2020-2021学年八年级数学下学期期中测试卷03（北师大版）教师版

2020-2021学年八年级数学下学期期中测试卷03（北师大版）

（满分100分考试时间120分钟）

测试范围:八下全部内容

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考试号、考场号、座位号，用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卷相对

应的位置上，并认真核对；

2.答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题；

3.考生答题必须答在答题卷上，保持卷面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效。

一、选择题（共10题，每小题3分，共30分）

1.下列所述图形中，是中心对称图形的是（）

A.直角三角形B.平行四边形C.正五边形D.正三角形

【答案】B

试题解析：A、直角三角形不是中心对称图形，故本选项错误；

B、平行四边形是中心对称图形，故本选项正确；

C、正五边形不是中心对称图形，故本选项错误；

D、正三角形不是中心对称图形，故本选项错误.

故选B.

2.若等腰三角形的底角为72。，则这个等腰三角形的顶角的度数是（）

A.36°B.54°C.72°D.108°

【答案】A

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论.

【详解】•••等腰三角形的底角为72。，

等腰三角形的顶角=180。-72°-72°=36°.

故选：A.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.

3.下列各选项中因式分解正确的是（）

A.X2-1=（x-l）2B.a?-2a2+a=/（a一2）

C.-2），+4y=-2y（y+2）D.nrn-2mtt+n=n^rn—iy'

【答案】D

【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而判断即可.

【详解】解：A.X2-1=(X+1)(X-1),故此选项错误;

B.«3-2a2+a=«(<2-1)',故此选项错误；

C.-2y2+4y=-2y{y-2),故此选项错误；

D.m2n-2mn+n-n[m—iy,正确.

故选D.

【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键.

4.在平面直角坐标系中，点A(2,0),点B(0,1),将线段AB绕点A顺时针旋转60。得到线段

AC,则线段BC长为()

A.V2B.上C.75D.M

【答案】C

【分析】△ABC是等边三角形，求出AB即可解决问题.

【详解】解：如图，

VA(2,0),B(0,1),.•.AB=AC=J『+22=6,

VZBAC=60°,AB=AC,.二△ABC是等边三角形，，BC=AB=V^

故选：C.

【点睛】本题考查旋转的性质和等边三角形的判定和性质.熟练掌握等边三角形的判定定理和性质定理是

解题的关键.

(a1)a—1

5.当a=2020时，----~~湘的值是()

<«+la+\)(a+l)

A.2021B.2021.5C.2020D.2020.5

【答案】A

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得.

a1a-1

【详解】—r---7。―旅

（Q+1a+lj（Q+1）

67—1Q—1

4+1（Q+l）~

ci-1

a+1a-1

—a+\»

当a=2020时，

原式=2020+1=2021,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则.

6.下列说法正确的是（）

A.平行四边形的对角线互相垂直

B.对角线互相平分的四边形是平行四边形

C.线段垂直平分线上的点到线段的距离相等

D.同角（或等角）的余角互补

【答案】B

【分析】根据平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、余角的性质分别对各个选项进行判断，

即可得出结论.

【详解】A、•.•平行四边形的对角线互相平分，

.•・选项A不符合题意；

B、•.•对角线互相平分的四边形是平行四边形，

二选项B符合题意：

c、..•线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，

，选项C不符合题意；

D、•.♦同角（或等角）的余角相等，

...选项D不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、余角的性质等知识；熟练掌握平

行四边形的判定与性质是解题的关键..

x—1>0

7.不等式组《C,的解集在数轴上表示正确的是（）

5—2x21

A.B.ZZ3.

0123

C.

【答案】C

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无

解了确定不等式组的解集.

【详解】解：解不等式x—l>0得x>l,

解不等式5-2x21得xW2,

则不等式组的解集为1<XW2,

故选C.

【点睛】本题考查的是解一元•次不等式组，正确求出每一个不等式的解是基础，熟知“同大取大；同小

取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

8.如图，在△ABC中，AC=5,BC=4&，BC的垂直平分线DE交AB于点D,交BC于点E.连接

CD,若CDLAB,则△ABC的面积为（）

A.12B.14C.24D.28

【答案】B

【分析】利用线段垂直平分线的性质得到DB=DC,则可判断△BCD为等腰直角三角形，得出

历

BD=CD=—BC=4,再利用勾股定理计算出AD,然后利用三角形面积公式计算△ABC的面积.

2

【详解】解：VCD±AB,.•.NCDB=/CDA=90。,

：DE垂直平分BC,；.DB=DC,.'△BCD为等腰直角三角形,

65

：.BD=CD=—BC=—x4J2=4,

22

在RSADC中，AD=752_42=3>AAB=4+3=7,

ASAABC=—XCDXAB=-X4X7=14.故选：B.

22

【点睛】本题考查/线段垂直平分线的性质和勾股定理，垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相

等

9.如图，过正六边形ABCDEF的顶点B作一条射线与其内角/BAF的角平分线相交于点P,且/APB=

40°,则NCBP的度数为（）

A.80°B.60°C.40°D.30°

【答案】C

【分析】根据多边形ABCDEF是正六边形，可得/FAB=120。，再根据AP是/FAB的角平分线，可得

ZPAB=60°,最后根据三角形内角和即可求出NABP的度数，进而求出NCBP的度数.

【详解】•••多边形ABCDEF是正六边形，

（6-2）x180°

/FAB=NABC=^-----------------=120。，

6

VAP是NFAB的角平分线，ZPAB--ZFAB=60°,

2

NAPB=40°,NABP=180°-ZPAB-NABP=80°,

二ZCBP=ZABC-ZABP=40°.故选：C.

【点睛】本题考查了多边形内角和定理以及角平分线的定义，解决本题的关键是掌握多边形内角和定理.

10.如图，点P是△ABC内一点，AP1BP,BP=12,CP=15,点D,E,F,G分别是AP,BP,BC,

AC的中点，若四边形DEFG的周长为28,则AP长为（）

G

B匕----------------------4c

r

A.13B.9C.5D.4

【答案】C

【分析】根据三角形的中位线定理得到DG=EF=LpC=」x15="，DE=FG=-AB,求得AB=13,根据勾

2222

股定理即可得到结论.

【详解】•••点D,E,F,G分别是AP,BP,BC,AC的中点，

DG=EF=-PC=-x15=—,DE=FG=-AB,二•四边形DEFG的周长为28,

2222

.1151513

•・DE=FG=—x(28----)=—，..AB=13,

2222

VAPIBP,BP=12,:.AP=1⑪2_pB?=J132_]22=5,故选：C.

【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键.

二、填空题(共6题，每小题3分，共18分)

11.分解因式：a2+3a=.

【答案】a(a+3).

【解析】a2+3a-a(a+3).

12.若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是.

【答案】8

【详解】解：设边数为n,由题意得，

180(n-2)=360x3

解得n=8.

所以这个多边形的边数是8.

13.如图，在平面直角坐标系中，将点P(4,6)绕坐标原点。顺时针旋转90。得到点Q,则点Q的坐标

为.

【答案】(6,-4)

【分析】画出坐标系，然后找到旋转后得到的Q点，根据三角形全等找到对应线段，从而求出坐标.

【详解】解：作图如下，

VZMPO+ZPOM=90°,ZQON+ZPOM=90°,AZMPO=ZQON,

ZPMO^ZONQ

在^PMO和小ONQ中，］NMPO=ZNOQ,AAPMO^AONQ(AAS),

PO=OQ

-,.PM=ON,OM=QN,：P点坐标为(4,6),，Q点坐标为(6,-4),

故答案为(6,-4).

【点睛】本题考查了点的坐标与旋转变换的关系，关键是根据旋转的条件，确定全等三角形.

5x+lAB

14-已知(l)(x+2)=HT-r则实数A+B=

【答案】5

【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，再根据分式相等的条件即可求出所求.

5x+lA(x+2)+1)

【详解】解：等式整理得:

(x-l)(x+2)(x-l)(x+2)

/.5x+l=A(x+2)+B(x-l),5x+l=(A+B)x+2A-B,即A+B=5.

故答案为：5.

【点睛】本题考查了分式的加减.解题的关键是通分.

15.在AABC中，若N5=45°，AB=1O0，4。=56，则A4BC的面积是

【答案】75或25

【分析】过点A作ADJ-BC于点D,通过解直角三角形及勾股定理可求出A。，BD，CD的长，进而

可得出的长，再利用三角形的面积公式即可求出A4BC的面积.

【详解】解：过点A作垂足为。，如图所示.

在用AABO中，AD=ABsin5=10,BD=ABcosB=10；

在H/A4C。中，AD=1().AC=5括，•*-CD=yjAC2-AD2=5>

/.BC=BZ)+C£>=15或3C=3D-C£>=5,5刖80=33。4。=75或25.

故答案为75或25.

【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，通过解直角三角形及勾股定理，求出

AO，BC的长度是解题的关键.

16.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6,BC=4,ZA=120°,E是AB的中点，点F在平行四边形

ABCD的边上，若AAEF为等腰三角形，则EF的长为.

【答案】3有或3或亚

2

【分析】△AEF为等腰三角形，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和30。直角三角形性质、平行四边

形的性质可求解.

【详解】解：当AE=AF时，如图，过点A作A//LM于H，

AEB

D

图1

•.•E是A3的中点,

AE=-AB=3,

2

-,-AE=AF,AHLEF，ZA=120°.

:.ZAEF=ZAFE=3(T,FH=EH，

.-.AH=-AE=-,EH=43AH=—,

222

：.EF=2EH=3y/3，

当AE=E尸时，如图2,

过点A作AN_LCDFN,过点F作丁M，

图2

•••在平行四边形ABC。中，AB=6,BC=4.NA=120°,

..AD=BC=4,ZAZ)C=60。，

:.ZDAN=30°,

:.DN=；AD=2,AN=yj3DN=2>/3.

-AB//CD-ANA.CD，FMA.AB,

AN=MF=2拒,

•;AF=EF，FMLAB，

3

AM=ME=-

2

EF=yjME2+MF2=

当AE=EF=3时;如图3,

.-.EF=3,

综上所述：EF的长为3后或3或字.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题

是本题的关键.

三、解答题（共52分）

17.解不等式：生②>x-1.

3

【答案】x<4

【分析】按照去分母，移项,合并同类项，系数化成1的步骤求解即可.

1+2x

【详解】解：------>x-1,l+2x>3x-3,

3

2x-3x>-3-1,-x>-4,x<4.

【点睛】本题考查了•元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键.

3xx-2

18.化简：（x—+

x~+2x+1

【答案】x2+x

【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，即可解答

3xx-2

【详解】化简:Xx+1x2+2x+l

解：原式」业型-里］

x+1x+1工-2

_x2+X—3x（尤+1）-

X

x+1x-2

=Q_2）x言

=X2+X

【点睛】此题考查分式的化简，掌握运算法则是解题关键

19.如图，在9x7的网格中，每个小正方形边长都是1,其顶点叫做格点，图中A、B、D、E均为格点，

ABD为格点三角形.

（1）直接在网格中画。ABCD,要求C点在格点上；

（2）直接在网格中将（1）中。ABCD的边BC平移，使点B平移到点E的位置，得到线段EF,再以线段

EF为一边，在线段EF右侧画出正方形EFGH；

（3）直接填空：（2）中正方形EFGH的周长是（长度单位）.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4厢

【分析】（1）把线段AB平移，使点A平移到D点，则B点的对应点为C点，连接BC,平行四边形

ABCD即为所求；

（2）把C点向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到F点，然后把EF绕E点顺时针旋转90。得到

EH,把EF绕F点逆时针旋转90。得到FG,则四边形EFGH为正方形；

（3）先利用勾股定理计算出EF,从而得到正方形EFGH的周长.

【详解】（1）如图，四边形ABCD为所作；

（2）如图，线段EF、正方形EFGH为所作；

(3)EF=712+32=V10.

.•.正方形EFGH的周长=4EF=4&5.

故答案为4.

【点睛】本题考查图象的平移、旋转及勾股定理的应用，熟练掌握平移的性质、网格的特征及勾股定理是

解题关键.

20.如图，在DBCFD中，点E是DF的中点，连接CE并延长，与BD的延长线相交于点A,连接CD,

AF.

(1)求证：四边形ADCF是平行四边形；

(2)若CA=CB,则。ADCF为(填矩形、菱形、正方形中的一个).

【答案】(1)见解析；(2)矩形

【分析】(1)首先证明DE是△ABC的中位线，得到E是AC的中点，又E也是DF的中点，运用对角

线互相平分的四边形为平行四边形证明即可.

(2)先证明DE=AE=EC=』AC,根据三角形一边的中线等于这边的•半，则这个三角形为直角三角形，得

2

到NADC=90。，即可得到。ADCF为矩形.

【详解】解：(1)在平行四边形BCFD中,DE//BC,

：E是DF的中点，.\DE=—BC,；.DE是△ABC的中位线，

2

.♦.E是AC的中点，...四边形ADCF是平行四边形.

(2)VCA=CB,DE是△ABC的中位线，

：.DE=-BC=-AC=AE=EC,AZADC=90°,UADCF是矩形.

22

故答案为：矩形.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的中位线的判定和性质，矩形的判定，解题的关键是

结合图形，熟练运用相关的判定和性质进行证明.

21.某市为进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路.实际施工时，每月的

工效比原计划提高了20%,结果提前3个月完成这一工程.求原计划完成这一工程的时间是多少个月？

【答案】原计划完成这一工程的时间是18个月

【分析】设原计划完成这一工程的时间为x个月，根据实际施工的工效=(l+20%)x原计划的工效建立方程

求出其解即可.

【详解】解：设原计划完成这一工程的时间为x个月，

由题意，得：(l+20%)x'=---,解得：x=18.

xx-3

经检验，x=18是原方程的解.

答：原计划完成这一工程的时间是18个月.

【点睛】本题考查了列分式方程解实际问题的运用及分式方程的解法的运用，解答时根据条件建立方程是

关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤.

22.某水果超市计划购进A与B两种苹果.已知每箱A种苹果的进价为60元，如果一次购进A种苹果超

过20箱，超出部分可以享受七折优惠；每箱B种苹果的进价为54元，没有优惠.设超市计划购进x(x>

0,且x为整数)箱苹果.

(1)若超市只购进A种苹果需要花费y元，求y与x之间的函数关系式；

(2)超市决定在A、B两种苹果中选购其中一种，且数量超过20箱，请你帮助超市选择购进哪种苹果更

省钱.

f60x(0<x<20)

【答案】(l)y={s”、且X为整数；(2)当x<30时，购进B种苹果更省钱，当x=30

[42x+360(尤>20)

时，购两种苹果花费一样多，当x>30时，购买A种苹果更省钱

【分析】(1)根据题意，利用分类讨论的方法，可以写出y与x之间的函数关系式；

(2)根据题意，可以列出相应的不等式，从而可以得到超市选择购进哪种苹果更省钱.

【详解】解：(1)当0<xW20且x为整数时，y=60x,

当x>20且x为整数时，y=20x60+60(x-20)x0.7=42x+360,

f60x(0<xW20)

由上可得，y与x之间的函数关系式为°C、且x为整数；

(2)当54x<42x+360时，得x<30,即x<30时，购进B种苹果更省钱，

当54x=42x+360,即x=30,即当x=30时，购两种苹果花费一样多；

当54x>42x+360,得x>30,即当x>30时，购买A种苹果更省钱.

综上可知，当XV30时，购进B种苹果更省钱，当x=30时，购两种苹果花费一样多，当x>30时，购买

A种苹果更省钱.

【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用，分两段列出函数解析

式是解(I)的关键，分三种情况讨论是解(2)的关键.

23.阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：

1+x+x(1+x)+x(1+x)2

=(1+X)I1+x+x(1+x)J

=(1+x)I(1+x)(1+x)I

=(1+x)3

(1)上述分解因式的方法是(填提公因式法或公式法中的一个)；

(2)分解因式：1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3=；

1+x+x(1+x)+x(1+x)2+...+X(1+x)n=(直接填空)；

(3)运用上述结论求值：1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3,其中x=«-1.

【答案】(1)提公因式法；(2)(1+x)4；(1+x)n+1；(3)36

【分析】(1)观察阅读材料中的过程，确定出分解因式方法即可；

(2)由题意根据题中的方法确定出所求即可；

(3)由题意可知原式利用题中的方法化简，把x的值代入计算即可求出值.

【详解】解：(1)上述分解因式的方法是提公因式法；

(2)分解因式：1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3

=(1+x)[1+x+x(1+x)+x(1+x)2]

=(1+x)(1+x)[1+x+x(1+x)]

=(1+x)(1+x)[(1+x)(1+x)J

=(1+x)4；

1+x+x(1+x)+x(1+x)2+…+x(1+x)n

=(1+x)[l+x+x(1+x)+...+x(1+x)n-1J

=(1+x)n[(1+x)(1+x)n-n|

=(1+x)n(1+x)

=(1+x)n+1；

(3)1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3

=(1+x)4,

当x=&-1时，原式=(l+>/6-1)4=(a)4=36.

故答案为：(1)提公因式法；(2)(1+x)4；(1+x)n+1.

【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键.

24.如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，点A的坐标为(0,6),点P在线段AB上,

ZOAB=ZAOP=30°.

(1)求点P的坐标;

（2）将△AOP绕点0顺时针方向旋转，旋转角度为a（0°<a<180°）,旋转中的三角形记为△A1OP1

（点A、P的对应点分别Al、Pl）,在旋转过程中，直线OA1交直线AB于点M,直线OP1交直线AB

于点N,当AOMN为等腰三角形时，请直接写出a的值.

图1图2

【答案】（1）P（石，3）：（2）当^OMN为等腰三角形时，a的值是45。或90。或135。

【分析】（1）如图I,过P作PHLOB于H,根据三角形中位线定理得PH=3,由含30度的直角三角形

的性质可得OB的长，从而得OH的长，即可解决问题；

（2）分情况讨论：若NO=NM,则由旋转的性质可得/NOM=NNMO=30。，此时M、A重合，不符合题

意；如图2,当OM=ON,旋转角小于90。时，根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和三角形的

外角性质求解；如图3,当OM=MN时，可直接得出a=90。；如图4,当OM=ON,旋转角大于90。时，

根据旋转的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角性质解答即可.

【详解】解：（1）如图I,过P作PHLOB于H.

图1

•••点A的坐标为（0,6）,，OA=6,

VZOAB=ZAOP=30°,

.,.ZABO=ZBPO=60°,AP=OP,

•••△OBP是等边三角形，

，AP=OP=BP,

：PH〃OA,；.OH=BH,

•,.PH=—OA=3,

2

RsAOB中，；NBAO=30。，，OB=2G，.\OH=73.

：.P(G3)；

(2)若NO=NM,则/NOM=/NMO=30。，此时M、A重合，不符合题意;

如图2,当OM=ON,旋转角小于90。时，则NOMN=/ONM,

.\ZOMN=75°,

VZBAO=30°,

；.a=/OMN-NBAO=75。-30。=45。：

如图3,当OM=MN时，a=90°；

如图4,当OM=ON,旋转角大于90。时，NAOP=NAlOPl=30。,

Ar

AX

Pl

图4

VZAOAl=ZPOPl=a,

JZAON=180°-a-30°=150°-a,

VOM=ON,

AZN=ZM=60o-(a-90°)=150°-a,

VZOAP=ZN+ZAON,

A30°=2(150°-a),

解得:a=135°；

综上，当AOMN为等腰三角形时，a的值是45。或90。或135。.

【点睛】本题以坐标系为载体，主要考查了旋转的性质、30。角的直角三角形的性质、等边三角形的判定和

性质、三角形的中位线定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理以及三角形的外角性质等知识，涉

及的知识点多、综合性强，具有相当的难度，属于试卷的压轴题，全面分类、灵活应用上述知识是解题的

关键.

25.如图1,△ABC是等腰直角三角形，AB=