关于范氏气体热力学性质的讨论

关于范氏气体热力学性质的讨论

一般来说，《热学》教科书只是对理想气体的性质进行了深入研究，而对范氏气体没有给予相同的探讨。在这项工作中，我们讨论了每个热态气体的热容量、多方指数、过程方程和能量转化。我们知道,所谓范氏气体,就是对理想气体作了一定修正后的实际气体.它满足的物态方程为[Ρ+(ν2a/V2)](V-νb)=νRΤ[P+(ν2a/V2)](V−νb)=νRT,与理想气体的物态方程PV=νRT相比,它进行了两项修正.为使下面的推导过程简单,我们仅考虑1摩尔的范氏气体的情况.1范气体的各种力学过程1.1范氏气体m值的计算对于1摩尔的范氏气体,其状态方程为(Ρ+av2)(v-b)=RΤ.(1)(P+av2)(v−b)=RT.(1)由热力学第一定律的微分形式dU=dQ+dA,其中dQ=CdT(C为摩尔热容),dA=-Pdv,所以dU=CdT-Pdv.而范氏气体的内能为U=CvΤ-av.(2)U=CvT−av.(2)dU=CvdΤ+av2dv.故CvdT+(a/v2)dv=CdT-Pdv,即(Ρ+av2)dv+(Cv-C)dΤ=0.(3)将式(1)代入式(3)[RT/(v-b)]dv+(Cv-C)dT=0,dvv-b+Cv-CRdΤΤ=0.设C、Cv与温度无关,积分得ln(v-b)+Cv-CRlnΤ=常数.即T(Cv-C)/R(v-b)=常数或Τ(v-b)RCv-C=常数.(4)再将式(4)代入式(1)得1R(Ρ+av2)(v-b)1+RCv-C=常数.令n=1+RCv-C=1-RC-Cv.(5)得(Ρ+av2)(v-b)n=常数.(6)这样,我们便得到了在多方过程中范氏气体的P、v关系.其中n为多方指数.同样,我们还可得到范氏气体多方过程方程的T、v关系.将式(5)代入式(4)得Τ(v-b)n-1=常数.(7)1.2范氏气体cv与cp的关系由热容量的定义C=dQ/dT知,不论是理想气体还是范氏气体,各热力学过程的摩尔热容量为C=Cv(等容过程);C=Cp(等压过程);C=∞(等温过程);C=0(绝热过程).对理想气体Cv与Cp之间满足迈耳公式Cp-Cv=R,而对范氏气体而言,它满足下面的关系.由Cp-Cv=Τ(∂Ρ∂Τ)v(∂v∂Τ)p=[Ρ+(∂U∂v)Τ](∂v∂Τ)p.(8)而(∂U∂v)Τ=av2.(9)把式(1)展开f(P,v,T)=Pv+(a/v)-Pb-(ab/v2)-RT=0.故(∂f∂Τ)p=Ρ(∂v∂Τ)p-av2(∂v∂Τ)p+2abv3(∂v∂Τ)p-R=0.得(∂v∂Τ)p=RΡ-av2+2abv3=RΡ+av2-2av2+2abv3=RRΤv-b-2a(v-b)v3.(10)将式(9)、(10)代入式(8)得Cp-Cv=(Ρ+av2)⋅RRΤv-b-2a(v-b)v3=(RΤv-b)RRΤv-b-2a(v-b)v3=R1-2a(v-b)2RΤv3.(11)式(11)即为范氏气体Cv与Cp之间的关系.1.3范氏气体等温v-b的动力学方程由式(5),C=Cv(等容过程)得n=∞;C=Cp(等压过程)得n=1-RCp-Cv=2a(v-b)2RΤv3;C=∞(等温过程)得n=1;C=0(绝热过程)得n=Cv+RCv.当是理想气体时,等压过程的n=0,绝热过程的n=Cp/Cv=γ,这些结论与理想气体的多方指数相吻合.而范氏气体在各热力学过程的过程方程为v-b=常数(等容过程);P=常数(等压过程);[P+(a/v2)](v-b)=常数(等温过程);[P+(a/v2)](v-b)(Cv+R)/Cv=常数(绝热过程).2范气体在不同加热过程中的能量转化2.1等载过程外界对系统作的功A=0.内能增量[由式(2)]ΔU=Cv(T2-T1).吸收的热量Q=ΔU=Cv(T2-T1).2.2吸收的热量q=cpt1,把控以cpt1-cpt1-b2.内能增量[由式(2)]ΔU=Cv(T2-T1)-a[(1/v2)-(1/v1)].吸收的热量Q=Cp(T2-T1).外界作的功A=ΔU-Q=-Cp(T2-T1)+Cv(T2-T1)-a[(1/v2)-(1/v1)]=-(Cp-Cv)(T2-T1)-a[(1/v2)-(1/v1)].2.3系统作的功能内能增量[由式(2)]ΔU=-a[(1/v2)-(1/v1)].外界对系统作的功A=-∫v2v1Ρdv=-∫v2v1(RΤv-b-av2)dv=-RΤlnv2-bv1-b-a(1v2-1v1).吸收的热量Q=ΔU-A=RTln(v2-b)/(v1-b).2.4dva系统环境吸收的热量Q=0.内能增量[由式(2)]ΔU=∫21dU=∫21(CvdΤ+av2dv)=∫Τ2Τ1CvdΤ+∫Τ2Τ1av2dv=Cv(Τ2-Τ1)-a(1v2-1v1).外界对系统作的功A=ΔU=Cv(T2-T1)-a[(1/v2)-(1/v1)].2.5范德瓦尔气体的力学特性由多方过程方程(Ρ+av2)(v-b)n=(Ρ1+av12)(v1-b)n=(Ρ2+av22)(v2-b)n.则外界对系统作的功A=-∫v2v1Ρdv=-∫v2v1[(Ρ1+av12)(v1-b)n1(v-b)n-av2)dv=-(Ρ1+av12)(v1-b)n11-n[(v2-b)1-n-(v1-b)1-n]-a(1v2-1v1)=Rn-1(Τ2-Τ1)-a(1v2-1v1).内能的增量ΔU=Cv(T2-T1)-a[(1/v2)-(1/v1)].吸收的热