用空间向量研究距离导学案-高二上学期数学人教A版选择性

1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离【教学目标】1.知识目标：能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题.2.能力目标：通过空间中距离问题求解.3.思政目标：体会向量方法在研究几何问题中的作用，发展数学抽象及逻辑推理素养.【教学过程】（一）工具性知识题1.求点面距的一般步骤：①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；③求法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，可求出点到平面的距离．即：点A到平面α的距离d=AB⋅n|n|，其中2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．直线a与平面α之间的距离：d=AB⋅n|n|，其中两平行平面α,β之间的距离：d=AB⋅n|n|，其中3.点线距设直线l的单位方向向量为u，A∈l，P∉l，设AP=a，则点P到直线l的距离d=a（二）能力训练题题型一点到平面的距离例1如图，四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面四边形ABCD为矩形，AB=4，BC=2，PD=23，M为PB中点，N为CD靠近D(1)求证：PB⊥平面AMN；(2)求点D到平面AMN的距离.题型二直线、平面到平面的距离例2如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，底面ABCD，垂足为A，，点M在棱PD上，平面ACM．

(1)试确定点M的位置；(2)计算直线PB与平面MAC的距离；(3)设点E在棱PC上，当点E在何处时，使得平面PBD？例3在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（

）A． B．1 C． D．(三)拓展与提升1.如图所示，在四棱锥P−ABCD中，侧面△PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，BC//平面PAD，BC=12AD=1，(1)当E是棱PD的中点时，求证：CE//平面PAB(2)若AB=1，AB⊥AD，求点B到平面ACE距离的范围.(四)总结1.2.3.1.4.2用空间向量研究距离参考答案：例1【详解】（1）因为PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，因此PD,AD,CD两两垂直，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，PAN=−2,1,0,AM=−1,2,23，PB=2,4,−23因为PB⋅AM=2×−1+4×2+−23×23=0，所以PB（2）点D到平面AMN的距离为DA在平面AMN的一个法向量PB=2,4,−23上的投影的绝对值，其中DA=2,0,0，所以点D例2【详解】（1）连，则O为BD的中点，连接，因为平面，平面平面，又平面PBD，于是，所以点M为PD中点．（2）因为，则，底面ABCD是正方形，有，底面ABCD，，而，则平面，又平面，因此，∴，，，∴，∴，取AD的中点F，连接MF，则，平面ABCD，且，∵平面ACM，M为PD的中点，∴直线PB与平面MAC的距离为点D到平面MCA的距离，设为h，∵，∴，解得h．（3）以A为原点，AB、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，∴，，设平面PBD的法向量，则，∴，∴，设，设，则，则，则，即，∵平面PBD，∴，∴，解得，∴E为PC中点．故当点E为PC中点时，平面PBD．

例3A【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的一个法向量，则，令得，故，显然平面平面，所以平面与平面之间的距离．故选：A1．【详解】（1）证明：因为BC//平面PAD，BC⊂平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BC//AD.取PA的中点F，连接BF、EF，因为E是棱PD的中点，所以，EF//AD且EF=12AD，因为BC//AD且BC=12AD，所以，EF//BC且EF=BC，所以，四边形BCEF（2）解：取AD的中点O，连接PO.因为△PAD是正三角形，所以PO⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，所以，PO⊥平面ABCD，因为BC//AD，BC=12AD，O为AD的中点，所以，BC//AO且BC=AO，所以，四边形ABCO为平行四边形，则CO//AB，因为AB⊥AD，则CO⊥AD，以点O为坐标原点，OC、OD、OP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则A0,−1,0、C