2020春浙教版八年级数学下册课件：四边形中常用辅助线专题训练(共43张PPT)

八年级数学(下)——测试卷(二十四)

四边形中常用辅助线专题训练一、平行四边形有关的辅助线作法1．如图，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形．求证：OE与AD互相平分．1．证明：连结AE、OD，因为四边形OCDE是平行四边形，所以OC∥DE，OC＝DE，因为O是AC的中点，所以AO∥ED，AO＝ED，所以四边形AODE是平行四边形，所以AD与OE互相平分．2．平行四边形的其中一个判定定理是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．请你证明这个判定定理．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC.求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：2．证明：连接AC，如图所示：可证△ABC≌△CDA(SSS)，∴∠BAC＝∠DCA，∠ACB＝∠CAD，∴AB∥CD，BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形．3．如图，在△ABC中，E，F为AB上两点，AE＝BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.求证：ED＋FG＝AC.3．证明：过点E作EH∥BC，交AC于H，因为ED∥AC，所以四边形CDEH是平行四边形，所以ED＝HC，又FG∥AC，EH∥BC，所以∠AEH＝∠B，∠A＝∠BFG，又AE＝BF，所以△AEH≌△FBG，所以AH＝FG，所以FG＋DE＝AH＋HC＝AC.4．在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E.如图，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且AB＝AE.求证：ED－AG＝FC.4．证明：作AQ⊥BE交DF的延长线于P，垂足为Q，连接PB，PE，∵AB＝AE，AQ⊥BE，∴∠ABE＝∠AEB，BQ＝EQ，∴PB＝PE，∴∠PBE＝∠PEB，∴∠ABP＝∠AEP，∵AB∥CD，AF⊥CD，∴AF⊥AB，∴∠BAF＝90°，∵AQ⊥BE，∴∠ABG＝∠FAP，可证△ABG≌△FAP(ASA)，∴AG＝FP，∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠ABP＋∠BPC＝180°，∠BCP＝∠D，∵∠AEP＋∠PED＝180°，∴∠BPC＝∠PED，可证△BPC≌△PED(AAS)，∴PC＝ED，∴ED－AG＝PC－AG＝PC－FP＝FC.二、与矩形有关的辅助线作法．

名师点拨和矩形有关的题型一般有两种：(1)计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；(2)证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题．5．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD.若AE＝2，PF＝8.求图中阴影部分的面积．6．如图，已知矩形ABCD内一点P，PA＝3，PB＝4，PC＝5.求PD的长．6．过点P分别作两组对边的平行线EF，GH交AB于E，交CD于F，交BC于点H，交AD于G.因为四边形ABCD是矩形，所以PF2＝CH2＝PC2－PH2，DF2＝AE2＝AP2－EP2，PH2＋PE2＝BP2，所以PD2＝PC2－PH2＋AP2－EP2＝PC2＋AP2－PB2＝52＋32－42＝18，7．如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．7．连接EG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E为AD中点，∴AE＝ED，易证△DEH≌△BGF，∴BG＝DE，∴AE＝BG，AE∥BG，∴四边形ABGE是平行四边形，∴AB＝EG，∵EG＝FH＝2，∴AB＝2，∴菱形ABCD的周长＝8.8．如图，点E，F，G，H分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA(不包括端点)上运动，且满足AE＝CG，AH＝CF.(1)求证：△AEH≌△CGF；(2)试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．(3)请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由．证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C.可证△AEH≌△CGF(SAS)；(2)∵由(1)知，△AEH≌△CGF，则EH＝GF，同理证得△EBF≌△GDH，则EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形；(3)四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．理由如下：作G关于BC的对称点G′，连接EG′，可得EG′的长度就是EF＋FG的最小值．连接AC，∵CG′＝CG＝AE，AB∥CG′，∴四边形AEG′C为平行四边形，∴EG′＝AC.在△EFG′中，∵EF＋FG′≥EG′＝AC，∴四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．三、和菱形有关的辅助线的作法

名师点拨和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题．

9．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，求DP的长．10．如图，已知A，F，C，D四点在同一条直线上，AF＝CD，AB∥DE，且AB＝DE.若EF＝3，DE＝4，∠DEF＝90°，求当四边形EFBC为菱形时，AF的长度．11．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF.(1)求证：▱ABCD是菱形；(2)若AB＝5，AC＝6，求▱ABCD的面积．11．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，∵BE＝DF，∴△AEB≌△AFD∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形；12．如图，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证：EF＋BF的最小值等于DE长．12．证明：连结BD，DF.因为AC，BD是菱形的对角线，所以AC垂直BD且平分BD，所以BF＝DF，所以EF＋BF＝EF＋DF≥DE，当且仅当F运动到DE与AC的交点G处时，上式等号成立，所以EF＋BF的最小值恰好等于DE的长．四、正方形的有关辅助线

名师点拨正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多．解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线．13．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．13．(1)证明：连接GC，由正方形的性质知AD＝CD，∠ADG＝∠CDG，可证△ADG≌△CDG，∴AG＝CG，由题意知∠GEC＝∠GFC＝∠DCB＝90°，∴四边形GFCE是矩形，∴GF＝EC.在Rt△GEC中，根据勾股定理，得GC2＝GE2＋EC2，∴AG2＝GE2＋GF2；14．在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E，F满足BE＝DF，连接AE，AF，CE，CF，如图所示．(1)求证：△ABE≌△ADF；(2)试判断四边形AECF的形状，并说明理由．14．证明：(1)∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠ABE＝∠ADF，可证△ABE≌△ADF(SAS)；(2)连接AC，四边形AECF是菱形．理由：∵正方形ABCD，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥EF，∴OB＋BE＝OD＋DF，即OE＝OF，∵OA＝OC，OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．15．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E，F分别在AB，BC上(AE＜BE)，且∠EOF＝90°，OE，DA的延长线交于点M，OF，AB的延长线