第4节 随机事件、频率与概率

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第4节随机事件、频率与概率1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，理解概率的意义以及频率与概率的区别.2.理解事件间的关系与运算.考试要求知识诊断基础夯实内容索引考点突破题型剖析分层精练巩固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断基础夯实11.样本空间和随机事件(1)样本点和有限样本空间①样本点：随机试验E的每个可能的__________称为样本点，常用ω表示.全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示.②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间.(2)随机事件①定义：将样本空间Ω的______称为随机事件，简称事件.②表示：大写字母A，B，C，….③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件.知识梳理基本结果子集2.事件的关系

定义表示法图示包含关系若事件A发生，事件B__________,称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)________(或A⊆B)互斥事件如果事件A与事件B______________，称事件A与事件B互斥(或互不相容)若A∩B＝∅，则A与B互斥一定发生B⊇A不能同时发生对立事件如果事件A和事件B在任何一次试验中________________，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为

若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，则A与B对立有且仅有一个发生3.事件的运算

定义表示法图示并事件事件A与事件B至少有一个发生,称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)________(或A＋B)交事件事件A与事件B同时发生，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)________(或AB)A∪BA∩B4.概率与频率(1)频率的稳定性：一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的______________.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.(2)频率稳定性的作用：可以用频率fn(A)估计______________.概率P(A)概率P(A)[常用结论]1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.(2)事件A的对立事件

所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.2.概率加法公式的推广当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，

要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)事件发生的频率与概率是相同的.(

)(2)在大量的重复试验中，概率是频率的稳定值.(

)(3)若随机事件A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1.(

)(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.(

)解析随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故(1)错误.(4)中，甲中奖的概率与乙中奖的概率相同.×诊断自测√√×2.(必修二P235T1改编)某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是(

) A.至多一次中靶

B.两次都中靶 C.只有一次中靶

D.两次都没有中靶

解析连续射击两次中靶的情况如下：①两次都中靶；②只有一次中靶；③两次都没有中靶，故选D.D3.(多选)若n(n≥3)个人站成一排，其中不是互斥事件的是(

)A.“甲站排头”与“乙站排头”B.“甲站排头”与“乙不站排尾”C.“甲站排头”与“乙站排尾”D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”解析对于A，“甲站排头”与“乙站排头”不可能同时发生，是互斥事件；B，C，D中的两事件能同时发生，不是互斥事件.BCD4.把一枚质地均匀的硬币连续抛掷1000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则掷一次硬币正面朝上的概率为________.

解析

掷一次硬币正面朝上的概率是0.5.0.5KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破题型剖析2考点一随机事件与样本空间例1

(1)在1，2，3，…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么“这三个数字的和大于5”这一事件是(

) A.必然事件

B.不可能事件 C.随机事件

D.以上选项均有可能

解析

从1，2，3，…，10这十个数字中任取三个不同的数字，那么这三个数字和的最小值为1＋2＋3＝6，∴事件“这三个数字的和大于5”一定会发生，∴由必然事件的定义可以得知该事件是必然事件.A

(2)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现在有放回地随机摸3次，每次摸取一个，观察摸出球的颜色，则此随机试验的样本点个数为(

)A.5 B.6 C.7

D.8解析因为是有放回地随机摸3次，所以随机试验的样本空间为Ω＝{(红，红，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(黑，红，红)，(红，黑，黑)，(黑，红，黑)，(黑，黑，红)，(黑，黑，黑)}.共8个.D确定样本空间的方法(1)必须明确事件发生的条件.(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案.特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏.感悟提升训练1(1)下列说法错误的是(

)A.任一事件的概率总在[0，1]内 B.不可能事件的概率一定为0C.必然事件的概率一定为1 D.概率是随机的，在试验前不能确定解析任一事件的概率总在[0，1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，概率是客观存在的，是一个确定值.D

(2)同时抛掷两枚完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数是(

)A.3 B.4 C.5

D.6解析事件A包含(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，共6个样本点.D考点二随机事件的关系与运算例2(1)(多选)某人打靶时连续射击两次，设事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，则下列结论正确的是(

) A.A⊆B

B.A∩B＝∅ C.A∪B＝“至少一次中靶”

D.A与B互为对立事件

解析

事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，所以A，B是互斥但不是对立事件，所以A、D错误，B正确；A∪B＝“至少一次中靶”，C正确.BC

(2)(多选)下列说法正确的是(

)A.对立事件一定是互斥事件B.若A，B为两个互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)C.若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1D.若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B互为对立事件解析对于C，概率的加法公式可以适合多个互斥事件的和事件，但和事件不一定是必然事件，错误；对于D，对立事件和的概率公式逆用不正确，例如两种没有联系的事件，概率和满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不对立，故D错误.AB1.准确把握互斥事件与对立事件的概念：(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.2.判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.感悟提升训练2(1)把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”(

)A.是对立事件

B.是不可能事件C.是互斥但不对立事件

D.不是互斥事件解析事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不可能同时发生，故它们是互斥事件，但由于这两个事件的和事件不是必然事件，故这两个事件不对立.C

(2)(多选)口袋里装有1红，2白，3黄共6个除颜色外完全相同的小球，从中取出两个球，事件A＝“取出的两个球同色”，B＝“取出的两个球中至少有一个黄球”，C＝“取出的两个球至少有一个白球”，D＝“取出的两个球不同色”，E＝“取出的两个球中至多有一个白球”.下列判断正确的是(

)A.A与D为对立事件

B.B与C是互斥事件C.C与E是对立事件

D.P(C∪E)＝1解析当取出的两个球为一黄一白时，B与C都发生，B不正确；当取出的两个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，C不正确；显然A与D是对立事件，A正确；C∪E为必然事件，P(C∪E)＝1，D正确.AD考点三随机事件的频率与概率例3

(2020·全国Ⅰ卷)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数28173421

(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；解由试加工产品等级的频数分布表知，

(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？解由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润6525－5－75频数40202020

由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润70300－70频数28173421比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，厂家应选甲分厂承接加工业务.1.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.2.利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率.感悟提升训练3

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40]天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.

(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；解这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.解当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温低于20，则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；若最高气温不低于25，则Y＝450×(6－4)＝900，所以，利润Y的所有可能值为－100，300，900.Y大于零当且仅当最高气温不低于20，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.FENCENGJINGLIANGONGGUTISHENG分层精练巩固提升31.下列事件中随机事件的个数是(

)①2024年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在4℃时结冰；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④x∈R，则|x|的值不小于0.A.1 B.2 C.3

D.4解析①为随机事件，②为不可能事件，③为随机事件，④为必然事件.B【A级

基础巩固】2.下列说法正确的是(

)A.任何事件的概率总是在(0，1)之间B.频率是客观存在的，与试验次数无关C.随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率D.概率是随机的，在试验前不能确定解析不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故A错误；频率是由试验的次数决定的，故B错误；概率是频率的稳定值，故C正确，D错误.C3.(2023·莆田调研)一个不透明的袋子中装有8个红球、2个白球，除颜色外，球的大小、质地完全相同，采用不放回的方式从中摸出3个球.下列事件为不可能事件的是(

) A.3个都是白球

B.3个都是红球 C.至少1个红球

D.至多2个白球

解析

从8个红球、2个白球中采用不放回的方式从中摸出3个白球，不可能发生，故选A.A4.(2023·太原模拟)已知随机事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，则P(

)＝(

) A.0.5 B.0.1 C.0.7

D.0.8解析∵随机事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，∴P(A)＝P(A∪B)－P(B)＝0.7－0.2＝0.5，∴P(

)＝1－P(A)＝1－0.5＝0.5.A5.抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则(

) A.A⊆B B.A＝B C.A＋B表示向上的点数是1或2或3 D.AB表示向上的点数是1或2或3

解析由题意，可知A＝{1，2}，B＝{2，3}，

则A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}， ∴A∪B表示向上的点数是1或2或3.C

6.(多选)(2023·山东师大附中开学考)

不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有(

) A.2张卡片不全为红色

B.2张卡片中恰有一张为红色 C.2张卡片中至少有一张红色

D.2张卡片都为绿色

解析

C中“2张卡片中至少一张为红色”包含事件“2张卡片都为红色”，二者并非互斥； A中“2张卡片不全为红色”与“2张卡片都为红色”是对立事件.B、D正确.BD7.(多选)下列说法正确的是(

)A.若事件A与B互斥，则A∪B是必然事件B.《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国四大名著.若在这四大名著中，甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件E＝“甲取到《红楼梦》”，事件F＝“乙取到《红楼梦》”，则E与F是互斥但不对立事件C.掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A＝“向上的点数不大于5”，事件B＝“向上的点数为质数”，则B⊆AD.10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则样本空间含有2个样本点BCD解析对于A，事件A与B互斥时，A∪B不一定是必然事件，故A错误；对于B，事件E与F不会同时发生，所以E与F是互斥事件，但除了事件E与F之外还有“丙取到《红楼梦》”“丁取到《红楼梦》”，所以E与F不是对立事件，故E与F是互斥但不对立事件，故B正确；对于C，事件A＝{1，2，3，4，5}，事件B＝{2，3，5}，所以B包含于A，故C正确；对于D，样本空间Ω＝{正品，次品}，含有2个样本点，故D正确.8.(2023·天津调研)某射击运动员平时100次训练成绩的统计结果如下：命中环数12345678910频数24569101826128如果这名运动员只射击一次，估计射击成绩是6环的概率为________；不少于9环的概率为________.9.我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：0.25年降水量(mm)(100，150)(150，200)(200，250)(250，300)概率0.210.160.130.12则年降水量在(200，300)(mm)范围内的概率是________.解析设年降水量在(200，300)，(200，250)，(250，300)的事件分别为A，B，C，则A＝B∪C，且B，C为互斥事件，所以P(A)＝P(B)＋P(C)＝0.13＋0.12＝0.25.10.某城市2023年的空气质量状况如下表所示：其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2023年空气质量达到良或优的概率为________.11.电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；解由题意知,样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50.(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；解由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372.(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大(只需写出结论)?解增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率.12.(2023·襄阳质检)在试验E：“连续抛掷一枚质地均匀的正方体骰子2次，观察每次掷出的点数”中，事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”，事件Aj(j＝1，2，3，4，5，6)表示随机事件“第一次掷出的点数为1，第二次掷出的点数为j”，事件B表示随机事件“两次掷出的点数之和为6”，事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”. (1)试用样本点表示事件A∩B与A∪B；解由题意可知试验E的样本空间为{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}.因为事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”，所以满足条件的样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6).因为事件B表示随机事件“两次掷出的点数之和为6”，所以满足条件的样本点有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1).所以A∩B＝{(1，5)}，A∪B＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}.(2)试判断事件A与事件B，事件A与事件C，事件B与事件C是不是互斥事件；解因为事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”，所以C＝{(1，4)，(2，5)，(3，6)}.因为A∩B＝{(1，5)}≠∅，A∩C＝{(1，4)}≠∅，B∩C＝∅，所以事件A与事件B，事件A与事件C不是互斥事件,事件B与事件C是互斥事件.(3)试用事件Aj表示随机事件A.解因为事件Aj(j＝1，2，3，4，5，6)表示随机事件“第一次掷出的点数为1，第二次掷出的点数为j”，所以A1＝{(1，1)}，A2＝{(1，2)}，A3＝{(1，3)}，A4＝{(1，4)}，A5＝{(1，5)}，A6＝{(1，6)}，所以A＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.BCD【B级

能力提升】解析样本空间为{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(3，2)，(4，2)，(4，3)}，R1＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)}，R＝{(1，2)，(2，1)}，G＝{(3，4)，(4，3)}，M＝{(1，2)，(2，1)，(3，4)，(4，3)}，N＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}，由集合的包含关系可知B，C，D正确.14.(多选)(2023·海口模拟)小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(分钟)随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如表所示：BD所需时间(分钟)30405060线路一0.50.2