第3节 等比数列及其前n项和

第3节等比数列及其前n项和第六章数列1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.考试要求知识诊断基础夯实内容索引考点突破题型剖析分层精练巩固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断基础夯实11.等比数列的概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于________常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(显然q≠0).知识梳理同一个q(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，则G2＝______.ab2.等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝_________；通项公式的推广：an＝amqn－m.a1qn－13.等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝_______.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为______.(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为______.(4)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列.am·anqmqn[常用结论]1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)×诊断自测×××解析(1)在等比数列中，q≠0.(2)若a＝0，b＝0，c＝0满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列.(3)当a＝1时，Sn＝na.(4)若a1＝1，q＝－1，则S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比数列.3.(选修二P37T3改编)在等比数列{an}中，已知a2＝6，6a1＋a3＝30，则an＝________________.

解析

设数列{an}的公比为q，3·2n－1或2·3n－1故an＝3·2n－1或an＝2·3n－1.4.已知在等比数列{an}中，a1a3a11＝8，则a2a8＝________.解析设公比为q，则an＝a1qn－1，则a1·a1q2·a1q10＝8，4KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破题型剖析2考点一等比数列基本量的求解例1

(1)(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(

) A.14 B.12 C.6

D.3

解析

设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，D

(2)已知数列{an}为等比数列，a1＝3，3a1，2a2，a3成等差数列，则数列{an}的前n项和Sn＝________________.解析设数列{an}的公比为q，由题意知4a2＝3a1＋a3，即4q＝3＋q2，解得q＝1或q＝3，当q＝1时，Sn＝3n；感悟提升B所以a2＝q，a1＝1，所以S3＝a1＋a2＋a3＝1＋q＋q2＝7，解得q＝2(q＝－3舍去)，所以a5＝a1q4＝1×24＝16.(2)(2023·亳州模拟)《九章算术》中有述：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺，蒲生日自半，莞生日自倍.意思是：“今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍.”则当莞长高到长度是蒲的5倍时，需要经过的天数是(结果精确到0.1.参考数据：lg2＝0.30，lg3＝0.48)(

)A.2.9天

B.3.9天

C.4.9天

D.5.9天C

解析设蒲的长度组成等比数列{an}，莞的长度组成等比数列{bn}，b1＝1，公比为2，其前n项和为Bn.考点二等比数列的判定与证明例2

Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.(1)求an及Sn；

(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.解

假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列，∵S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，1.证明一个数列为等比数列常用定义法(作比法)与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证.感悟提升

训练2

已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；证明

∵an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，又a1＋a1＝1，

(2)求数列{an}的通项公式.考点三等比数列的性质角度1项的性质-6角度2前n项和的性质例4

已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于(

) A.40 B.60 C.32

D.50

解析

数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，

即4，8，S9－S6，S12－S9是等比数列， ∴S12＝4＋8＋16＋32＝60.B角度3等比数列中的最值AB1.等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.2.涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.感悟提升

ACD解析对于A，易知公比q≠－1，则可知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，又S3＝4，S6－S3＝12－4＝8，∴S9－S6＝16，∴S9＝S6＋16＝12＋16＝28，A错误；

(2)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为________.解析在正项等比数列{an}中，Sn>0，因为S8－2S4＝5，则S8－S4＝5＋S4，易知S4，S8－S4，S12－S8是等比数列，所以(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)，20因为a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8，所以a9＋a10＋a11＋a12的最小值为20.FENCENGJINGLIANGONGGUTISHENG分层精练巩固提升31.(2023·昆明摸底)已知各项均为正数的等比数列{an}的前3项和为14，a1＝2，则数列{an}的公比等于(

) A.4 B.3 C.2

D.1

解析

设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，

则由a1＝2，a1＋a2＋a3＝14，

得2＋2q＋2q2＝14，

解得q＝2或q＝－3(舍去).C【A级

基础巩固】2.(2021·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2＝4，S4＝6，则S6＝(

)A.7 B.8 C.9

D.10解析易知S2，S4－S2，S6－S4构成等比数列，由等比中项得S2(S6－S4)＝(S4－S2)2，即4(S6－6)＝22，所以S6＝7.A3.某工厂生产A，B，C三种产品的数量刚好构成一个公比为q(q≠1)的等比数列，现从全体产品中按分层随机抽样的方法抽取一个样本容量为260的样本进行调查，其中C产品的数量为20，则抽取的A产品的数量为(

) A.100 B.140 C.180

D.120

解析

∵A，B，C三种产品的数量刚好构成一个公比为q的等比数列，C产品的数量为20，CC故可得a1＝2，a2＝S2－S1＝q2－3，a3＝S3－S2＝q3－q2.又数列{an}是等比数列，公比为q，则a2＝a1q，即q2－3＝2q，解得q＝3或q＝－1.若q＝3，则a1＝2，a2＝6，a3＝18；若q＝－1，则a1＝2，a2＝－2，a3＝a2q＝2≠S3－S2，不满足题意，舍去.故a3＝18.ABD

D

所以不妨设an＝3，bn＝1，此时{an}的前5项积A5＝35＝243，{bn}的前5项积B5＝15＝1，A因为{an}为等比数列，所以a1a2024＝a2a2023＝…＝a1012a1013＝1，所以f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2024)＝1012×[f(a2)＋f(a2023)]＝2×1012＝2024.8.(2023·合肥质检)等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝3，S3＝13，则a3＝________.

解析

法一设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1，1或9法二由S3＝a1＋a2＋a3＝3＋a1＋a3＝13，得a1＝10－a3.9.(2023·嘉兴联考)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则a1＝________.解析由于S3＝7，S6＝63知公比q≠1，又S6＝S3＋q3S3，得63＝7＋7q3.∴q3＝8，q＝2.1100a10010.(2022·上海外国语附中调研)设数列{xn}满足logaxn＋1＝1＋logaxn(a＞0，a≠1)，若x1＋x2＋…＋x100＝100，则x101＋x102＋…＋x200＝________.

解析

∵logaxn＋1＝1＋logaxn(a＞0，a≠1)，∴数列{xn}是公比为a的等比数列，∵x1＋x2＋…＋x100＝100，∴x101＋x102＋…＋x200＝a100(x1＋x2＋…＋x100)＝100a100.所以an＋1＋1＝2an＋2，即an＋1＋1＝2(an＋1)，因为a1＋1＝2≠0，所以数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列.所以an＋1＝2×2n－1＝2n，所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1(n∈N*).12.(2022·新高考Ⅱ卷)已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4. (1)证明：a1＝b1；证明

设等差数列{an}的公差为d，由a2－b2＝a3－b3得a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1，即d＝2b1，由a2－b2＝b4－a4得a1＋d－2b1＝8b1－(a1＋3d)，即a1＝5b1－2d，将d＝2b1代入，得a1＝5b1－2×2b1＝b1，即a1＝b1.(2)求集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数.解

由(1)知an＝a1＋(n－1)d＝a1＋(n－1)×2b1＝(2n－1)a1，bn＝b1·2n－1，由bk＝am＋a1，得b1·2k－1＝(2m－1)a1＋a1，由a1＝b1≠0得2k－1＝2m，由题知1≤m≤500，所以2≤2m≤1000，所以k＝2，3，4，…，10，共9个数，即集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}＝{2，3，4，…，10}中元素的个数为9.C【B级

能力提升】解析由数列{an}为等比数列，设其公比为q，由a5－a3＝12，a6－a4＝24，14.(多选)(2023·石家庄检测)已知等比数列{an}的各项均为正数，a1＝20，2a6＋a5－a4＝0，数列{