高考数学一轮复习试题第二章函数与基本初等函数

第1节函数的概念及其表示考试要求1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用.1.函数的概念概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域x的取值范围值域与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}2.同一个函数(1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.(2)结论：这两个函数为同一个函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点.2.注意以下几个特殊函数的定义域：(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}.(5)正切函数y＝tanx的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝1与y＝x0是同一函数.()(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.()(3)若A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数.()(4)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数是同一个函数.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×解析(1)错误.函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数.(2)错误.值域可以为B的子集.(3)错误.集合A中的元素0在集合B中无元素与之对应.(4)错误.只有两个函数的定义域，对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数.2.(易错题)下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是()答案C解析A中的值域不满足，B中的定义域不满足，D项不是函数的图象，由函数的定义可知C正确.3.(2020·北京卷)函数f(x)＝eq\f(1,x＋1)＋lnx的定义域是__________.答案(0，＋∞)解析要使函数有意义，需满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1≠0，,x＞0，))即x＞0且x≠－1，所以函数的定义域为(0，＋∞).4.(2021·浙江卷)已知a∈R，函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－4，x>2，,|x－3|＋a，x≤2.))若f(f(eq\r(6)))＝3，则a＝________.答案2解析因为eq\r(6)>2，所以f(eq\r(6))＝6－4＝2，所以f(f(eq\r(6)))＝f(2)＝1＋a＝3，解得a＝2.5.(易错题)已知f(eq\r(x))＝x－1，则f(x)＝________.答案x2－1(x≥0)解析令t＝eq\r(x)，则t≥0，故x＝t2，则f(t)＝t2－1，所以f(x)＝x2－1(x≥0).6.函数f(x)＝x－eq\f(1,x)在区间[2，4]上的值域为________.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(15,4)))解析f(x)＝x－eq\f(1,x)在区间[2，4]上单调递增，又f(2)＝eq\f(3,2)，f(4)＝eq\f(15,4)，故f(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(15,4))).考点一函数的概念1.下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是()答案C解析根据函数意义：对任意x值，y都有唯一值与之对应，只有C不满足.2.(多选)下列各组函数是同一函数的为()A.f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1B.f(x)＝x－1，g(x)＝eq\f(x2－1,x＋1)C.f(x)＝eq\r(x2)，g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x＜0))D.f(x)＝eq\r(－x3)，g(x)＝xeq\r(－x)答案AC解析同一函数满足①定义域相同；②对应关系相同，只有A、C满足.3.已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________.(填序号)①f：x→y＝eq\f(1,2)x；②f：x→y＝eq\f(1,3)x；③f：x→y＝eq\f(2,3)x；④f：x→y＝eq\r(x).答案③解析③中，f：x→y＝eq\f(2,3)x，x∈[0，4]时，y＝eq\f(2,3)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(8,3)))Q,故不满足函数的定义.感悟提升（1）函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.（2）构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同考点二求函数的定义域1.函数f(x)＝ln(4x－x2)＋eq\f(1,x－2)的定义域为()A.(0，4)B.[0，2)∪(2，4]C.(0，2)∪(2，4)D.(－∞，0)∪(4，＋∞)答案C解析要使函数有意义，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x－x2＞0，,x－2≠0，))解得0＜x＜4且x≠2.2.函数f(x)＝eq\r(lnx)·lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2,2－x)))的定义域是()A.[1，2] B.[2，＋∞)C.[1，2) D.(1，2]答案C解析根据函数f(x)的解析式，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x＋2）（2－x）＞0，,x＞0，,lnx≥0，))解得1≤x＜2，所以函数f(x)的定义域为[1，2).3.已知函数f(x)的定义域是[－1，1]，则函数g(x)＝eq\f(f（2x－1）,ln（1－x）)的定义域是()A.[0，1] B.(0，1)C.[0，1) D.(0，1]答案B解析由题意可知函数f(x)的定义域为[－1，1]，即－1≤x≤1，令－1≤2x－1≤1，解得0≤x≤1.又由g(x)满足1－x＞0且1－x≠1，解得x＜1且x≠0，所以函数g(x)的定义域为(0，1).4.已知函数f(x)＝eq\f(3x－1,ax2＋ax－3)的定义域是R，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)) B.(－12，0]C.(－12，0) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))答案B解析因为函数f(x)＝eq\f(3x－1,ax2＋ax－3)的定义域是R，所以ax2＋ax－3≠0对任意实数x都成立.当a＝0时，显然成立；当a≠0时，需Δ＝a2＋12a<0，解得－12<a<0.综上所述，实数a的取值范围为－12<a≤0.感悟提升1.求给定解析式的函数定义域的方法求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.2.求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域.考点三求函数的解析式例1求下列函数的解析式：(1)已知f(1－sinx)＝cos2x，求f(x)的解析式；(2)已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式.解(1)(换元法)设1－sinx＝t，t∈[0，2]，则sinx＝1－t.∵f(1－sinx)＝cos2x＝1－sin2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2].即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2].(2)(配凑法)∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(2)－2，∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞).(3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,5a＋b＝17，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝7，))∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.(4)(方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②由①②解得f(x)＝3x.感悟提升函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(4)方程思想：已知关于f(x)与feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).训练1(1)已知f(eq\r(x)＋1)＝x－2eq\r(x)，则f(x)＝________.答案x2－4x＋3(x≥1)解析令t＝eq\r(x)＋1，则t≥1，x＝(t－1)2，代入原式有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3(t≥1)，所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1).(2)已知f(x)是一次函数，且2f(2)－3f(1)＝5，2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)的解析式为________.答案f(x)＝3x－2解析∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝kx＋b，k≠0，则f(2)＝2k＋b，f(1)＝k＋b，f(0)＝b，f(－1)＝－k＋b.∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2f（2）－3f（1）＝5，,2f（0）－f（－1）＝1，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（4k＋2b）－（3k＋3b）＝5，,2b－（－k＋b）＝1，))解得k＝3，b＝－2，∴f(x)＝3x－2.(3)已知f(x)满足f(x)－2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝2x，则f(x)＝________.答案－eq\f(2x,3)－eq\f(4,3x)解析∵f(x)－2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝2x，①以eq\f(1,x)代替①中的x，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))－2f(x)＝eq\f(2,x)，②①＋②×2得－3f(x)＝2x＋eq\f(4,x)，∴f(x)＝－eq\f(2x,3)－eq\f(4,3x).考点四分段函数角度1分段函数求值例2(1)(2021·枣庄二模)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex＋ln2，x≤0，,f（x－3），x＞0，))则f(2021)＝()A.eq\f(2,e) B.2e C.eq\f(2,e2) D.2e2答案A解析由f(x)＝f(x－3)得f(x＋3)＝f(x)，因而f(2021)＝f(3×673＋2)＝f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝e－1＋ln2＝eq\f(2,e).(2)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(x＋1)，－1<x<0，,2x，x≥0.))若实数a满足f(a)＝f(a－1)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝()A.2 B.4 C.6 D.8答案D解析由f(x)的定义域，知a>0.当0<a<1时，由f(a)＝f(a－1)，即2a＝eq\r(a)，解得a＝eq\f(1,4)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝f(4)＝8；当a≥1时，由f(a)＝f(a－1)，得2a＝2(a－1)，无解.综上可知，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝8.角度2分段函数与方程、不等式问题例3(1)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x＞0，,x＋1，x≤0.))若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于()A.－3 B.－1 C.1 D.3答案A解析∵f(1)＝21＝2，∴f(a)＋2＝0，∴f(a)＝－2，当a≤0时，f(a)＝a＋1＝－2，∴a＝－3，当a＞0时，f(a)＝2a＝－2，方程无解，综上有a＝－3.(2)设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤0，,2x，x>0))则满足f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))>1的x的取值范围是________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞))解析由题意得：当x>eq\f(1,2)时，2x＋2x－eq\f(1,2)>1恒成立，即x>eq\f(1,2)；当0<x≤eq\f(1,2)时，2x＋x－eq\f(1,2)＋1>1恒成立，即0<x≤eq\f(1,2)；当x≤0时，x＋1＋x－eq\f(1,2)＋1>1，∴x>－eq\f(1,4)，即－eq\f(1,4)<x≤0.综上x的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞)).感悟提升1.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.提醒当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.训练2(1)(2021·肇庆二模)设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－a，x＜1，,2x，x≥1，))若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))))＝4，则a＝________.答案－eq\f(3,2)解析∵eq\f(1,4)＜1，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝2×eq\f(1,4)－a＝eq\f(1,2)－a.当eq\f(1,2)－a＜1，即a＞－eq\f(1,2)时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－a))＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－a))－a＝1－3a＝4，解得a＝－1，与a＞－eq\f(1,2)矛盾，舍去；当eq\f(1,2)－a≥1，即a≤－eq\f(1,2)时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－a))＝2eq\f(1,2)－a＝4，则eq\f(1,2)－a＝2，即a＝－eq\f(3,2)，满足a≤－eq\f(1,2).所以a＝－eq\f(3,2).(2)(2022·长沙调研)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，x>1，,x2－1，x≤1，))则f(x)<f(x＋1)的解集为________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))解析当x≤0时，x＋1≤1，f(x)<f(x＋1)，等价于x2－1<(x＋1)2－1，解得－eq\f(1,2)<x≤0，当0<x≤1时，x＋1>1，此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)>0，∴0<x≤1时，恒有f(x)<f(x＋1)，当x>1时，f(x)<f(x＋1)⇔log2x<log2(x＋1)恒成立，综上知，不等式f(x)<f(x＋1)的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)).函数的值域求函数值域的一般方法(1)分离常数法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)单调性法；(6)换元法；(7)数形结合法；(8)导数法.例求下列函数的值域：(1)y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)；(2)y＝eq\f(2x＋1,x－3)；(3)y＝2x－eq\r(x－1)；(4)y＝eq\r(x＋1)＋eq\r(x－1).解(1)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2，6).(2)(分离常数法)y＝eq\f(2x＋1,x－3)＝eq\f(2（x－3）＋7,x－3)＝2＋eq\f(7,x－3)，显然eq\f(7,x－3)≠0，∴y≠2.故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).(3)(换元法)设t＝eq\r(x－1)，则x＝t2＋1，且t≥0，∴y＝2(t2＋1)－t＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(15,8)，由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,8)，＋∞)).(4)函数的定义域为[1，＋∞)，∵y＝eq\r(x＋1)与y＝eq\r(x－1)在[1，＋∞)上均为增函数，∴y＝eq\r(x＋1)＋eq\r(x－1)在[1，＋∞)上为单调递增函数，∴当x＝1时，ymin＝eq\r(2)，即函数的值域为[eq\r(2)，＋∞).1.下列各组函数中，表示同一个函数的是()A.f(x)＝elnx，g(x)＝xB.f(x)＝eq\f(x2－4,x＋2)，g(x)＝x－2C.f(x)＝eq\f(sin2x,2cosx)，g(x)＝sinxD.f(x)＝|x|，g(x)＝eq\r(x2)答案D解析A中f(x)的定义域是(0，＋∞)，g(x)的定义域是R，故不是同一个函数；B中f(x)的定义域是(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，g(x)的定义域是R，故不是同一个函数；C中f(x)的定义域是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))，g(x)的定义域是R，故不是同一个函数；D中的函数是同一个函数.2.(多选)下列所给图象可以是函数图象的是()答案CD解析图象A关于x轴对称，x>0时，每一个x对应2个y，图象B中x0对应2个y，所以A，B均不是函数图象；图象C，D可以是函数图象.3.函数y＝log2(2x－4)＋eq\f(1,x－3)的定义域是()A.(2，3) B.(2，＋∞)C.(3，＋∞) D.(2，3)∪(3，＋∞)答案D解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－4＞0，,x－3≠0，))得x＞2且x≠3，故函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞).4.函数y＝1＋x－eq\r(1－2x)的值域为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))答案B解析设eq\r(1－2x)＝t，则t≥0，x＝eq\f(1－t2,2)，所以y＝1＋eq\f(1－t2,2)－t＝eq\f(1,2)(－t2－2t＋3)＝－eq\f(1,2)(t＋1)2＋2.因为t≥0，所以y≤eq\f(3,2).所以函数y＝1＋x－eq\r(1－2x)的值域为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2))).5.已知函数f(x＋1)的定义域为(－2，0)，则f(2x－1)的定义域为()A.(－1，0) B.(－2，0)C.(0，1) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))答案C解析函数f(x＋1)的定义域为(－2，0)，即函数y＝f(x＋1)中的x满足－2＜x＜0，此时－1＜x＋1＜1，记t＝x＋1，则－1＜t＜1，则f(t)的定义域为(－1，1)，也就是f(x)的定义域是(－1，1).要求f(2x－1)的定义域，则－1＜2x－1＜1，解得0＜x＜1，∴f(2x－1)的定义域为(0，1).6.(2022·福州第一中学期中)设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，x＞0，,log\f(1,2)（－x），x＜0，))若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是()A.(－1，0)∪(0，1)B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(－1，0)∪(1，＋∞)D.(－∞，－1)∪(0，1)答案C解析当a＞0时，－a＜0，由f(a)＞f(－a)得log2a＞logeq\f(1,2)a，所以2log2a＞0，解得a＞1；当a＜0时，－a＞0，由f(a)＞f(－a)得logeq\f(1,2)(－a)＞log2(－a)，所以2log2(－a)＜0，可得0＜－a＜1，即－1＜a＜0.综上，a的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞).7.已知函数f(x)满足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋eq\f(1,x)f(－x)＝2x(x≠0)，则f(－2)＝________.答案eq\f(7,2)解析令x＝2，可得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋eq\f(1,2)f(－2)＝4，①令x＝－eq\f(1,2)，可得f(－2)－2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－1，②联立①②解得f(－2)＝eq\f(7,2).8.已知y＝f(x)是二次函数，若方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)＝________.答案x2＋2x＋1解析设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，∴2ax＋b＝2x＋2，则a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋c.又f(x)＝0，即x2＋2x＋c＝0有两个相等实根.∴Δ＝4－4c＝0，则c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.9.函数y＝eq\f(x2－x＋2,x－1)(x＞1)的值域是________.答案[2eq\r(2)＋1，＋∞)解析令t＝x－1，∴t＞0，x＝t＋1，∴y＝eq\f(（t＋1）2－（t＋1）＋2,t)＝eq\f(t2＋t＋2,t)＝t＋eq\f(2,t)＋1≥2eq\r(2)＋1，当且仅当t＝eq\f(2,t)即t＝eq\r(2)时取等号，∴函数的值域为[2eq\r(2)＋1，＋∞).10.已知函数f(x)的解析式为f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋5，x≤0，,x＋5，0＜x≤1，,－2x＋8，x＞1.))(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))，f(－1)的值；(2)画出这个函数的图象；(3)求f(x)的最大值.解(1)∵eq\f(3,2)＞1，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－2×eq\f(3,2)＋8＝5.∵0＜eq\f(1,π)＜1，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))＝eq\f(1,π)＋5＝eq\f(5π＋1,π).∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.(2)这个函数的图象如图.在函数f(x)＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分，在函数f(x)＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分，在函数f(x)＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分.图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象.(3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6.11.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列关系：y＝eq\f(x2,200)＋mx＋n(m，n是常数).如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)的关系图.(1)求出y关于x的函数解析式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2m，求行驶的最大速度.解(1)由题意及函数图象，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(402,200)＋40m＋n＝8.4，,\f(602,200)＋60m＋n＝18.6，))解得m＝eq\f(1,100)，n＝0，∴y＝eq\f(x2,200)＋eq\f(x,100)(x≥0).(2)令eq\f(x2,200)＋eq\f(x,100)≤25.2，得－72≤x≤70.∵x≥0，∴0≤x≤70.故行驶的最大速度是70km/h.12.(多选)(2022·重庆质检)若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”，例如函数y＝x2，x∈[1，2]与函数y＝x2，x∈[－2，－1]即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是()A.y＝[x]([x]表示不超过x的最大整数，例如[0.1]＝0)B.y＝x＋eq\r(x＋1)C.y＝eq\f(1,x)－log3xD.y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x＋1)))答案AD解析根据题意，“同值函数”需满足：对于同一函数值，有不同的自变量与其对应.因此，能够被用来构造“同值函数”的函数必须满足在其定义域内不单调.对于A，y＝[x]，定义域为R，在定义域内不是单调函数，有不同的自变量对应同一函数值，故A可以构造“同值函数”；对于B，y＝x＋eq\r(x＋1)，为定义在[－1，＋∞)上的单调增函数，故B不可以构造“同值函数”；对于C，y＝eq\f(1,x)－log3x，为定义在(0，＋∞)上的单调减函数，故C不可以构造“同值函数”；对于D，y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x＋1)))，不是定义域上的单调函数，有不同的自变量对应同一函数值，故D可以构造“同值函数”.所以能够被用来构造“同值函数”的是A，D.13.已知函数f(x)＝log2x，g(x)＝2x＋a，若存在x1，x2∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，使得f(x1)＝g(x2)，则a的取值范围是________.答案[－5，0]解析依题意f(x)的值域与g(x)的值域有交集，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))时，f(x)∈[－1，1]，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))时，g(x)∈[a＋1，a＋4]，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋1≤－1，,a＋4≥－1，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋1≤1，,a＋4≥1，))解得－5≤a≤0.14.高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数.例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝eq\f(2x＋3,2x＋1)，求函数y＝[f(x)]的值域.解f(x)＝eq\f(2x＋3,2x＋1)＝eq\f(2x＋1＋2,2x＋1)＝1＋eq\f(2,2x＋1)，∵2x＞0，∴1＋2x＞1，0＜eq\f(1,2x＋1)＜1，则0＜eq\f(2,2x＋1)＜2，1＜1＋eq\f(2,2x＋1)＜3，即1＜f(x)＜3.当1＜f(x)＜2时，[f(x)]＝1，当2≤f(x)＜3时，[f(x)]＝2.综上，函数y＝[f(x)]的值域为{1，2}.

第2节函数的单调性与最大(小)值考试要求1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其实际意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)∀x∈I，都有f(x)≤M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M(1)∀x∈I，都有f(x)≥M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值1.有关单调性的常用结论在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数.2.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝eq\f(1,f（x）)的单调性相反.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)对于函数y＝f(x)，若f(1)<f(3)，则f(x)为增函数.()(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).()(3)函数y＝eq\f(1,x)的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).()(4)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，则函数f(x)在区间D上是增函数.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)错误，应对任意的x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)成立才可以.(2)错误，反例：f(x)＝x在[1，＋∞)上为增函数，但f(x)＝x的单调区间是(－∞，＋∞).(3)错误，此单调区间不能用“∪”连接，故单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞).2.(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为()A.f(x)＝－x B.f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(x)C.f(x)＝x2 D.f(x)＝eq\r(3,x)答案D3.函数y＝eq\f(x,x－1)在区间[2，3]上的最大值是()A.eq\f(3,2) B.2 C.3 D.3.5答案B解析∵函数y＝eq\f(x,x－1)＝1＋eq\f(1,x－1)在[2，3]上递减，∴当x＝2时，y＝eq\f(x,x－1)取得最大值eq\f(2,2－1)＝2.4.(2022·聊城检测)函数f(x)＝9x2＋eq\r(x－1)的最小值为________.答案9解析∵f(x)的定义域为[1，＋∞)，且y＝9x2与y＝eq\r(x－1)在[1，＋∞)内均为增函数，∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝f(1)＝9.5.(易错题)函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1)＜f(2a)，则实数a的取值范围是________.答案[－1，1)解析由条件知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2≤a＋1≤2，,－2≤2a≤2，,a＋1＞2a，))解得－1≤a＜1.6.(易错题)函数f(x)＝eq\f(1,\r(x2－2x－3))的单调增区间为________.答案(－∞，－1)解析由x2－2x－3＞0得x＜－1或x＞3，故f(x)的定义域(－∞，－1)∪(3，＋∞)，由函数y＝x2－2x－3在(－∞，－1)上单调递减，故f(x)的单调增区间是(－∞，－1).考点一确定函数的单调性(区间)1.(2022·百校大联考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为减函数的是()A.y＝－sinx B.y＝x2－2x＋3C.y＝ln(x＋1) D.y＝2022－eq\f(x,2)答案D解析y＝－sinx和y＝x2－2x＋3在(0，＋∞)上不具备单调性；y＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上单增.故选D.2.函数y＝logeq\f(1,2)(－x2＋x＋6)的单调递增区间为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))C.(－2，3) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))答案A解析由－x2＋x＋6>0，得－2<x<3，故函数的定义域为(－2，3)，令t＝－x2＋x＋6，则y＝logeq\f(1,2)t，易知其为减函数.由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t＝－x2＋x＋6在(－2，3)上的单调递减区间.利用二次函数的性质可得t＝－x2＋x＋6在定义域(－2，3)上的单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3)).3.设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________.答案[0，1)解析由题意知g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2，x>1，,0，x＝1，,－x2，x<1，))该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0，1).4.已知f(x)＝eq\f(x,x－a)(x≠a).(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围.(1)证明当a＝－2时，f(x)＝eq\f(x,x＋2).设x1＜x2＜－2，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1,x1＋2)－eq\f(x2,x2＋2)＝eq\f(2（x1－x2）,（x1＋2）（x2＋2）).因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增.(2)解设1＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1,x1－a)－eq\f(x2,x2－a)＝eq\f(a（x2－x1）,（x1－a）（x2－a）).因为a＞0，x2－x1＞0，所以要使f(x1)－f(x2)＞0，只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1.综上所述，a的取值范围是(0，1].感悟提升1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.2.(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.(2)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.易错警示函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”.考点二求函数的最值例1(1)函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)－log2(x＋4)在区间[－2，2]上的最大值为________.答案8解析因为函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)，y＝－log2(x＋4)在区间[－2，2]上都单调递减，所以函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)－log2(x＋4)在区间[－2，2]上单调递减，所以函数f(x)的最大值为f(－2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(－2)－log2(－2＋4)＝9－1＝8.(2)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≤b，,b，a>b.))设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________.答案1解析法一在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)的图象，依题意，h(x)的图象为如图所示的实线部分.易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)＝1.法二依题意，h(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，0<x≤2，,－x＋3，x>2.))当0<x≤2时，h(x)＝log2x是增函数，当x>2时，h(x)＝3－x是减函数，因此h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1.感悟提升1.求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.2.对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.训练1(1)函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________.答案[3，＋∞)解析函数y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x＋1，x≤－1，,3，－1＜x＜2，,2x－1，x≥2.))作出函数的图象如图所示.根据图象可知，函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为[3，＋∞).(2)设函数f(x)＝eq\f(2x,x－2)在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则eq\f(m2,M)＝________.答案eq\f(8,3)解析∵f(x)＝eq\f(2x,x－2)＝eq\f(2x－4＋4,x－2)＝2＋eq\f(4,x－2)在[3，4]上单调递减，∴f(x)min＝f(4)＝4，f(x)max＝f(3)＝6，∴M＝6，m＝4，∴eq\f(m2,M)＝eq\f(16,6)＝eq\f(8,3).考点三函数单调性的应用角度1比较函数值的大小例2设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则()A.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))＞f(2－eq\f(3,2))＞f(2－eq\f(2,3))B.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))＞f(2－eq\f(2,3))＞f(2－eq\f(3,2))C.f(2－eq\f(3,2))＞f(2－eq\f(2,3))＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))D.f(2－eq\f(2,3))＞f(2－eq\f(3,2))＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))答案C解析f(x)为偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))＝f(－log34)＝f(log34).又log34＞1，0＜2－eq\f(3,2)＜2－eq\f(2,3)＜1，∴f(log34)＜f(2－eq\f(2,3))＜f(2－eq\f(3,2))，即f(2－eq\f(3,2))＞f(2－eq\f(2,3))＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4))).感悟提升利用函数的单调性比较大小，首先要准确判断函数的单调性，其次应将自变量转化到一个单调区间内，然后利用单调性比较大小.角度2解函数不等式例3(1)(2020·新高考全国Ⅰ卷)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是()A.[－1，1]∪[3，＋∞) B.[－3，－1]∪[0，1]C.[－1，0]∪[1，＋∞) D.[－1，0]∪[1，3]答案D解析因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示.当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.当x＞0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3].(2)已知函数f(x)＝lnx＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是________.答案(－eq\r(5)，－2)∪(2，eq\r(5))解析因为函数f(x)＝lnx＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln1＋2＝2，所以由f(x2－4)<2得，f(x2－4)<f(1)，所以0<x2－4<1，解得－eq\r(5)<x<－2或2<x<eq\r(5).感悟提升求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，利用函数的单调性将“f”符号脱去，转化为关于自变量的不等式求解，应注意函数的定义域.角度3求参数的取值范围例4(1)(2022·九江三校联考)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________.答案(－∞，1]解析令t＝|x－a|，∴y＝et，t＝|x－a|在(－∞，a]上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增.又y＝et为增函数，∴f(x)＝e|x－a|在(－∞，a]上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增，∴a≤1.(2)设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋4x，x≤4，,log2x，x>4.))若函数f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________.答案(－∞，1]∪[4，＋∞)解析函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.感悟提升利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.训练2(1)已知函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后关于y轴对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，设a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A.c＞a＞b B.c＞b＞aC.a＞c＞b D.b＞a＞c答案D解析由于函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到的图象关于y轴对称，故函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2))).当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立等价于函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以b＞a＞c.(2)已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)－log2(x＋2)，若f(a－2)＞3，则a的取值范围是________.答案(0，1)解析由f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)－log2(x＋2)知，f(x)在定义域(－2，＋∞)上是减函数，且f(－1)＝3，由f(a－2)＞3，得f(a－2)＞f(－1)，即－2＜a－2＜－1，即0＜a＜1.构造函数解决不等式(方程)问题对于结构相同(相似)的不等式(方程)，通常考虑变形，构造函数，利用基本初等函数的单调性，寻找变量之间的关系，达到解题目的.考查的核心素养是逻辑推理与数学抽象.例(1)(2020·全国Ⅰ卷)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则()A.a>2b B.a<2bC.a>b2 D.a<b2答案B解析由指数和对数的运算性质可得2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b.令f(x)＝2x＋log2x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增.又∵22b＋log2b<22b＋log2b＋1＝22b＋log2(2b)，∴2a＋log2a<22b＋log2(2b)，即f(a)<f(2b)，∴a<2b.(2)(2020·全国Ⅱ卷)若2x－2y<3－x－3－y，则()A.ln(y－x＋1)>0 B.ln(y－x＋1)<0C.ln|x－y|>0 D.ln|x－y|<0答案A解析原已知条件等价于2x－3－x<2y－3－y，设函数f(x)＝2x－3－x.因为函数y＝2x与y＝－3－x在R上均单调递增，所以f(x)在R上单调递增，即f(x)<f(y)，所以x<y，即y－x>0，所以A正确，B不正确.因为|x－y|与1的大小不能确定，所以C，D不正确.1.(多选)下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是()A.y＝|x| B.y＝x＋3C.y＝eq\f(1,x) D.y＝－x2＋4答案AB解析函数y＝eq\f(1,x)与y＝－x2＋4在(0，1)都是减函数，故选AB.2.函数f(x)＝－x＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,3)))上的最大值是()A.eq\f(3,2) B.－eq\f(8,3) C.－2 D.2答案A解析易知f(x)＝－x＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,3)))上单调递减，故其最大值为f(－2)＝eq\f(3,2).3.设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A.f(π)＞f(－3)＞f(－2)B.f(π)＞f(－2)＞f(－3)C.f(π)＜f(－3)＜f(－2)D.f(π)＜f(－2)＜f(－3)答案A解析因为f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2).又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(π)＞f(3)＞f(2)，即f(π)＞f(－3)＞f(－2).4.(2021·武汉一模)已知函数f(x)＝loga(－x2－2x＋3)(a＞0且a≠1)，若f(0)＜0，则此函数的单调递增区间是()A.(－∞，－1] B.[－1，＋∞)C.[－1，1) D.(－3，－1]答案C解析令g(x)＝－x2－2x＋3，由题意知g(x)＞0，可得－3＜x＜1，故函数的定义域为{x|－3＜x＜1}.根据f(0)＝loga3＜0，可得0＜a＜1.又g(x)在定义域(－3，1)内的单调递减区间是[－1，1)，所以f(x)的单调递增区间为[－1，1).5.如果函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2－a）x＋1，x＜1，,ax，x≥1，))满足对任意x1≠x2，都有eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＞0成立，那么实数a的取值范围是()A.(0，2) B.(1，2)C.(1，＋∞) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))答案D解析因为对任意x1≠x2，都有eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＞0，所以y＝f(x)在R上是增函数，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－a＞0，,a＞1，,（2－a）×1＋1≤a，))解得eq\f(3,2)≤a＜2.故实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)).6.(多选)已知函数f(x)＝loga|x－1|在区间(－∞，1)上单调递增，则()A.0＜a＜1B.a＞1C.f(a＋2021)＞f(2022)D.f(a＋2021)＜f(2022)答案AC解析f(x)＝loga|x－1|的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞).设z＝|x－1|，可得函数z在(－∞，1)上单调递减；在(1，＋∞)上单调递增，由题意可得0＜a＜1，故A正确，B错误；由于0＜a＜1，可得2021＜a＋2021＜2022.又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，则f(a＋2021)＞f(2022)，故C正确，D错误.7.函数y＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为________，单调递减区间为________.答案(－∞，－1]和[0，1](－1，0)和(1，＋∞)解析由于y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋1，x≥0，,－x2－2x＋1，x＜0，))即y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－（x－1）2＋2，x≥0，,－（x＋1）2＋2，x＜0.))画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为(－1，0)和(1，＋∞).8.若函数f(x)＝ex－e－x，则不等式f(2x＋1)＋f(x－2)>0的解集为________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))解析由f(－x)＝－f(x)，知f(x)＝ex－e－x为奇函数，又易证在定义域R上，f(x)是增函数，则不等式f(2x＋1)＋f(x－2)>0等价于f(2x＋1)>－f(x－2)＝f(－x＋2)，则2x＋1>－x＋2，即x>eq\f(1,3)，故不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)).9.已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(1,5)))，b＝f(log24.1)，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系为________________.答案a＞b＞c解析∵f(x)在R上是奇函数，∴a＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(1,5)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－log2\f(1,5)))＝f(log25).又f(x)在R上是增函数，且log25＞log24.1＞log24＝2＞20.8，∴f(log25)＞f(log24.1)＞f(20.8)，∴a＞b＞c.10.函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0<a<1).(1)求方程f(x)＝0的解；(2)若函数f(x)的最小值为－1，求a的值.解(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x>0，,x＋3>0))得－3<x<1，∴f(x)的定义域为(－3，1)，则f(x)＝loga(－x2－2x＋3)，x∈(－3，1).令f(x)＝0，得－x2－2x＋3＝1，解得x＝－1－eq\r(3)或x＝－1＋eq\r(3)，经检验，均满足原方程成立.故f(x)＝0的解为x＝－1±eq\r(3).(2)由(1)得f(x)＝loga[－(x＋1)2＋4]，x∈(－3，1)，由于0<－(x＋1)2＋4≤4，且a∈(0，1)，∴loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4，由题意可得loga4＝－1，解得a＝eq\f(1,4)，满足条件.所以a的值为eq\f(1,4).11.已知函数f(x)＝a－eq\f(2,2x＋1).(1)求f(0)；(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)<f(2)的x的取值范围.解(1)f(0)＝a－eq\f(2,20＋1)＝a－1.(2)f(x)在R上单调递增.证明如下：∵f(x)的定义域为R，∴任取x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝a－eq\f(2,2x1＋1)－a＋eq\f(2,2x2＋1)＝eq\f(2·（2x1－2x2）,（1＋2x1）（1＋2x2）).∵y＝2x在R上单调递增且x1<x2，∴0<2x1<2x2，∴2x1－2x2<0，2x1＋1>0，2x2＋1>0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上单调递增.(3)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a－eq\f(2,2－x＋1)＝－a＋eq\f(2,2x＋1)，解得a＝1，∴f(ax)<f(2)，即为f(x)<f(2).又∵f(x)在R上单调递增，∴x<2.∴x的取值范围是(－∞，2).12.(2022·郴州质量检测)已知a＝4ln3π，b＝3ln4π，c＝4lnπ3，则a，b，c的大小关系是()A.c＜b＜a B.b＜c＜aC.b＜a＜c D.a＜b＜c答案B解析对于a，b：a＝4ln3π＝ln34π＝πln81，b＝3ln4π＝ln43π＝πln64，显然a＞b；对于a，c：构造函数f(x)＝eq\f(lnx,x)，则f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)在(0，e)上单调递增，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)在(e，＋∞)上单调递减.∵π＞3＞e，∴f(π)＜f(3)，即eq\f(lnπ,π)＜eq\f(ln3,3)，∴3lnπ＜πln3，∴lnπ3＜ln3π，∴a＞c；对于b，c：b＝3ln4π，c＝4lnπ3＝3lnπ4，∵eq\f(lnπ,π)＞eq\f(ln4,4)，∴4lnπ＞πln4，ln4π＜lnπ4，∴c＞b，∴a＞c＞b.13.(2022·湖州模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex－e－x，x＞0，,－x2，x≤0，))若a＝50.01，b＝eq\f(3,2)log32，c＝log30.9，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为________.答案f(c)＜f(b)＜f(a)解析当x＞0时，f(x)＝ex－e－x单调递增，且f(0)＝0；当x≤0时，f(x)＝－x2单调递增，且f(0)＝0，所以函数f(x)在R上单调递增.因为a＝50.01＞1，0＜b＝log32eq\r(2)＜1，c＝log30.9＜0，所以a＞b＞c，所以f(a)＞f(b)＞f(c).14.已知函数f(x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,x)－2))(a>0，且a≠1).(1)求函数f(x)的定义域；(2)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围.解(1)由x＋eq\f(a,x)－2＞0，得eq\f(x2－2x＋a,x)＞0，当a＞1时，x2－2x＋a＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)，当0＜a＜1时，定义域为{x|0＜x＜1－eq\r(1－a)或x＞1＋eq\r(1－a)}.(2)设g(x)＝x＋eq\f(a,x)－2，当a∈(1，4)，x∈[2，＋∞)时，g′(x)＝1－eq\f(a,x2)＝eq\f(x2－a,x2)>0，因此g(x)在[2，＋∞)上是增函数，∴f(x)在[2，＋∞)上是增函数，则f(x)min＝f(2)＝lgeq\f(a,2).(3)对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)>0.即x＋eq\f(a,x)－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立.∴a>3x－x2.令h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞).由于h(x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(9,4)在[2，＋∞)上是减函数，∴h(x)max＝h(2)＝2.故a>2时，恒有f(x)>0.故a的取值范围为(2，＋∞).

第3节奇偶性、对称性与周期性考试要求1.理解函数奇偶性的含义.2.了解函数的最小正周期的含义.3.会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题.1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.1.函数周期性的常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，则T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，则T＝2a(a>0).2.对称性的四个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.(3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝eq\f(a＋b,2)对称；特别地，当a＝b时，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.特别地，当b＝0时，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)上是偶函数.()(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.()(3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.()(4)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，0))对称.()答案(1)×(2)×(3)√(4)√解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错误.(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，且在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错误.2.(多选)下列函数中为偶函数的是()A.y＝x2sinx B.y＝x2cosxC.y＝ln|x| D.y＝2－x答案BC解析根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)，且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项为偶函数；D选项既不是奇函数，也不是偶函数.3.(2021·全国甲卷)设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x).若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝eq\f(1,3)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))＝()A.－eq\f(5,3) B.－eq\f(1,3) C.eq\f(1,3) D.eq\f(5,3)答案C解析因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x).又f(1＋x)＝f(－x)，所以f(2＋x)＝f[1＋(1＋x)]＝f[－(1＋x)]＝－f(1＋x)＝－f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是以2为周期的周期函数，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)－2))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝eq\f(1,3).4.设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集是________.答案(－2，0)∪(2，5]解析由图象知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0，又f(x)是奇函数，∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0，当－5≤x＜－2时，f(x)＞0.综上，f(x)＜0的解集为(－2，0)∪(2，5].5.已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－3)＝________.答案－7解析因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，故f(x)＝2x－1(x≥0)，则f(－3)＝－f(3)＝－(23－1)＝－7.6.设f(x)是定义在R上