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文档简介

第二章

分离变量法

§2.1有界弦的自由振动

研究两端固定弦的自由振动.定解问题为：特点：方程和边界条件都是线性齐次的.理论基础:叠加原理设L是线性微分算子，若满足线性方程（或线性定解条件）则它们的线性组合必满足方程（或定解条件）其中当出现无限求和时，则要求级数收敛，且满足“L中出现的求导与求和可交换”的条件。

的特征值问题(§2.6)Sturm-Liouville

理论

特别地，对于设且不恒为零，代入方程和边界条件中得①

由不恒为零，有：这个式子的左端是x的函数,右端是t的函数，何时恒等？④

④利用边界条件②

…..……..③思考：先解哪一个方程？则⑤

特征值问题分三种情形讨论特征值问题的求解：相应的非零解X(x)

称为特征函数；由边值条件(i)方程通解为(ii)时，通解由边值条件得：C1=C

2=0

从而，无意义.无意义

由边值条件：从而即：(iii）时，通解故而得再求解T：其解为所以两端固定弦的特征振动未必满足初始条件(2.3)

受叠加原理启发，

代入初始条件得：………………...⑥考察第一个等式：两边同乘以并积分得从而利用三角函数的正交性：得：从而考察第二个等式：两边同乘以并积分得从而利用三角函数的正交性：从而将展开为Fourier正弦级数，比较系数得由叠加原理，如果上式右端的无穷级数是收敛的，并且关于

x，t

能逐项微分两次，则和式u(x,t)确实是问题(2.1)-(2.3)的解（古典解）。

则无穷级数解上，，且条件：若在区间如果(*)定义的函数u(x,t)不具备古典解的要求，则称为问题(2.1)-(2.3)的形式解.为混合问题(2.1)-(2.3)的解,其中注1:本书不讨论所求形式解是古典解需加的条件，只要求得了形式解，就认为定解问题得到了解决。注2:用分离变量法求解定解问题的关键是确定特征函数和运用叠加原理，这些运算能够进行,是因为方程以及边界条件都是齐次的。

⑵弦上各点振幅因点而异在处，振幅永远为0二、解的物理意义节点腹点振幅频率初位相在处，振幅最大,为nN⑴弦上各点的频率和初位相都相同，因而没有波形的传播现象。u(x,t

)是由无穷多个振幅、频率、初位相各不相同的驻波叠加而成。

（特征值问题）齐次边界条件（特征函数）分离变量法图解

例1

设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为，求弦做微小横向振动时的位移，其中与弦的材料和张力有关.解设位移函数为，则需要求解下列定解问题因此，所求的解

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