第5章第4节平面曲线的曲率省名师优质课赛课获奖课件市赛课百校联赛优质课一等奖课件

引言:

上一节利用函数导数为工具,研究函数升降性、极值性、最值性及凹凸性等性态，使我们对于函数认识和把握愈加全方面和准确.认识总是在不停深化,为了使研究更深入深入,本节讨论怎样利用导数来刻画平面曲线弯曲程度---平面曲线曲率问题.这种问题在科学研究和工程技术中有广泛应用.1/229/16/20231宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来主要内容1.曲线曲率定义2.弧长微分概念3.曲率计算4.曲率圆与曲率半径2/229/16/20232宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来对于不一样曲线,其弯曲程度普通不一样.比如：ABA'B'一、曲率定义

以上两段不一样曲线段在长度相等情况下,切线改变不一样弯曲程度不一样.观察:3/229/16/20233宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来AA'BB'··o

曲线弯曲程度与其切线方向改变夹角大小及其弧长相关.结论：两段圆弧切线方向改变同一角度,但弧长小曲线弯曲程度大观察:怎样详细刻画?4/229/16/20234宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来yxoA如上图，称B任意弧段AB==R，

有为曲线段AB平均曲率，它刻画了一段曲线平均弯曲程度.OABR如下列图，对于半径为R圆，切线改变相对于弧长平均改变率平面几何Def5/229/16/20235宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来对于直线来说,其切线方向不变,即,有同一条曲线不一样点处,曲线弯曲程度可能不一样.Def:

曲线在A点曲率为其中为点A及其邻点B之间弧长,为AB上切线方向改变角度.曲率刻画了曲线在一点弯曲程度.6/229/16/20236宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来xyoxA如图，设曲线弧长s

由点A起算.任取MN=，有由此得当充分小时，在一些假定之下(如曲线有连续导数

)，二、弧长微分p7/229/16/20237宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来从而即得弧长微分公式或以直代曲8/229/16/20238宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来⑴⑵⑶关于详细表示式：直角坐标方程参数方程极坐标方程★计算公式9/229/16/20239宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来三、曲率计算先计算,考虑曲线在M点切线,有两边求微分，得曲线方程为直角坐标方程情况下10/229/16/202310宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来不难得出，曲线参数方程和极坐标方程情况下计算公式为：★计算公式11/229/16/202311宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来四、曲率半径与曲率圆由上述公式计算知,对半径为R圆,圆周上任一点曲率是常数Def:

普通地曲线上一点曲率倒数称为曲线在该点

曲率半径，记作几何意义：

如图，在A点作曲线法线，并在曲线凹一侧法线上取一点O，使得OA=(曲线在A点曲率半径).以O为圆心，为半径作一个圆，称之为曲线在A点曲率圆.·Ao曲率中心圆特点12/229/16/202312宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来曲率圆与曲线在A点含有以下关系:⑴

有共同切线，即圆与曲线在点A相切；⑵

有相同曲率；⑶

圆和曲线在点A含有相同一阶和二阶导数.

讨论y=f(x)在某点x性质时，若此性质仅与x,y,相关，则只要讨论曲线在x点曲率圆性质，即可知这曲线在x点附近性质.以上关系表明：13/229/16/202313宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来例1.

求抛物线上任一点处曲率和曲率半径.解：xyO可见14/229/16/202314宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来法线：x=0.切线：y=0,例2.求最小曲率半径时曲率圆方程.解：由例1知15/229/16/202315宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来例3.

铁道弯道分析16/229/16/202316宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来缓17/229/16/202317宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来证实:如图在缓冲段上,依据实际要求以直代曲18/229/16/202318宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来19/229/16/202319宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来例4：解如图,受力分析视飞行员在点o作匀速圆周运动,O点处抛物线轨道曲率半径习题20/229/16/202320宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来得曲率为曲率半径为即:飞行员对座椅压力为641.5千克力.21/229/16/202321宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来利用微分学理论,研究曲线和曲面性质