高中学业水平考试数学人教A版基础知识梳理

高中数学（人教A版）必修一知识点总结第一章集合与简单逻辑用语集合知识回顾1、元素与集合（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.（2）元素与集合的关系：属于或不属于，数学符号分别记为：和.（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）.（4）常见数集和数学符号数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号或①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中；②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.集合应满足.③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合.④列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.2、集合间的基本关系（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）.（2）真子集（propersubset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于”或“真包含”.（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作.（4）空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、集合的基本运算（1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即．（2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即．（3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．第二章一元二次函数、方程和不等式知识回顾1、不等式的概念我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式.自然语言大于小于大于或等于小于或等于至多至少不少于不多于符号语言2、实数大小的比较1、作差法比大小：①；②；③2、作商法比大小（适用于两个正数的大小比较）3、不等式的性质性质性质内容特别提醒对称性（等价于）传递性（推出）可加性（等价于可乘性注意c的符号（涉及分类讨论的思想）同向可加性同向正值可乘性正值可乘方性a，b同为正数正值可开方性知识回顾1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）①如果，，，当且仅当时，等号成立．②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．2、两个重要的不等式①（）当且仅当时，等号成立．②（）当且仅当时，等号成立．5、利用基本不等式求最值①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值；2.3二次函数与一元二次方程、不等式知识回顾1、二次函数（1）形式：形如的函数叫做二次函数.（2）特点：函数的图象与轴交点的横坐标方程的实根；的零点；2、一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.3.或型不等式的解集不等式解集4、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式二次函数的图象一元二次方程的根有两相异实数根，()有两相等实数根没有实数根一元二次不等式的解集一元二次不等式的解集第三章函数的概念与性质知识回顾1、函数的概念设、是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合到集合的一个函数，记作，.其中：叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域。与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．2、同一（相等）函数函数的三要素：定义域、值域和对应关系．同一（相等）函数：如果两个函数的定义和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．3、函数的表示函数的三种表示法解析法（最常用）图象法（解题助手）列表法就是把变量，之间的关系用一个关系式来表示，通过关系式可以由的值求出的值.就是把，之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量，的值.就是将变量，的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系.知识回顾1、函数的单调性（1）单调性的定义（从数的角度）一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，；当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数②当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数。（2）单调性简图：（从形的角度：从左向右看）（3）单调区间（注意先求定义域）若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间（☆单调区间要写满）.2、函数的最值设函数的定义域为，如果存在实数满足：①对于任意的，都有(或者)；存在，使得则称为函数最大值（最值是区域上的整体性质。）3、函数的奇偶性请分别画出函数的函数图像奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数图象关于轴对称奇函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数图象关于原点对称4、函数对称性常用结论（一、轴对称）若函数关于直线对称，则；②；③（2）点对称：若函数关于直线对称，则①②③（2）点对称：若函数关于直线对称，则①②③知识回顾1、幂函数定义一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数．2、五种常见幂函数函数图象性质定义域值域奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在上单调递增在上单调递减；在上单调递增在上单调递增在上单调递增在和上单调递减公共点3.4函数的应用（一）知识回顾常见几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型(，为常数，)二次函数模型(，，为常数，)分段函数模型幂函数模型(，，为常数，)第四章指数函数与对数函数知识回顾1、根式的概念及性质（1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数．（2）性质：①(且)；②当为奇数时，；当为偶数时，2、分数指数幂①正数的正分数指数幂的意义是(，，且)；②正数的负分数指数幂的意义是(，，且)；③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．3、指数幂的运算性质①；②；③.4、指数函数及其性质（1）指数函数的概念函数(，且)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是．（2）指数函数的图象和性质底数图象性质定义域为，值域为图象过定点当时，恒有；当时，恒有当时，恒有；当时，恒有在定义域上为增函数在定义域上为减函数注意指数函数(，且)的图象和性质与的取值有关，应分与来研究知识回顾1、对数的概念（1）对数：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数.（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数.（3）对数式与指数式的互化：.2、对数的性质、运算性质与换底公式（1）对数的性质根据对数的概念，知对数具有以下性质：①负数和零没有对数，即；②1的对数等于0，即；③底数的对数等于1，即；④对数恒等式.（2）对数的运算性质如果，那么：①；②；③.（3）对数的换底公式对数的换底公式：.换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以为底的自然对数.换底公式的变形及推广：①；②；3、对数函数及其性质（1）对数函数的定义形如(，且)的函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是．（2）对数函数的图象与性质图象性质定义域：值域：过点，即当时，在上是单调增函数在上是单调减函数4.3函数的应用（二）知识回顾1、函数的零点对于一般函数，我们把使成立的实数叫做函数的零点．注意函数的零点不是点，是一个数.2、函数的零点与方程的根之间的联系函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．3、零点存在性定理如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.4、常见函数模型（1）指数函数模型（且，）（2）对数函数模型（且，）5、指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度先慢后快，指数爆炸先快后慢，增长平缓介于指数函数与对数函数之间,相对平稳图象的变化随x的增大，图象与轴接近平行随x的增大，图象与轴接近平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个，当时，有第五章三角函数知识回顾1、角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形2、角的分类①正角:按逆时针方向旋转所形成的角.②负角:按顺时针方向旋转所形成的角.③零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.3、象限角（1）定义：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限.（2）象限角的常用表示：第一象限角第二象限角第三象限角或第四象限角或4、终边相同的角的集合所有与角终边相同的角为5、弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).6、角度与弧度的换算弧度与角度互换公式：，7、常用的角度与弧度对应表角度制弧制度8、扇形中的弧长公式和面积公式弧长公式：(是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：.知识回顾1、任意角的三角函数定义（1）单位圆定义法：如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆相交于点①正弦函数：把点的纵坐标叫做的正弦函数,记作,即②余弦函数：把点的横坐标叫做的余弦函数,记作,即

③正切函数：把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即()

我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数（2）终边上任意一点定义法：在角终边上任取一点，设原点到点的距离为①正弦函数：②余弦函数：

③正切函数：()

2、三角函数值在各象限的符号,,在各象限的符号如下:（口诀“一全正,二正弦,三正切,四余弦”）3、同角三角函数的基本关系（1）平方关系：（2）商数关系:（，）知识回顾诱导公式一①②③其中.

公式二公式三公式四第一组：公式一、二、三、四，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数；公式五公式六第二组：公式五、六，实现正弦、余弦之间的转化；图象与性质知识回顾正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中)函数图象定义域值域周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心对称轴方程无递增区间递减区间无三角恒等变换知识回顾1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式①两角和与差的正弦公式②两角和与差的余弦公式③两角和与差的正切公式2、二倍角公式①②；；③3、降幂公式4、辅助角公式：(其中)；知识回顾1、五点法作图必备方法：五点法步骤③①②对于复合函数，第一步：将看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令等于，，，，，对应的则取，，，，。，（如上表中，先列出序