第03章 正弦交流电路

第三章正弦交流电路本章主要内容1.正弦量.相量2.有效值3．

正弦电路元件4．

基尔霍夫定律相量形式5．

无源一端口网络,阻抗,导纳6．

交流电路功率7．

复杂正弦交流电路计算

本章教学目的:

正弦交流电路是应用最广泛的电路，本章介绍单相正弦交流电路理论中的基本概念和规律。本章教学要求:掌握正弦量的概念及其相量表示法，相量运算；正弦电路元件特性；交流电路KCL、KVL形式；交流电路功率、有功功率和无功功率及功率因数的概念；简单正弦电路分析方法。3.1正弦交流电量的基本概念交流电路:电压或电流是时间的周期性函数,一周期内平均值为零.正弦交流电路:电压或电流是时间的正弦函数.瞬时表达式1)正弦交流电流描述(电流参考方向如图所示)瞬时值电流波形图瞬时表达式需规定参考方向!瞬时表达式2)正弦交流电的三要素1>Im

幅值(最大值)2>ω

角频率,ω=2pf,

f

频率,T

周期,T=1/f3>(ωt＋yi)相位，

yi

初相位我国电网f＝50Hz，ω＝314弧度／秒,

T=20毫秒例:电流表达式必须规定参考方向!例如规定参考方向从1到2，i＝5sin（314t+45°），则随时间变化曲线如图。对于同一个电流,如果参考方向改为从2到1，记为i′，则

i′＝－i＝－5sin（314t＋45°）＝5sin（314t－135°），即把时间起点沿ωt轴移动180°。i与i′表示同一电流，由于正方向不同，初相位相差180°。2）相位差:

同频率正弦交流电相位差

i1超前i2相位差：φ＝（ωt＋φi1）－（ωt＋φi2）＝φi1－φi2可见，相位差＝初相位之差。

若 φ＞0，φi1＞φi2，i1超前i2；两个同频率正弦量，见图i1＝I1sin（ωt＋φi1），i2＝I2sin（ωt＋φi2）3.2周期交流电量的有效值有效值物理意义：周期交流电流流过电阻R时，在一个周期内消耗的能量等于某一大小的直流电流I在同一电阻相同时间内消耗的能量。称这一直流电流I为交流电流的有效值。交流电功率:直流电功率:周期交流电流有效值:（有效值又称为均方根值）

同理，周期交流电压有效值为

由得:正弦交流电流的有效值

设电流,则正弦交流电流的有效值为:即同样可定义电压有效值

注意：电气工程上电压电流的大小，一般都用有效值来表示，电气工程测量仪表一般也指有效值。电路计算中一般用有效值运算。单相电压220V是指有效值，其最大值约为311V.

三角函数计算1）正弦交流电瞬时值与相量关系

线段P在虚轴上的投影3.3正弦交流电量的相量表示瞬时表达式波形图相量图相量以角频率逆时针旋转，其在虚轴上的投影即为正弦交流电流的瞬时值。正弦交流电的三种表达方式:瞬时表达式相量复数式相量(复数式)

代数表示法t=t0t=t1合成电流

时域计算：正弦函数计算

任一时刻合成电流瞬时值等于二个电流瞬时值之和。合成电流相量计算:2）正弦交流电量计算

设求两个电流之和合成相量等于二个电流相量之和。正弦交流电瞬时表达式计算→相量计算（复数计算）。

求例1：已知，把瞬时值运算变为相量运算,注意，只有同频率量才可进行相量运算。

相量图3)转换为瞬时式1)转换为相量形式:解：2)相量(复数)运算3.4正弦交流电路的元件电压电流相量表达式（相量欧姆定律）相量表达式:相量形式欧姆定律

1）电阻元件

时域瞬时式

平均功率

瞬时功率:

2）电感元件

时域表达式

，称为感抗，反映某一频率下电感电压有效值与电流有效值关系,具有阻抗的量纲.相量表达式:,即有:相量形式欧姆定律

时的电感电流。例1：一线圈电感，试求电压为解:当时,线圈电抗线圈电流电流幅值当线圈电抗线圈电流电流幅值同一电感在不同频率时，电抗相差很大。相量表达式即:相量形式欧姆定律

3）电容元件

时域表达式

电容元件瞬时功率

电容元件平均功率

称为容抗，单位欧姆，容抗与频率成比。对于复杂的线性电路，如果所有激励源均为同一频率的正弦函数，则各支路的电流和电压都为和激励源有相同频率的正弦函数，都可以表示为相量形式，在电路计算中可采用相量计算的方法。基尔霍夫定律对于任何电路均成立。3.7基尔霍夫定律相量形式

基尔霍夫节点电流定律的时域表达式为

相量形式的基尔霍夫节点电流定律:基尔霍夫回路电压定律的时域表达式为

相量形式的基尔霍夫回路电压定律:元件欧姆定律:把节点电流或回路电压的相量作成矢量图，可得到一个闭合的矢量多边形。在计算分析正弦交流电路中，可利用上述两个定律及相量关系。基尔霍夫定律的相量形式:直流电路中叙述的电路分析方法和电路定理是基于KCL和KVL导出的，而这两个基本定律对任何电路均成立。因此直流电路中叙述的分析方法和定理对于任何电路均成立，且在交流电路中可用相量形式表示。在今后的分析中将直接引用这些方法或定理。：设，求电源电压。电源电压有效值为141.4V注意：电压电流相量形式满足KCL，KVL，有效值不满足KCL、KVL.求交流电路应用相量关系计算。解：设例1图示电路中，已知求，的值。图中画出了电压的相量图。解：由基尔霍失电压定律，得例2为测量一只线圈的电感和电阻，将它与电阻R1串联后接入频率为50Hz的正弦电源，如图所示，测得外加电压，电阻R1上电压，线圈两端电压。已知电阻，试求线圈的电阻R与电感L的值。

解：以电流作参考相量，分别作出电压相量如图所示。因为因此电压相量组成一个闭合三角形。例3:在相量图上，用余弦定理可求出角为:得，由相量图又可得到，因此上述解题方法是利用相量的几何关系，这是一种常用的解题方法。1)RLC串联电路电路如图，由KVL得:3.8无源一端口网络阻抗导纳及等效电路

阻抗:

Z—复数阻抗,XL—感抗,XC—容抗X—电抗阻抗符号相量图例1

求:I,

UR,UL,UC

。

解：

取为参考相量AV

V

V

2)RLC并联电路导纳:导纳Y中的实部G是该电路的电导，虚部为电路的电纳.阻抗和导纳互为倒数:互换关系:3)无源一端口网络计算

任意无源网络在正弦激励时可等效成为一入端阻抗（导纳）。

例2图示电路，已知，，，试求该电路的入端阻抗。若外加电压，求各支路电流。则解：先求cb端等效阻抗，阻抗的等效导纳cb右端等效阻抗电路入端阻抗

设则例3图示电路，已知,求支路电流。解：画出复数电路,输入阻抗输入阻抗3.9正弦交流电路的功率计算

1)瞬时功率:设电压和电流取关联方向，如图

瞬时功率可分为恒定分量与二倍角频率变化的正弦分量。瞬时功率在某些时间段为正值，表示此时一端口网络正在吸收功率。在某些时间段为负值，表示网络在输出功率，将原来储存的能量送回电网。

2）有功功率(平均功率):为电压电流相位差;为电压电流有效值;——功率因数；

——功率因数角。

决定一个一端口网络负载平均功率的大小，不但与施加的电压，流过的电流的有效值大小有关，而且与电压电流的相位差，即功率因数角有关。

在一周期内电路吸收的平均功率，也称为有功功率。它的值为：

即实际测量接线图

图示接线时，功率表读数等于以*号为参考方向的电压电流表达式，用计算所得的数值。

注意：功率表二组线圈之间有同名端标记，用于判别功率传输方向。同名端指出了测量时的参考方向。

功率表测量值有正负符号。此时若：，则表示网络A吸收功率；，则表示网络A发出功率。

3）无功功率Q：无功功率

，单位为无功伏安（乏）（VAR）

无功功率Q表示无源二端网络与外界的能量交换能力。，瞬时功率:以电感为例:(最大瞬时功率)当负载为电感性时，功率因数角，此时无功功率，表示电感性负载吸收无功功率。无功功率:当负载呈电容性时，功率因数角，此时无功功率，表示电容性负载发出无功功率。4）视在功率S：

视在功率

，单位为伏安（VA）

对于发电机、变压器等实际电气设备，规定有额定工作电压与额定工作电流。额定电压决定于电气设备的绝缘强度，而额定电流受设备容许温升和机械强度等制约。因此它们的容量大小是由电压和电流的乘积而定。视在功率表示电器装置的容量。

，有功功率、无功功率和视在功率的关系为:5）复数功率在电力系统的计算中，为了使功率计算表达方便，常在正弦电路中用复数功率来表示一个元件或一个单端口网络的功率。复数功率定义为电压相量与电流共轭相量的乘积，用符号来表示，即复数功率的模即为视在功率，幅角是功率因数角，其实部为有功功率，虚部为无功功率。对于无源一端口网络，其吸收的复数功率可表示为式中，I、U为一端口网络电压和电流的有效值；Z为等效阻抗；Y为等效导纳的共轭复数。例1.求:负载有功功率P,无功功率Q,视在功率S.复数功率,功率因数.,解:例2.功率为40W,功率因数为0.5的日光灯和功率为100W的白炽灯并联在220V(50Hz)交流电源上,求总的功率因数.解:日光灯支路电流总的功率因数6）功率因数提高

任何一种电气设备的容量决定于它的额定电压和额定电流的大小，但电气设备发出（对发电机）或消耗（对负载）的有功功率不但与电压电流有关，而且与功率因数有关。当电气设备的功率因数较低时，设备的利用率就很低。举例来说，一台额定容量为1000kV·A的变压器，如果负载的功率因数为0.7，则变压器最大输出功率为700kW。如果把负载功率因数提高到1，则变压器最大可输出1000kW的有功功率。这样设备的利用率就提高了。在实际工业应用中，多数用电负载是感性负载（如三相感应电动机），使得负载端电流滞后于电压，功率因数角。要提高功率因数，最简便的措施是在感性负载两端并联电容器。

例4电感性负载通过并联电容来提高功率因数.设电源电压

，负载阻抗为R和L:负载电流

有效值功率因数(若电力线路最大容许电流则负载端可并联接入约70个电器负载。)同一线路，若在负载端并联电容C，则电容电流

，总电流

若取

，则负载电流

此时，负载总功率因数

（电压电流同相，

）

（同一电力线路最多可接入100个电器负载）

例5某一负载端电压为10kV，有功功率为1000kW，功率因数（感性），现要把功率因数提高到0.9，问应在负荷两端并联多大的电容？解：由题可知，在电容并联前负载电流功率因数角

若以电压为参考相量

则电流相量

把负载电流分解成沿

方向的有功分量

和与

垂直的无功分量

现要使功率因数提高到0.9，接入电容后总电流为负载电流

与电容电流之和。因为电容电流为容性无功电流，两电流合成后总有功分量不变。当时，总电流为：无功分量

需要补偿的电容电流

从而求出电容值：3.10

复杂正弦交流电路的计算

任意复杂的电网络中，如果所有的激励源都是同一频率的正弦函数，电路所有器件均为线性器件，则电路中所有支路的电压与电流都为与激励源同频率的正弦量。电路计算可以用相量来表示和进行运算。所有由基尔霍夫定律和欧姆定律推导出来的有关直流电路计算的方法和定理都可推广应用到交流电路的计