2020-2021学年人教A版数学选修2-2学案：第二章推理与证明

第二章推理与证明

2.1合情推理与演绎推理

2.1.1合情推理

内容标准学科素养

1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进加强直观想象

行简单的推理；提升数学运算

2.了解合情推理在数学发现中的作用.严密逻辑推理

01谣前自主预习@-------------------------------------------------------掌握基本知识，注重基础训练

授课提示：对应学生用书第34页

［基础认识］

知识点一归纳推理

预习教材P70-72,思考并完成以下问题

(1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电.

(2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体.

以上属于什么推理？

提示：属于归纳推理.

知识梳理归纳推理

(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特

征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).

(2)特征：由部分到整体,由个别到一般的推理.

知识点二类比推理

预习教材P72-74,思考并完成以下问题

科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(I)火星也是绕太阳公转、

绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替：(3)火星上大部分时间的温度适合地

球上某些已知生物的生存，等等.由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在.他们使用

了什么样的推理？

提示：类比推理.

知识梳理类比推理

(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些旦知特征，推出另一类对

重也具有这些特征的推理称为类比推理.

(2)特征：由特殊到特殊的推理.

知识点三合情推理

预习教材P74-77,思考并完成以下问题

归纳推理和类比推理有何区别与联系？

提示：区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是

由特殊到特殊的推理.

联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假.

知识梳理合情推理

(1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想,再

进行归纳、类比,然后提出迪的推理，我们把它们统称为合情推理，通俗地说，合情推理

就是合乎情理的推理.

(2)推理的过程

从具体问题出爰1~|观察、分析、比较、联想|-1归纳、类比|一|提出猜想

思考：1.归纳推理有哪些特点？

提示：(1)归纳推理是由几个已知的特殊对象，归纳出一般性的结论，该结论超越了前提

所包含的范围.如著名的哥德巴赫猜想、费马猜想等.

(2)由归纳推理得到的结论带有猜测的性质，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发

生的，结论是否正确，需要经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的

工具.

(3)一般地，如果归纳的个别对象越多，越具有代表性，那么得到的一般性结论也就越可

靠.

(4)归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段.通过归纳推理得到

的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题.

2.类比推理有哪些特点？

提示：(1)类比推理是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，即

以原有认识作基础，类比出新的结果.

(2)由类比推理得到的结论也具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践

检脸，因此，类比推理同归纳推理一样也不能作为数学证明的工具.

(3)如果类比的两类对象的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比

得出的结论就越可靠.

3.合情推理有哪些特点？

提示：(1)合情推理的根据是已有的事实和正确的结论(包括定义、定理、公理等)、实脸和

实践的结果，以及个人的经验等.

(2)合情推理的结论往往超越了前提所界定的范围，仅仅是一种猜想，既可能为真，也可

能为假.

(3)在数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；合

情推理不能作为数学证明的工具，但常常能为我们提供证明的思路和方向.

I自我检测］

1.如图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子的颜色

为()

A.白色B.黑色

C.白色可能性大D.黑色可能性大

解析：三个白色、两个黑色，依次类推，出现以5为周期的重复现象，所以第36颗珠子

相当于新一轮的第一颗，故为白色.

答案：A

底X高

2.已知扇形的弧长为/,半径为r,类比三角形的面积公式S=/•巴，可推知扇形面积

公式S制等于()

户,尸

A.yB.~

C.yD.不可类比

解析：类比三角形的面积公式5=庭尹，则扇形的面积公式为5=弧长j半胫苦.

答案：C

3.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1:2,则它们的面积比为1:4,类似地，

在空间上，若两个正四面体的棱长的比为I：2,则它们的体积比为.

解析：面积涉及两个变量，故面积比为边长比的平方；体积涉及到三个变量，故体积比

是边长比的立方.

答案：1：8

02谣堂合作探究®洞悉学习方向，把脉核心问题

授课提示：对应学生用书第35页

探究一归纳推理

［例1］(1)观察下列等式：

1+1=2X1,

(2+l)(2+2)=22XlX3,

(3+l)(3+2)(3+3)=23X1X3X5,

照此规律，第〃个等式可为.

Y

(2)已知/u)=有，设力a)=/u),%(工)=工1伉-1。))(〃>1,且〃£N*),则方⑴的表达式为

,猜想启x)(〃£N*)的表达式为.

［解析］(1)本题主要考查数字的推理，由(1+1),(2+1)(2+2);(3+1)(3+2)(3+3),可以

推理出第n个等式的等号左边式子为(〃+1)(〃+2)(〃+3)…(〃+〃)，

由2X1,22X1X3,23X1X3X5,可以推理出第n个式子的等号右边式子为

2〃X1X3X5X…X(2〃—l).

(2历(%)一］_『M*x)_于1.(X)］一］_:㈤

x

.x1—2x*

力(x)=力仍(x)］=l.2我(X)

1-2xX

Y

猜想4(犬)=］_2厂.

［答案］(1)(〃+1)(〃+2)(〃+3)…(〃+〃)=2"X1X3X5X…X(2〃-1)

xX

(2)1-4X启.=］一2"以

延伸探究在本例(2)中，若把'/(X)=%T(AT(X))"改为'/(x)=/5i(x))”，其他条件不

变，试猜想工仆)(xGN*)的表达式.

YY

［解析j・・\/(x)=jTzp・\/ia)=yTG,

义・；fn(X)=Nf〃T⑻,

X

1~XX

・"a)=A/i(x))=1=]_2-

X

1-2xx

fi(X)=yg(x))="-=~\—3x，

l~l-2x

1—3xx

力⑴=A6a))=——

Li-3x

x

因此，可以猜想力(x)==；

方法技巧(1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法

①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；

②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征；

③提炼出等式(或不等式)的综合特点；

④运用归纳推理得出一般结论.

(2)数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前〃项

和.

①通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；

②根据数列中的前几项或前〃项和与对应序号之间的关系求解；

③运用归纳推理写出数列的通项公式或前〃项和公式.

跟踪探究L已知正项数列｛斯｝满足5“=机+求出a”S，的，并推测正项数

列｛m｝的通项公式.

解析：令”=1,有即ai=gai+J,化简可得届一1=0,因为0>0,

所以0=1；

令〃=2,有S2=X〃2+即。1+。2=m2+化简可得足+242—1=0,因为他>0,

所以〃2=6—1；

令71=3,有S3=X〃3+£),即0+42+。3=蛆3+2)，化简可得届+23—1=0,因为

tl3>0,所以。3=小一地;

令〃=4,有S4=1(y4+£),即。|+。2+43+。4=/44+5)，化简可得届+2小四一1=0,

因为。4>0,所以〃4=2一小.

因为〃]=1=，T—a2=y[2—]=y[2—y[\f的=小一/，的=2一小=也一小，归纳

=

猜测正项数列｛〃“｝的通项公式为anyfn—yjn—1.

[例2]用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：

>b><>5>><>^><>-

①②③

按照上面的规律，第〃(〃GN*)个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()

A.6n—2B.8〃-2

C.6"+2D.8〃+2

[解析]观察易知第1个“金鱼”图需要火柴棒8根，而第2个“金鱼”图比第1个“金

鱼”图多的部分需要火柴棒6根，第3个“金鱼”图比第2个“金鱼”图多的部分需要火柴

棒6根……由此可猜测第〃个“金鱼”图需要火柴棒的根数比第("一1)个“金鱼”图需要火柴

棒的根数多6,即各个“金鱼”图需要火柴棒的根数组成以8为首项，6为公差的等差数列｛%｝,

易求得通项公式为a“=6〃+2(〃eN*).

I答案]C

方法技巧归纳推理在图形中的应用策略

通过一组平面图形或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需将图形问题数字

化，展现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理.解答该类问题的一般策略是：

跟踪探究2.图(1)是棱长为1的小正方体，图(2),(3)是由这样的小正方体摆放而成的.按

照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层、第2层、第3层……将第n层的小正方体

的个数记为S“.解答下列问题：

36

(2)Sio=:

⑶S产(HeN*).

解析：第1层：1个；第2层：3个，即(1+2)个；第3层：6个，即(1+2+3)个；第4

层：10个，即(1+2+3+4)个……

由此猜想，第n层的小正方体的个数为上一层的小正方体的个数加上nf所以S〃=l+2

+3+…一),Sio=55.

答案：(1)10(2)55(3)〃啖)

探究二类比推理

［例3］设等差数列｛〃”｝的前〃项和为S”则§4，Sg-$4，S12—§8，S16—S12成等差数列.类

比以上结论：设等比数列｛8,｝的前〃项积T”,则,并成等比数列.

［解析］设等比数列｛仇｝的公比为我?W0).

在等比数列｛/?〃｝中，通过类比，有。，靠，会,拜成等比数列.

证明如下：

'J'QTI2

易知14=bib2b3b4,仆="历…力8,712=历历…仇2,716=办也…加6,所以元=85b6b7b8,亍=

Ts212Z16

bgb\ob\\b\2f婴=63"4b15历6,所以伊=母"=*=严，因此。，白祟2成等比数列.

112J4±8112，4Is112

宏安TsTn

［答案1元怎

方法技巧(1)类比推理的一般步骤

I对比I~书国两类对象之间可以确切表达的相似特征I

用一类对象的已知特征去推测另一类对象的

猜想

II—,■特征，从而得出一个猜想

I检,验I检验这个猜想

(2)中学阶段常见的类比知识点：等差数列与等比数列，向量与实数，空间与平面，圆与

球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下

平面图形空间图形

点直线

直线平面

边长面积

面积体积

三角形四面体

线线角面面角

跟踪探究3.如图，在RtZVIBC中，NC=90。.设a,b,c分别表示

边的长度，由勾股定理，得。2=/+从.类比平面内直角三角形的勾股定理,

出空间中四面体性质的猜想.

解析：如题图，在RtZ\A8C中，NC=90。.设a,b,c分别表示3条边

的长度，由勾股定理，得/=/+〃.类似地，如图所示，在四面体P-DEF

中，NPDF=NPDE=NEDF=90°.设小,S2,S3和S分别表示△「£>「，△

PDE,△£•£)尸和△PEF的面积，相对于直角三角形的两条直角边”，〃和1条斜边c,图中的

四面体有3个“直角面”Si,S2,S3和1个“斜面”S.于是类比勾股定理的结构，我们猜想S2

=S¥+S?+SW成立.

03课后讨论探究您------------------------------------------总