青岛版八年级数学上册 （线段的垂直平分线）教育教学课件

线段的垂直平分线本课内容本节内容2.4

观察

如图，人字形屋顶的框架中，点A与点A′关于线段CD所在的直线l对称，问线段CD所在的直线l与线段AA′有什么关系？我发现

我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到下图.

已知点A与点A′关于直线l对称，如果沿直线l折叠，则点A与点A′重合，AD=A′D，∠1=∠2=90°，即直线l既平分线段AA′，又垂直线段AA′.●●lAA′D21(A)

我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.

由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.

如图，在线段AB的垂直平分线l上任取一点P，连接PA，PB，线段PA，PB之间有什么关系？探究探究

作关于直线l的轴反射（即沿直线l对折），由于l是线段AB的垂直平分线，因此点A与点B重合.从而线段PA与线段PB重合，于是PA=PB.(A)(B)BAPl结论

线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.由此得出线段垂直平分线的性质定理：动脑筋

我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果已知一点P到线段AB两端的距离PA与PB相等，那么点P在线段AB的垂直平分线上吗？（1）当点P在线段AB上时，因为PA=PB，所以点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上.（2）当点P在线段AB外时，如下图所示.因为PA=PB，所以△PAB是等腰三角形.过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，从而底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.即PC⊥AB，且AC=BC.因此直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上.结论

到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.由此得到线段垂直平分线的性质定理的逆定理：判断（1）如图，CD

AB于D，则AC＝BC。（）ABCD

ABCD练习

判断（1）如图，CD

AB于D，则AC＝BC。（）ABCD

ABCD（2）如图，AD＝BD，则AC＝BC。（）练习

如图,AB是△ABC的一条边，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，并交BC于点D，已知AB=8cm,BD=6cm,那么EA=________,DA=____.ABEDC（1）4cm6cm练习例

已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平

分线相交于点O，连接OA，OB，OC.

求证：点O在AC的垂直平分线上.举例证明∵点O在线段AB的垂直平分线上，∴

OA=OB.同理OB=OC.∴

OA=OC.∴

点O在AC的垂直平分线上.练习1.

如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交

AB，BC于点D，E，∠B=30°，∠BAC=80°，求∠CAE的度数.答：∠CAE=50°.2.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且

AC=BC，AD=BD，AB与CD相交于点O.

求证：AO=BO.证明：∵

AC=BC，AD=BD，∴点C和点D在线段AB的垂直平分线上，∴CD为线段AB的垂直平分线.又

AB与CD相交于点O∴AO=BO.

如图，在△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂直平分线交AC于D，如果BC=10cm，那么△BCD的周长是_______cm.ABCDE(2)26练习如图，已知点D在AB的垂直平分线上，如果AC=5cm,BC=4cm,那么△BDC的周长是（）cm。∟ADEBCMNA.6B.7C.8D.99练习角的平分线ODEABPC定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。定理2到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

线段的垂直平分线定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

线段的垂直平分线可以看作是和线段两上端点距离相等的所有点的集合ABMNP点的集合是一条射线点的集合是一条直线二、逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

线段的垂直平分线一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等三、

线段的垂直平分线的集合定义：线段的垂直平分线可以看作是到线段两上端点距离相等的所有点的集合小结做一做如图，已知线段AB，作线段AB的垂直平分线.

根据“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”，要作线段AB的垂直平分线，关键是找出到线段AB两端距离相等的两点.想一想，做一做用尺规作线段的垂直平分线．已知：线段AB．求作：线段AB的垂直平分线．作法：1．分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．

2．作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．DCBA

因为线段AB的垂直平分线CD与线段AB的交点就是线段AB的中点，所以可以用这种方法作出线段的中点.

用尺规完成下列作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）.1.如图，在直线l上求作一点P，使PA=PB.练习已知：如图,在△ABC中,AB,BC的垂直平分线相交于点P,求证：点P也在AC的垂直平分线上证明：连接AP,BP,CP.∵点P在线段AB的垂直平分线上,∴PA=PB同理,PB=PC.∴PA=PC.∴点P在线段AB的垂直平分线上,∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于一点.ABCP2.如图，作出△ABC的BC边上的高.动脑筋如何过一点P作已知直线l的垂线呢？

由于两点确定一条直线，因此我们可以通过在已知直线上作线段的垂直平分线来找出垂线上的另一点，从而确定已知直线的垂线.

如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）.A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm中考试题例解析∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等).又∵在△BCE中，BE+CE+BC=18cm，BC=8cm，∴BE+CE=10cm.∴AC=AE+CE=BE+CE=10cm.故应选择C.C已知：如图，△ABC中，AC=16cm，DE为AB的垂直平分线，△BCE的周长为26cm，求BC的长。做一做解:∵DE是AB的垂直平分线∴EA=EB(线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等）∵△BCE周长=CE+EB+BC又∵AC=CE+EA=CE+EB∴BC=△BCE周长-(CE+EB)=△BCE周长-AC=10cm解：∵DE是△ABC边AB的垂直平分线∴EB=EA∴△AEC的周长=AC+CE+EA=AC+CE+EB=AC+BC=4+5=9

如图，DE是△ABC边AB的垂直平分线，交AB、BC于D、E，若AC=4，BC=5，求△AEC的周长解:做一做已知：如图，P为∠MON内一点，OM⊥PA于E，ON⊥PB于F，EA=EP，FB=FP，若AB长为15cm，求△PCD的周长。∵OM⊥PA于E，EA=EP，点C在OM上，∴CA=CP(线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等）同理，∵ON⊥PB于F，FB=FP，点D在ON上，∴DB=DP∵△PCD周长=CP+CD+DP=CA+CD+DB=AB又∵AB=15cm∴△PCD周长=15cm填空：4.已知:如图,在ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=3cm,ABD的周长为13cm,则ABC的周长为

cmABDCE

3cm3cm1913cm

如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?用心想一想，马到成功ABC问题:如图,A、B、C三个村庄合建一所学校,要求校址P点距离三个村庄都相等.请你帮助确定校址.

ABCP

点P为校址第1章

全等三角形怎样判定三角形全等第1课时

教学目标1.知道三角形全等“边角边”的内容；2.会运用“SＡS”识别三角形全等，为证明线段相等或角相等创造条件；3.经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程。ABC已知：△ABC≌△DEF找出其中相等的边和角反之，判别两个三角形全等需要哪些条件？DEFAB=DE,BC=EF,CA=FD∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F△ABC≌△DEF一个条件寻求判别三角形全等的条件三个条件边边边角角角两角一边两边一角两个条件全等三角形：三组边对应相等，三对角对应相等一组边相等一对角相等两边和它的夹角两边和它一边的对角两角和它的夹边两角和一角的对边一边一角相等两对角相等两组边相等只给一个条件（一条边或一个角）只给一条边时，如：3cm3cm3cm只给一个角时，如：45°45°45°只给一个条件（一条边或一个角）一个条件不能判定三角形全等给出两个条件时(一边及一角)如果三角形的一条边为3cm,一个内角为30°3cm3cm3cm30°30°30°给出两个条件时(已知两角)如果三角形两个内角分别为30°,45°时30°45°30°45°30°45°给出两个条件时(已知两边)如果三角形的两边分别为4cm，6cm时6cm4cm4cm两个条件不能判定三角形全等两边一角对应相等两边夹角对应相等（边角边）两边一对角对应相等（边边角）给出三个条件时(已知两边一角)大家一起做下面的实验：1、用三角板画∠MAN=45°；2、在AM上截取AB=3cm；在AN上截取AC=2cm；3、连接BC。与周围同学所剪的比较一下，它们全等吗？你得出什么结论？BCAMN45°′\两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”\\\ABC\\\DEF在△ABC和△DEF中，

AB=DE∠B=∠EBC=EF∴△ABC≌△DEF(SAS)若两个三角形两边以及这两边的夹角对应相等则这两个三角形全等条件:AB=DE,∠B=∠E,BC=EF结论:△ABC≌△DEF判定方法1两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.可以简写成“边角边”或“SAS

”ABCDEF用数学语言表述：在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS）AB=DE∠A=∠DCA=FD新知学习练一练1:在下列三角形中,哪两个三角形全等?40°4430°444530°4530°4640°4640°⑴⑵⑶⑷⑸⑹解:全等的三角形有:⑴和⑷,⑶和⑸.已知：如图，AB=AD，∠BAC=∠DAC△ABC和△ADC全等吗？分析:△ABC≌△ADC边:角:边:AB=AD(已知)∠BAC=∠DAC(已知)？BCDA(SAS)AC=AC(公共边)例1ABCDO1.

如图,AC与BD相交于点O，已知OA=OC，OB=OD，说明△AOB≌△COD的理由。注意:要充分利用图形中“对顶角相等”这个条件.练一练：2、如图：AB