2020-2021学年九年级数学北师大版上册 第1章

1.2矩形性质和判定的运用

第I卷（选择题）

一、选择题（共10小题，3*10=30）

1.点D是等腰RtZ\ABC斜边BC上一点，DELAB于点E,DFJ_AC于点F,若BC=[L则四边

形AEDF的周长是（）

A.IB.2

C.3D.2吸

2.如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM〃AB交AD于点M,若OM=3,BC=10,

则OB的长为（）

3.如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点。处，点B落在点B，处，其

中AB=9,BC=6,则FC的长为（）

10

A.~3~B.4C.4.5D.5

4.如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,对角线AC的垂直平分线分别交AD,AC于点E,O,

连接CE,则CE的长为（）

A.3B.3.5C.2.5D.2.8

5.如图，在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AB=6,BC=8,则AABO的周长为（）

6.如图，在矩形ABCD中，AD=3,M是CD上的一点，将AADM沿直线AM对折得到AANM,

若AN平分NMAB,则折痕AM的长为（）

A.3B.2小

C.3^2D.6

7.如图，在nABCD中，E,F分别是AB,CD的中点，连接AC,AF,CE,当CA=CB时，判断四

边形AECF是（）

A.平行四边形

B.矩形

C.菱形

D.任意四边形

8.如图，矩形ABCD的顶点A,C分别在直线a,b上，且2〃悦Zl=60°,则N2的度数为（)

A.30°B.45°

C.60°D.75°

9.如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,已知下列6个条件:

①AB〃CD；②AB=DC；③AC=BD；©ZABC=90°；⑤OA=OC；

⑥OB=OD.则不能使四边形ABCD成为矩形的是()

A.①②③B.①②④

C.②⑤⑥D.④⑤⑥

10.如图，矩形OABC的顶点O与原点重合，点A,C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（-5,4）,

点D为BC边上一动点，连接OD,若线段OD绕点D顺时针旋转90°后，点。恰好落在AB边上

的点E处，则点E的坐标为（）

A.(—5,3)B.(-5,4)

第n卷（非选择题）

二.填空题（共8小题，3*8=24）

11.将一个含30。的角的直角三角尺(/AMF=90。)按如图所示放置在矩形纸板上，己知矩形纸板的长

是宽的2倍，点M是BC边的中点，则NAFE的度数为—.

12.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AC=10,P,Q分别为AO,AD的中点，则

PQ的长度为.

13.如图，四边形OABC为矩形，点A,C分别在x轴和y轴上，连接AC,点B的坐标为(4,3),

ZCAO的平分线与y轴相交于点D,则点D的坐标为

14.如图，矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线分别交AD,BC于点E,F,

已知AD=4cm,图中阴影部分的面积总和为6cm2,则对角线AC的长为cm.

15.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm,点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形

ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s,则最快s后，四边形ABPQ成为矩

形.

BPC

16.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点E为BC的中点，将4ABE沿AE折叠，使点B

落在矩形内点F处，连接CF,则CF的长为

17.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,过点A作AELBD,垂足为点E,若N

EAC=2ZCAD,则NBAE=度.

18.如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB,BC的长分别是6和8,则点

P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是

三.解答题（共7小题，46分）

19.（6分）如图，在四边形ABCD中，ZA=ZBCD=90°,BC=CD,CE±AD,垂足为E.求证:

AE=CE.

20.（6分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O.过点C作BD的平行线，过点D作

AC的平行线，两直线相交于点E.

(1)求证：四边形OCED是矩形；

(2)若CE=1,DE=2,求菱形ABCD的面积.

21.(6分)在aABC中，D是BC边的中点，E,F分别在AD及其延长线上，CE〃BF,连接BE,CF.

(1)求证：4BDF丝aCDE；

(2)若DE=3BC,试判断四边形BFCE是怎样的四边形，并证明你的结论.

22.(6分)如图，在。ABCD中，点P是AB边上一点(不与A,B重合)，CP=CD,

过点P作PQ_LCP,交AD边于点Q,连接CQ.

(1)若NBPC=NAQP,求证：四边形ABCD是矩形;

(2)在(1)的条件下，当AP=2,AD=6时，求AQ的长.

23.(6分)如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE,BA交于点E连接AC,DF.

(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；

(2)当CF平分NBCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由.

24.（8分）如图，矩形ABCD中，延长AB至点E,延长CD至点F,且BE=DF,连接EF,与BC,

AD分别相交于P,Q两点.

(1)求证：CP=AQ；

(2)若BP=1,PQ=2啦，ZAEF=45°,求矩形ABCD的面积.

25.（8分）如图，在。ABCD中，DOAD,四个角的平分线AE,DE,BF,CF的交点分别是E,F,

过点E,F分别作DC与AB间的垂线MM，与NN',在DC与AB上的垂足分别是M,N与MTN',

连接EF.

⑴求证：四边形EFNM是矩形；

(2)已知I：AE=4,DE=3,DC=9,求EF的长.

参考答案

1-5BDDCA

6-10BBCCA

11.15°

12.2.5

4、

13.(0,3)

14.5

15.4

,18

16.7

17.22.5

18.4.8

19.证明：如图，过点B作BFLCE于点F.

VCE1AD,

.,.ZD+ZDCE=90°.

VZBCD=90°,

/BCF+NDCE=90°,

，NBCF=ND.

在4BCF和4CDE中，NBCF=ND,NBFC=/CED=90°,BC=CD,

.,.△BCF^ACDE(AAS),

，BF=CE.

•.,NA=90°,CE±AD,BF_LCE,

四边形AEFB是矩形，

；.AE=BF,

；.AE=CE.

20.解：(1)；四边形ABCD是菱形，

AACIBD,

.".ZCOD=90°.

：CE〃OD,DE〃OC,

四边形OCED是平行四边形，

又NCOD=90°,

.•.□OCED是矩形

(2)由(1)知I,2CED是矩形，

则CE=OD=1,DE=OC=2.

：四边形ABCD是菱形，

；.AC=2OC=4,BD=2OD=2,

，菱形ABCD的面积为gACBD=；x4x2=4

21.解：(1)证明：VCE/7BF,.\ZCED=ZBFD.

；D是BC边的中点，.\BD=DC.

ZBFD=ZCED,

在4BDF和4CDE中，'/BDF=/CDE,AABDF^ACDE(AAS)

BD=DC,

1

-F

(2)四边形BFCE是矩形.证明：VABOF^ACDE,；.DE=DF

2E

VBD=DC,四边形BFCE是平行四边形.

VDE=1BC=1EF,；.BC=EF,平行四边形BFCE是矩形

22.(1)证明：*?NBPQ=ZBPC+ZCPQ=ZA+ZAQP,

又；ZBPC=ZAQP,二ZCPQ=ZA.VPQ±CP,

；.NCPQ=/A=90。.又：四边形ABCD是平行四边形，

二四边形ABCD是矩形

(2)：四边形ABCD是矩形，.•.ND=/CPQ=90°.

CQ=CQ,

在RtACDQ和RtACPQ中,RtACDQ^RtACPQ(HL).

CD=CP,

；.DQ=PQ.设AQ=x,则DQ=PQ=6—x.

在Rt^APQ中，AQ2+AP2=PQ2,.\X2+22=(6-X)2,

解得x=|".AQ的长是三

23.解：(I)：•四边形ABCD是矩形,

，AB〃CD,

AZFAE=ZCDE,

YE是AD的中点，

，AE=DE,

又・・・NFEA=NCED,

AAFAE^ACDE,

・・・CD=FA,

又・..CD〃AF,

・•・四边形ACDF是平行四边形

(2)BC=2CD.

证明：・・.CF平分NBCD,

・・・NDCE=45°,

VZCDE=90°,

•••△CDE是等腰直角三角形，

ACD=DE,

•・・E是AD的中点，

・・・AD=2DE=2CD,

VAD=BC,

・・・BC=2CD

24.W：(1)证明:2四边形ABCD是矩形,

・・・NA=NABC=NC=NADC=90°,

AB=CD,AD=BC,AB〃CD,AD〃BC,AZE=ZF.

VBE=DF,・・・AE=CF.

"NC=NA,

在4CFP和AAEQ中，\CF=AE,ACFP^AAEQ(ASA),

、NF=NE,

・・・CP=AQ

(2)VAD#BC,AZPBE=ZA=90°.

VZAEF=45°,.二△BEP,ZkAEQ是等腰直角三角形，

・・・BE=BP=1,AQ=AE,，PE=y/iBP=®・,.EQ=PE+PQ=V^+2啦=3啦,

・・・AQ=AE=3,・・・AB=AE-BE=2.

VCP=AQ,AD=BC,/.DQ=BP=1,，AD=AQ+DQ=3+1=4,

・•・矩形ABCD的面积=AB•AD=2X4=8

25.解：(1)过点E,F分别作AD,BC的垂线，垂足分别是G,H.

VZ3=Z4,Z1=Z2,

EG±AD,EM±CD,

EM'1AB

AEG=ME,EG=EM\

，EG=ME=EM^MM'

同理可证：FH=NF=NT=1NN\

VCD/7AB,MM'±CD,NN'_LCD,

，MM'=NN\，ME=NF=EG=FH,

又；MM，〃NN，，四边形EFNM为平行四边形，

又：MM」CD,

.,.□EFNM是矩形

(2)：DC〃AB,.,.ZCDA+ZDAB=180°,

；/3=；/CDA,Z2=|ZDAB,

；./3+/2=90°,

在Rt^DEA,；AE=4,DE=3,

；.AD=、32+42=5.

；四边形ABCD是平行四边形，

.,.ZDAB=ZDCB,

又；N2=[DAB,N5=g/DCB,；.N2=/5,

由⑴知GE=NF,在RtAGEA和RtANFC中

22=N5,

<ZEGA=ZFNC=90°,AGEA^ANFC,

、GE=NF,

；.AG=CN.

在RtADME和RtADGE中，

VDE=DE,ME=GE,

/.△DME^ADGE,；.DG=DM,

；.DM+CN=DG+AG=AD=5,

；.MN=CD—DM—CN=9—5=4.

・・•四边形EFNM是矩形.

，EF=MN=4

1.3正方形的性质与判定

一、选择题（共10小题，3*10=30）

1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）

A.对角线相等B.对角线平分一组对角

C.对角线互相平分D.对角线互相垂直

2.已知在四边形ABCD中，ZA=ZB=ZC=90°,如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方

形，那么这个条件可以是（）

A.ZD=90°B.AB=CDC.AD=BCD.BC=CD

3.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,OELAB交BC于点E,若AD=8cm,

则OE的长为（）

A.3cmB.4cmC.6cmD.8cm

4.在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB边的中点是坐标原点O,

将正方形绕点C按逆时针方向旋转90。后，点B的对应点B，的坐标是（）

A.(-1,2)B.(1,4)

C.(3,2)D.(-1,0)

5.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ABE,则）

A.15°B.35°C.45°D.55°

6.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB至点E,使AE=AC,则/BCE的大小是（）

A.67.5°B.22.5°C.30°D.45°

7.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE,AC,BE相交于点F,则NBFC的度数为（）

A.45°B.55°C.60°D.75°

8.如图，点P是正方形ABCD的边AB上一点（不与A,B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时

针旋转90。得线段PE,连接BE,则/CBE等于（）

A.75°B.60°C.45°D.30°

9.如图，在菱形ABCD中，ZB=60°,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（）

A.14B.15C.16D.17

10.如图，E,F分别是正方形ABCD的边CD,AD上的点，且CE=DF,AE与BF相交于点O,有

下列结论：①AE=BF；②AELBF；③AO=OE；④S“OB=S喇彩DEOF.其中错误的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

AD

填空题(共8小题，3*8=24)

11.已知正方形ABCD的对角线AC=4,则这个正方形的面积是.

12.如图，点E,F分别在正方形ABCD的边DC,BC上，AG±EF,垂足为G,且AG=AB,则N

EAF=°.

BF

13.如图，正方形ABCD的边长为4cm,则图中阴影部分的面积为cm2.

14.若一个正方形和一个等腰三角形有相同的周长，等腰三角形的边长分别为5.6cm和13.2cm,则

这个正方形的面积为.

15.如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,0A=3,则此正方形的面积为

16.如图，正方形OABC的边0A,0C分别在x轴、y轴上，点D(5,3)在边AB上，以点B为中心,

把ABCD逆时针旋转90°,旋转后点D的对应点D，的坐标是.

17.如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E,若NCBF=20。，则NAED

—度，

,D

18.如图，将五个边长都为1的正方形如图摆放，其中点A,B,C,D分别是正方形对角线的交点,

如果将n个边长为1的正方形这样摆放，那么阴影部分的面积和是.

三.解答题（共7小题，46分）

19.（6分）如图，正方形ABCD的对角线相交于点0,点E,F分别在AB,BC上（AE<BE）,且NE0F

=90。，OE,DA的延长线交于点M,OF,AB的延长线交于点N,连接MN.若正方形ABCD的边

长为4,E为OM的中点，求MN的长.

20.（6分）如图，在正方形ABCD中，点G为BC边上任意一点，连接AG,过B,D两点分别作BE

±AG,DF±AG,垂足分别为E,F.求证：△ADFW/XBAE.

21.（6分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE=

DF,连接AE,AF,EF.求证：AABE^AADF.

22.（6分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE,过点A作AGJ_ED交DE于点

F,交CD于点G.求证：4ADG丝Z\DCE.

23.（6分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE,过点A作AGJ_ED交DE于点

F,交CD于点G.连接BF,证明：AB=FB.

24.24.（8分）已知1,在正方形ABCD中，NMAN=45。，/MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分

别交直线CB,DC于点M,N,AH_LMN于点H.求证：AH=AB

25.（8分）如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形.

⑴求证：△BCGdDCE；

（2）求证：BG1DE.

参考答案

1-5CDBCC6-10BCCCA

11.8

12.45

13.8

14.64cm2

15.18

16.(7,5)

17.65

19.解：过点O作OHLAD于点H.

e.•正方形ABCD的边长为4,

・・・OH=HA=2.

•1E为0M的中点，・・・HM=4.

AOM=^22+42=2小.，MN=也0M=2®.

20.证明：・・•四边形ABCD是正方形，

・・・DA=AB,Nl+N2=90°.

VBE1AG,DF±