解之得设，的中点分别为，，则，又，所以因为，，，平面，平面所以平面，又平面∴平面平面，过点作交于点，则平面在中，由余弦定理可得所以，又，所以为正三角形，则在等腰直角三角形中，为斜边的中点，所以，且可得：(2)取的中点记为，连接，因为,，所以又且为中点，则，所以为二面角的平面角.，在中由余弦定理得：，所以二面角的余弦值为.16．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）由已知可证BC⊥平面SAC，又PM∥BC，则PM⊥面SAC，从而可证平面MAP⊥平面SAC；（2）由AC⊥平面SBC，可得∠MCB为二面角M—AC－B的平面角，过点M作MN⊥CB于N点，连接AN，则∠AMN=60°，由勾股定理可得，在中，可得，从而在中，即可求解二面角M—AC—B的平面角的正切值.(1)证明：∵SC⊥平面ABC，∴SC⊥BC，又∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，又ACSC=C，∴BC⊥平面SAC，又∵P，M是SC、SB的中点，∴PM∥BC，∴PM⊥面SAC，又PM平面MAP，∴平面MAP⊥平面SAC；(2)解：∵SC⊥平面ABC，∴SC⊥AC，又AC⊥BC，BCSC=C，∴AC⊥平面SBC，∴AC⊥CM，AC⊥CB，从而∠MCB为二面角M—AC－B的平面角，∵直线AM与直线PC所成的角为60°，∴过点M作MN⊥CB于N点，连接AN，则∠AMN=60°，在△CAN中，由勾股定理可得，在中，，在中，.17．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）作辅助线，证明，根据线面平行的判定定理即可证明结论；（2）证明，从而证明，根据线面角的定义结合三角函数，即可求得答案.(1)连接AC交BD于点E，连接ME,由得,则,而得，得，平面BDM,平面BDM,所以PA∥平面BDM.(2)由题意可知，,则，故,又因为平面平面，平面平面，可得平面，则，且为直线BP与平面PAD所成的角，而是等边三角形，故，又，,.18．(1)(2)【解析】【分析】（1）取BC中点为E，连接PE、AE，证明平面，得证，再由已知得出平面，从而得三棱锥的顶角都是直角，由体积公式计算体积．（2）作平面于，∵为正三棱锥，∴为正的中心.取OB中点为F，连接FD、CF，证明为与平面所成角，在直角三角形中计算出此角的正弦值．(1)取BC中点为E，连接PE、AE.∵，∴，∵，所以，又∵，平面，∴面，∵面，∴，又∵且，平面，∴面，平面，∴，，又为正三角锥，，由，知∴.(2)作平面于，∵为正三棱锥，∴为正的中心.取OB中点为F，连接FD、CF，∵D是PB中点，F为OB中点，∴且，∴平面∴是在平面上的投影，则为与平面所成角.在中，，在，在中，在中，，，则.记与平面所成角为，.19．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）构造平行四边形，利用线线平行推线面平行（2）借助（1）的结论，将问题转化为求与平行的直线与平面所成的角(1)证明：在中，，，,是的中点,,在三棱锥中，取的中点,连接,分别是棱的中点，,连接,满足,四边形是平行四边形，平面,平面平面(2)翻折前，翻折后，平面,平面,,，是中点平面与平面的所成角为与平面的所成角等于与平面的所成角，20．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）连接，可得F是AE的中点，由三角形的中位线定理得，然后利用线面平行的判定定理可证得结论，（2）由，可得是异面直线GF与CD所成的角，令，在中求解即可(1)连接，∵四边形ABED是正方形，且F是BD的中点∴F也是AE的中点∵G是EC的中点，∴∵平面ABC，平面ABC∴平面ABC(2)由（1）可知∴是异面直线GF与CD所成的角.∵平面ABC，平面ABC∴，∵，四边形ABED是正方形，∴，令，则，∴，∴异面直线GF与CD所成的角的余弦值为21．（1）；（2）【解析】【分析】（1）连接则是异面直线和所成的角或补角，求解即可；（2）先证明为二面角的平面角，再求解即可【详解】（1）连接,因为M，N分别为棱和的中点，所以，又易知，所以是异面直线和所成的角或补角，因为为等边三角形，所以；所以异面直线和所成的角为；（2）因为，所以，所以，同理可证，又，所以平面，又平面，所以，又，，所以平面，又平面，所以，所以为二面角的平面角，因为,所以，二面角的平面角的大小.22．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）取的中点，利用线线平行证明面面平行；（2）利用几何法或向量法可得角的余弦值.(1)证明：如图，取的中点，连接，，因为，分别是，的中点，所以，，又平面，平面，平面，同理平面.又，，所以平面平面，又平面，所以平面；(2)法一：（几何法）取中点，因连结，因为为中点，所以，（或其补角）为直线与直线所成角.，，分别是，的中点在中，，，，设直线与直线所成角根据余弦定理得所以直线与直线所成角的余弦值为．法二：（向量法）如图所示，在平面内过作直线.以为原点，分别以的方向为轴，轴，，轴的正方向，建立空间直角坐标系.则，，，，所以，，设直线与直线所成角，所以.所以直线与直线所成角的余弦值为．23．(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面，从而可得，证明，再根据线面垂直的判定定理可得平面PAC，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）由线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理可得平面，则有，从而可得即为二面角P－BC－A的平面角，从而可得出答案.(1)证明：因为PA⊥AB，PA⊥AC，，所以平面，又因平面，所以，因为D为线段AC的中点，，所以，又，所以平面PAC，又因为平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC；(2)解：由（1）得平面，又平面，所以，因为AB⊥BC，，所以平面，因为平面，所以，所以即为二面角P－BC－A的平面角，在中，，所以，所以，即二面角P－BC－A的平面角的大小为.24．(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】（1）过在平面内作，垂足为点，证明出，由线面垂直的性质可得出，利用线面垂直的判定和性质可证得结论成立；（2）过点在平面内作，垂足为点，连接，证明出平面，可得出为二面角的平面角，计算出的长，即可求得的正切值，即可得解.(1)证明：过在平面内作，垂足为点，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，则，平面，平面，，，平面，平面，.(2)解：过点在平面内作，垂足为点，连接，由（1）知平面，平面，，，，所以，平面，因为平面，所以，，所以，为二面角的平面角，平面，平面，，，，则，为的中点，所以，，由，，因此，二面角的正切值为.25．(1)证明见解析；(2)(3)【解析】【分析】(1)先证平面,即可证明面面垂直.(2)证明即为二面角的平面角，解三角形即可求解.(3)由(2)得出底面积和高，即可求解.(1)解：由题意得：又,,故平面；又平面,故平面平面；(2)如图，连接,分别为的中点，由（1）知,故,又,所以，故即为二面角的平面角，由(1)知,平面,又平面,故平面平面,又平面平面,,所以平面,设，则,,,,故二面角的正弦值为：.(3)由(2)得,平面,又，所以,故四棱锥的体积为.26．(1)证明见解析；(2)；(3)【解析】【分析】（1）可通过证明及来证明面，进而可得平面平面；（2）通过证明面，可得是二面角的平面角，在中计算即可；（3）通过来计算三棱锥的体积.(1)由，，且得面，又面，又，D为线段AC的中点，则，又，面，面，面，又面，平面平面；(2)由（1）知面，又面，，又，且，面，面，面，又面是二面角的平面角，在中，即二面角的平面角的大小为；(3)平面，平面，且平面平面，又D为线段AC的中点，可得E为线段PC的中点，且又由面，可得面，可得，则三棱锥的体积为27．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）证明平面，得到，再证明平面，得到证明.（2）分别为的中点，证明为二面角的平面角，设，根据等面积法得到，计算体积得到答案.(1)，，，故平