江苏省盐城市高三(上)期中数学试卷

高三（上）期中数学试卷题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）已知集合A={x|x2−1=0}，B=[0,+∞)，则A∩B=______．已知角α的始边为x轴的正半轴，点P(1,22)是其终边上一点，则cosα的值为______．“x>1”是“x>2”的______条件．若向量a=(l,m)，b=(3,2)，a//b，则实数m的值为______．函数y=−1+log2x的定义域为______．若函数y=f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=log2(1+x)，则f(−7)的值为______．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3=S5，且公差d≠0，则a1d的值为______⋅若sin(π+α)=−45，则cos2α的值为______．若函数f(x)=sinx−3cosx的图象关于直线x=a对称，则|a|的最小值是______．若函数f(x)=ax2+2x+1−a,x<0ex,x≥0在(−1,+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是______．若数列{an}满足a1=a2=1，a3=2，则数列{an⋅an+1}是等比数列，则数列{an}的前19项和的值为______．如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，AD=23AB，AE=13AC，DM=ME，BN=NC，若MN⊥BC，则cosA的值为______．

在△ABC中，AC=1，AB=2，D为BC的中点，∠CAD=2∠BAD，则BC的长为______．设函数f(x)=|2x3−3x2−a|，若对任意的实数a，总存在x0∈[0,2]，使得f(x0)≥m，则实数m的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）若函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象经过点(0,3)，且相邻的两个零点差的绝对值为6．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若将函数f(x)的图象向右平移3个单位后得到函数g(x)的图象，当x∈[−1,5]时，求g(x)的值域．

设p：“∀x∈R，sinx≤a+2n”；q：“f(x)=x2−x−a在区间[−1,1]上有零点．”

(1)若p为真命题，求实数a的取值范围；

(2)若p∨q为真命题，且p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

如图所示是某社区公园的平面图，ABCD为矩形，AB=200米，BC=100米，为了便于居民观赏花草，现欲在矩形ABCD内修建5条道路AE，DE，EF，BF，CF，道路的宽度忽略不计，考虑对称美，要求直线EF垂直平分边AD，且线段EF的中点是矩形的中心，求这5条路总长度的最小值．

如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，点D为△ABC内一点，满足BD=CD=2，且AB⋅AC+5DB⋅DC=0．

(1)求sin∠ABCsin∠BCD的值；

(2)求边BC的长．

在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次拓展．如数列1，2，经过第1次拓展得到数列1，3，2；经过第2次拓展得到数列1，4，3，5，2；设数列a，b，c经过第n次拓展后所得数列的项数记为Pn，所有项的和记为Sn．

(1)求P1，P2，P3；

(2)若Pn≥2019，求n的最小值；

(3)是否存在实数a，b，c，使得数列{Sn}为等比数列，若存在，求a，b，c满足的条件；若不存在，请说明理由．

设函数f(x)=ex(x−1)−x−a，a为常数．

(1)当a=0时，求函数f(x)的图象在点P(0,f(0))处的切线方程；

(2)若函数f(x)有两个不同的零点x1，x2；

①当a∈Z时，求a的最小值；

②当a=1时，求x1+x2的值．

答案和解析1.【答案】{1}

【解析】解：∵集合A={x|x2−1=0}={−1,1}，B=[0,+∞)，

∴A∩B={1}．

故答案为：{1}．

先求出集合A，B，由此能求出A∩B．

本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2.【答案】13

【解析】解：∵角α的始边为x轴的正半轴，点P(1,22)是其终边上一点，则cosα=11+8=13，

故答案为：13．

由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．

本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．

3.【答案】必要不充分

【解析】【分析】

本题主要考查充分条件、必要条件的判断，属于基础题．

由题意，由前者不能推出后者，由后者可以推出前者，故可得答案．

【解答】

解：若“x>1”，则“x>2”不成立，反之，“x>2”时“x>1”，成立，

故答案为：必要不充分．

4.【答案】23

【解析】解：向量a=(l,m)，b=(3,2)，

当a//b时，1×2−3m=0，

解得m=23．

故答案为：23．

根据平面向量共线的坐标表示，列方程求出m的值．

本题考查了平面向量的共线定理与坐标运算问题，是基础题．

5.【答案】[2,+∞)

【解析】解：要使函数有意义，则−1+log2x≥0得log2x≥1得x≥2，

即函数的定义域为[2,+∞)，

故答案为：[2,+∞)．

根据函数成立的条件进行求解即可．

本题主要考查函数定义域的求解，结合根式和对数函数的性质是解决本题的关键．

6.【答案】−3

【解析】解：∵f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)=log2(1+x)，

∴f(−7)=−f(7)=−log28=−3．

故答案为：−3．

根据f(x)为奇函数即可得出f(−7)=−f(7)，而根据x>0时，f(x)的解析式即可求出f(7)，从而得出f(−7)的值．

考查奇函数的定义，以及已知函数求值的方法．

7.【答案】−72

【解析】解：由S3=S5，且公差d≠0，

∴3a1+3d=5a1+5×42d，可得：2a1+7d=0．

则a1d=−72．

故答案为：−72．

利用等差数列的求和公式即可得出．

本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

8.【答案】−725

【解析】【分析】

本题考查二倍角公式以及诱导公式的应用，考查计算能力，是基础题．利用诱导公式以及二倍角公式化简求解即可．

【解答】

解：sin(π+α)=−45，可得sinα=45，

cos2α=1−2sin2α=1−2×1625=−725．

故答案为−725．

9.【答案】π6

【解析】解：∵函数f(x)=sinx−3cosx=2(12sinx−32cosx)=2sin(x−π3)的图象关于直线x=a对称，

则a−π3=kπ+π2，即

a=kπ+5π6，k∈Z．

令k=−1，可得|a|的最小值是π6，

故答案为：π6．

由题意利用两角和差的三角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得|a|的最小值．

本题主要考查两角和差的三角公式，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．

10.【答案】[0,1]

【解析】解：根据题意，函数f(x)=ax2+2x+1−a,x<0ex,x≥0在(−1,+∞)上是增函数，

当a=0时，f(x)=2x+1,x<0ex,x≥0，满足在(−1,+∞)上是增函数，

a<0时，不满足题意；

当a>0时，

必有a>0−22a≤−11−a≤1，解可得：0<a≤1；

故a的取值范围为0≤a≤1；

故答案为：[0,1]．

根据题意，由函数单调性的定义分析a的范围，可得不等式组，解可得a的取值范围，即可得答案．

本题考查分段函数的单调性，关键是掌握函数单调性的定义，属于基础题．

11.【答案】1534

【解析】【分析】

本题考查等比数列的定义及求和公式的简单应用，属于中档题．

由已知可得anan+1an−1an=q化简可得an+1an−1=q，然后结合a1=a2=1，a3=2，可求q，结合等比数列的求和公式即可求解．

【解答】

解：数列{an⋅an+1}是等比数列，

∴anan+1an−1an=q即an+1an−1=q，

∵a1=a2=1，a3=2，

∴q=a3a1=2，

则数列{an}的奇数项和偶数项分别成公比为2的等比数列，

且奇数项分别为1，2，4，8…偶数项分别为1，2，4，8…

前19项和的(1+2+4++…+28)+(1+2+4+…+29)=1−291−2+1−2101−2=29+210−2=1534

故答案为：1534

12.【答案】66

【解析】解：连接DN、EN，∵DM=ME，则M是线段DE中点，∴2NM=ND+NE，

∵BN=NC，AD=23AB，∴ND=NB+BD=CB2+BA3，

同理NE=NC+CE=BC2+2CA3，∴2NM=ND+NE=BA3+2CA3，

由CB=CA+AB=CA−BA，∴2MN⋅CB=(BA3+2CA3)⋅(CA−BA)

=2CA23−BA23−BA⋅CA3=2CA23−BA23−BA⋅CAcosA3，

∵若MN⊥BC，AB=3，AC=2，∴2×223−323−3×2cosA3=0，

∴cosA=66．

故答案为：66．

连接DN、EN，∵DM=ME，则M是线段DE中点，∴2NM=ND+NE=BA3+2CA3，∵若MN⊥BC得

2MN⋅CB=(BA3+2CA3)⋅(CA−BA)=2CA23−BA23−BA⋅CAcosA3=0，代入已知数据即可求出cosA．

本题考查了平面向量的有关概念，平面向量基本定理，平面向量共线定理，数量积公式，向量垂直等知识，属于中档题．

13.【答案】5

【解析】【分析】

本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．

在△ABD中和在△ADC中，利用正弦定理分别求出sin∠ADB和sin∠ADC，再结合条件求出∠BAC，最后在△ABC中，利用余弦定理求出BC．

【解答】

解：在△ABD中，由正弦定理，有BDsin∠BAD=ABsin∠ADB，∴sin∠ADB=2sin∠BADBD，

在△ADC中，由正弦定理，有ACsin∠ADC=DCsin∠CAD，∴sin∠ADC=sin∠CADDC．

∵D为BC的中点，∠CAD=2∠BAD，

∴2sin∠BAD=sin2∠BAD=2sin∠BADcos∠BAD，

∴cos∠BAD=22，∴∠BAD=π4，∠CAD=π2，∴∠BAC=3π4，

∴由余弦定理，有BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcos∠BAC

=2+1−22⋅(−22)=5，

∴BC=5．

故答案为：5．

14.【答案】(−∞,52]

【解析】解：设f(x)的最大值是M(a)，

令g(x)=2x3−3x2−a，

则g′(x)=6x2−6x=6x(x−1)，

故g(x)在[0,1)递减，在(1,2]递增，

故g(x)min=g(1)=−1−a，

而g(0)=−a<g(2)=4−a，

故g(x)∈[−1−a,4−a]，

由−1−a+4−a2=0，解得：a=32，

①a≥32时，M(a)=|−1−a|=1+a，

②a<32时，M(a)=|4−a|=4−a，

故M(a)=1+a,a≥324−a,a<32，

故M(a)min=52，故m≤52，

故答案为：(−∞,52].

令g(x)=2x3−3x2−a，根据函数的单调性求出g(x)的范围，通过讨论a的范围求出f(x)的最大值M(a)，从而求出M(a)的最小值，求出m的范围即可．

本题考查了函数的单调性，最值问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道常规题．

15.【答案】解：(1)∵f(x)相邻的两个零点差的绝对值为6，

记f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的周期为T，则T2=6，

又T=2πω，∴ω=π6，

∴f(x)=2sin(π6x+φ)(0<φ<π2)；

∵f(x)的图象经过点(0,3)，∴f(0)=2sinφ=3(0<φ<π2)，∴φ=π3，

∴函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(π6x+π3)．

(2)∵将函数f(x)的图象向右平移3个单位后得到函数g(x)的图象，

由(1)得，f(x)=2sin(π6x+π3)，

∴函数g(x)的解析式为g(x)=2sin[π6(x−3)+π3]=2sin(π6x−π6)；

当x∈[−1,5]时，π6x−π6∈[−π3,2π3]，则2sin(π6x−π6)∈[−3,2]．

综上，当x∈[−1,5]时，g(x)的值域为[−3,2]．

【解析】(1)求出函数的周期，求解ω，利用函数经过的点，求解φ，然后得到函数的解析式．

(2)利用函数的图象的平移变换推出函数的解析式，求解相位的范围，然后求解函数的最值．

本题考查三角函数的图象的变换，函数的周期性以及函数的最值的求法，是基本知识的考查，是基础题．

16.【答案】解：(1)∵p为真命题，则2+a≥(sinx)max，∴a≥−1；

(2)∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，

则p，q一真一假，

若q为真命题，则a=x2−x在x∈[−1,1]在有解，

又y=x2−x，x∈[−1,1]的值域为[−14,2]，∴−14≤a≤2．

①p真q假，a≥−1a<−14或a>2，

则a>2或−1≤a<−14．

②p假q真，a<−1−14≤a≤2，则a∈⌀．

综上，实数a的取值范围是[−1,−14)∪(2,+∞)．

【解析】(1)由p为真命题，可得2+a≥(sinx)max，进而得出a的范围．

(2)根据p∨q为真命题，p∧q为假命题，可得p，q一真一假，若q为真命题，则a=x2−x在x∈[−1,1]在有解，利用二次函数的单调性可得y=x2−x，x∈[−1,1]的值域．分类讨论即可得出．

本题考查了不等式的解法、函数的单调性、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于中档题．

17.【答案】解：解法一：设∠ADE=θ(θ∈(0,π2))，过E作EH⊥AD于H，

∵EF垂直平分AD，∴DH=12BC=50(米)，∴DE=50cosθ(米)，EH=50tanθ(米)，

又∵EF的中点是矩形ABCD的中心，∴EF=200−2EH=200−100tanθ(米)，

记这5条路总长度为f(θ)(米)，

则f(θ)=4⋅50cosθ+200−100tanθ(θ∈(0,π2))，

即f(θ)=200+100⋅2−sinθcosθ(θ∈(0,π2))，

∴f′(θ)=100⋅(2−sinθ)′cosθ−(2−sinθ)(cosθ)′cos2θ，

化简得f′(θ)=100⋅2sinθ−1cos2θ，由f′(θ)=0，可得θ=π6，

列表如下：θ(0,π6)π6(π6,π2)f′(θ)−0+f(θ)↘200+1003↗由上表可知，当θ=π6时，f(θ)取最小值f(π6)=200+100⋅2−1232=200+1003(米)．

答：5条道路的总长度的最小值为200+1003(米)．

解法二：过E作EH⊥AD于H，设EH=x(米)(

0<x<100)．

因EF垂直平分AD，故AH=12BC=50(米)，

又∵EF的中点是矩形ABCD的中心，∴EF=200−2x(米)；

在Rt△AEH中，AE=2500+x2(米)，

由对称性可得，AE=DE=CF=BF=2500+x2(米)；

记这5条路总长度为f(x)(米)，∴f(x)=42500+x2+200−2x,(0<x<100)，

∴f′(x)=4x−22500+x22500+x2=2(2x−2500+x2)2500+x2，

令f′(x)=0，解得x=5033(负值舍)．

列表如下：x(0,5033)5033(5033,100)f′(x)−0+f(x)↘200+1003↗由上表可知，当x=5033时，f(x)取最小值200+1003，

答：5条道路的总长度的最小值为200+1003米．

【解析】解法一：设∠ADE=θ(θ∈(0,π2))，过E作EH⊥AD于H，由题意可得：DH=12BC，DE=50cosθ，EH=50tanθ.根据EF的中点是矩形ABCD的中心，可得EF=200−2EH，记这5条路总长度为f(θ)(米)，可得f(θ).利用导数研究函数的单调性即可得出．

解法二：过E作EH⊥AD于H，设EH=x(米)(

0<x<100).由EF垂直平分AD，可得DH=12BC，根据EF的中点是矩形ABCD的中心，可得EF=200−2x.在Rt△AEH中，AE=2500+x2，由对称性可得，AE=DE=CF=BF=2500+x2；记这5条路总长度为f(x)(米)，利用导数研究函数的单调性即可得出．

本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、解三角形、三角函数求值、勾股定理、矩形的性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于难题．

18.【答案】解：(1)设BC=a，AC=b，AB=c，

由AB⋅AC+5DB⋅DC=0，

得5⋅4cosA+5⋅2⋅2cosD=0，即cosA=−cosD，

又A，D为三角形的内角，所以sinA=sinD；

在△ABC中，由asinA=bsin∠ABC，得asinA=4sin∠ABC；

同理asinD=2sin∠BCD，

所以4sin∠ABC=2sin∠BCD，

∴sin∠ABCsin∠BCD=2；

(2)在△ABC中，由余弦定理得cosA=b2+c2−a22bc=52+42−a22⋅5⋅4=41−a240，

同理cosD=8−a28，

由(1)可得41−a240=−8−a28，

解得BC=a=362．

【解析】(1)根据平面向量的数量积和正弦定理，即可求得sin∠ABCsin∠BCD的值；

(2)利用余弦定理写出cosA、cosC的表达式，再结合(1)求得BC的值．

本题考查了正弦定理和余弦定理的应用问题，是中档题．

19.【答案】解：(1)因原数列有3项，经第1次拓展后的项数P1=3+2=5；

经第2次拓展后的项数P2=5+4=9；

经第3次拓展后的项数P3=9+8=17．

(2)因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，

由数列经第n次拓展后的项数为Pn，则经第n+1次拓展后增加的项数为Pn−1，

所以Pn+1=Pn+(Pn−1)=2Pn−1，

所以Pn+1−1=2Pn−2=2(Pn−1)，

由(1)知P1−1=4，所以Pn−1=4⋅2n−1=2n+1，

∴Pn=2n+1+1，

由Pn=2n+1+1≥2019，即2n+1≥2018，解得n≥10，

所以n的最小值为10．

(3)设第n次拓展后数列的各项为a，a1，a2，a3，…，am，c，

所以Sn=a+a1+a2+a3+…+am+c，

因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，

所以Sn+1=a+(a+a1)+a1+(a1+a2)+a2+(a2+a3)+…+am+(am+c)+c，

即Sn+1=2a+3a1+3a2+…+3am+2c，所以Sn+1=3Sn−(a+c)，

得S1=2a+3b+2c，S2=5a+15b+5c，S3=14a+45b+14c，

因为数列{Sn}为等比数列，所以S2S1=S3S2，可得a+c=0，

则S1=2a+3b+2c=3b，由S1≠0得b≠0，

反之，当a+c=0且b≠0时，Sn+1=3Sn，Sn≠0，Sn+1Sn=3，所以数列{Sn}为等比数列，

综上，a，b，c满足的条件为a+c=0且b≠0．

【解析】(1)利用新定义，因原数列有3项，经第1次拓展后的项数P1；经第2次拓展后的项数P2；经第3次拓展后的项数P3．

(2)因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，由数列经第n次拓展后的项数为Pn，则经第n+1次拓展后增加的项数为Pn−1，得到递推关系式Pn+1=Pn+(Pn−1)=2Pn−1，求出通项公式，利用Pn≥2019，求n的最小值；

(3)设第n次拓展后数列的各项为a，a1，a2，a3，…，am，c，Sn=a+a1+a2+a3+…+am+c，

Sn+1=2a+3a1+3a2+…+3am+2c，得到Sn+1=3Sn−(a+c)，利用数列{Sn}为等比数列，转化求解公比，得到a，b，c满足的条件为a+c=0且b≠0．

本题考查数列的应用，新定义的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．

20.【答案】解：(1)当a=