高考数学一轮复习讲义（教师版）第一章集合与常用逻辑用语、不等式

§1.1集合考试要求1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．知识梳理1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2.集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)．(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算表示运算集合语言图形语言记法并集{x|x∈A，或x∈B}A∪B交集{x|x∈A，且x∈B}A∩B补集{x|x∈U，且x∉A}∁UA常用结论1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．2．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}．(×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.(×)(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B)．(√)教材改编题1．(2022·新高考全国Ⅱ)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B等于()A．{－1,2} B．{1,2}C．{1,4} D．{－1,4}答案B解析由|x－1|≤1，得－1≤x－1≤1，解得0≤x≤2，所以B＝{x|0≤x≤2}，所以A∩B＝{1,2}，故选B.2．下列集合与集合A＝{2022,1}相等的是()A．(1,2022)B．{(x，y)|x＝2022，y＝1}C．{x|x2－2023x＋2022＝0}D．{(2022,1)}答案C解析(1,2022)表示一个点，不是集合，A不符合题意；集合{(x，y)|x＝2022，y＝1}的元素是点，与集合A不相等，B不符合题意；{x|x2－2023x＋2022＝0}＝{2022,1}＝A，故C符合题意；集合{(2022,1)}的元素是点，与集合A不相等，D不符合题意．3．设全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}，则A∪B＝________，∁U(A∩B)＝________.答案{x|x≥－1}{x|x<2或x≥3}解析因为A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}＝{x|x≥2}，所以A∪B＝{x|x≥－1}，A∩B＝{x|2≤x<3}，∁U(A∩B)＝{x|x<2或x≥3}.题型一集合的含义与表示例1(1)(2022·衡水模拟)设集合A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则集合A∩B的元素个数为()A．0B．1C．2D．3答案C解析如图，函数y＝x与y＝x2的图象有两个交点，故集合A∩B有两个元素．(2)已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，则实数a的值为()A．1 B．1或0C．0 D．－1或0答案C解析∵－1∈A，若a－2＝－1，即a＝1时，A＝{1，－1，－1}，不符合集合元素的互异性；若a2－a－1＝－1，即a＝1(舍去)或a＝0时，A＝{1，－2，－1}，故a＝0.思维升华解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．跟踪训练1(1)(多选)若集合M＝{x|x－2<0，x∈N}，则下列四个命题中，错误的命题是()A．0∉M B．{0}∈MC．{1}⊆M D．1⊆M答案ABD解析对于A，因为M＝{x|x－2<0，x∈N}，所以0∈M，所以A错误；对于B，因为{0}是集合，且0∈M，所以{0}⊆M，所以B错误；对于C，因为1∈M，所以{1}⊆M，所以C正确；对于D，因为1是元素，1∈M，所以D错误．(2)(2023·聊城模拟)已知集合A＝{0,1,2}，B＝{ab|a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数为()A．2B．3C．4D．5答案C解析因为A＝{0,1,2}，a∈A，b∈A，所以ab＝0或ab＝1或ab＝2或ab＝4，故B＝{ab|a∈A，b∈A}＝{0,1,2,4}，即集合B中含有4个元素．题型二集合间的基本关系例2(1)(2022·宜春质检)已知集合A＝{x|y＝ln(x－2)}，B＝{x|x≥－3}，则下列结论正确的是()A．A＝B B．A∩B＝∅C．AB D．B⊆A答案C解析由题设，可得A＝{x|x>2}，又B＝{x|x≥－3}，所以A是B的真子集，故A，B，D错误，C正确．(2)设集合A＝{x|－1≤x＋1≤2}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，当x∈Z时，集合A的真子集有________个；当B⊆A时，实数m的取值范围是________．答案15(－∞，－2)∪[－1,0]解析A＝{x|－2≤x≤1}，若x∈Z，则A＝{－2，－1,0,1}，故集合A的真子集有24－1＝15(个)．由B⊆A，得①若B＝∅，则2m＋1<m－1，即m<－2，②若B≠∅，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋1≥m－1，,2m＋1≤1，,m－1≥－2，))解得－1≤m≤0，综上，实数m的取值范围是(－∞，－2)∪[－1,0]．思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．跟踪训练2(1)(多选)已知非空集合M满足：①M⊆{－2，－1,1,2,3,4}，②若x∈M，则x2∈M.则集合M可能是()A．{－1,1} B．{－1,1,2,4}C．{1} D．{1，－2,2}答案AC解析由题意可知3∉M且4∉M，而－2或2与4同时出现，所以－2∉M且2∉M，所以满足条件的非空集合M有{－1,1}，{1}．(2)函数f(x)＝eq\r(x2－2x－3)的定义域为A，集合B＝{x|－a≤x≤4－a}，若B⊆A，则实数a的取值范围是________________．答案(－∞，－3]∪[5，＋∞)解析由x2－2x－3≥0，得x≥3或x≤－1，即A＝{x|x≥3或x≤－1}．∵B⊆A，显然B≠∅，∴4－a≤－1或－a≥3，解得a≥5或a≤－3，故实数a的取值范围是(－∞，－3]∪[5，＋∞)．题型三集合的基本运算命题点1集合的运算例3(1)(2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T等于()A．∅B．SC．TD．Z答案C解析方法一在集合T中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T⊆S，所以S∩T＝T.方法二S＝{…，－3，－1,1,3,5，…}，T＝{…，－3,1,5，…}，观察可知，T⊆S，所以S∩T＝T.(2)设全集U＝R，A＝{x|－2≤x<4}，B＝{x|y＝eq\r(x＋2)}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x|x≤－2} B．{x|x>－2}C．{x|x≥4} D．{x|x≤4}答案C解析观察Venn图，可知阴影部分的元素由属于B而不属于A的元素构成，所以阴影部分表示的集合为(∁UA)∩B.∵A＝{x|－2≤x<4}，U＝R，∴∁UA＝{x|x<－2或x≥4}，又B＝{x|y＝eq\r(x＋2)}⇒B＝{x|x≥－2}，∴(∁UA)∩B＝{x|x≥4}．命题点2利用集合的运算求参数的值(范围)例4(2023·衡水模拟)已知集合A＝{x|y＝ln(1－x2)}，B＝{x|x≤a}，若(∁RA)∪B＝R，则实数a的取值范围为()A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，1]答案B解析由题可知A＝{x|y＝ln(1－x2)}＝{x|－1<x<1}，∁RA＝{x|x≤－1或x≥1}，所以由(∁RA)∪B＝R，得a≥1.思维升华对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．跟踪训练3(1)(2022·全国甲卷)设全集U＝{－2，－1，0,1,2,3}，集合A＝{－1,2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，则∁U(A∪B)等于()A．{1,3} B．{0,3}C．{－2,1} D．{－2,0}答案D解析由题意得集合B＝{1,3}，所以A∪B＝{－1,1,2,3}，所以∁U(A∪B)＝{－2,0}．故选D.(2)(2023·驻马店模拟)已知集合A＝{x|(x－1)(x－4)<0}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝{x|x>1}，则a的取值范围是()A．[1,4) B．(1,4)C．[4，＋∞) D．(4，＋∞)答案A解析由题意可得A＝{x|1<x<4}．因为A∪B＝{x|x>1}，所以1≤a<4.题型四集合的新定义问题例5(1)(多选)当一个非空数集F满足条件“若a，b∈F，则a＋b，a－b，ab∈F，且当b≠0时，eq\f(a,b)∈F”时，称F为一个数域，以下说法正确的是()A．0是任何数域的元素B．若数域F有非零元素，则2023∈FC．集合P＝{x|x＝3k，k∈Z}为数域D．有理数集为数域答案ABD解析对于A，若a∈F，则a－a＝0∈F，故A正确；对于B，若a∈F且a≠0，则1＝eq\f(a,a)∈F，2＝1＋1∈F，3＝1＋2∈F，依此类推，可得2023∈F，故B正确；对于C，P＝{x|x＝3k，k∈Z},3∈P,6∈P，但eq\f(3,6)∉P，故P不是数域，故C错误；对于D，若a，b是两个有理数，则a＋b，a－b，ab，eq\f(a,b)(b≠0)都是有理数，所以有理数集是数域，故D正确．(2)已知集合M＝{1,2,3,4}，A⊆M，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.设集合A的累积值为n.①若n＝3，则这样的集合A共有________个；②若n为偶数，则这样的集合A共有________个．答案213解析①若n＝3，据“累积值”的定义得A＝{3}或A＝{1,3}，这样的集合A共有2个；②因为集合M的子集共有24＝16(个)，其中“累积值”为奇数的子集为{1}，{3}，{1,3}，共3个，所以“累积值”为偶数的集合共有13个．思维升华解决集合新定义问题的关键解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．跟踪训练4设集合U＝{2,3,4}，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大．最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依此类推．若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第6位的子集是________．答案{2,4}解析根据题意，将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列为：∅，{2}，{3}，{4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{2,3,4}．故排在第6位的子集为{2,4}．课时精练1．(2022·全国乙卷)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M满足∁UM＝{1,3}，则()A．2∈M B．3∈MC．4∉M D．5∉M答案A解析由题意知M＝{2,4,5}，故选A.2．设集合A＝{x∈N*|2x<4}，B＝{x∈N|－1<x<2}，则A∪B等于()A．{x|－1<x<2} B．{x|x<2}C．{0,1} D．{1}答案C解析由2x<4可得x<2，则A＝{x∈N*|2x<4}＝{1}，B＝{x∈N|－1<x<2}＝{0,1}，所以A∪B＝{0,1}．3．(2022·娄底质检)集合M＝{(x，y)|2x－y＝0}，N＝{(x，y)|x＋y－3＝0}，则M∩N等于()A．{(2，－1)} B．{2，－1}C．{(1,2)} D．{1,2}答案C解析联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝0，,x＋y－3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))则M∩N＝{(1,2)}．4．(2023·南京模拟)已知集合A＝{x|x2－6x－7<0}，B＝{y|y＝3x，x<1}，则A∩(∁RB)等于()A．[3,7) B．(－1,0]∪[3,7)C．[7，＋∞) D．(－∞，－1)∪[7，＋∞)答案B解析A＝{x|x2－6x－7<0}＝(－1,7)，B＝{y|y＝3x，x<1}＝(0,3)，所以∁RB＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，所以A∩(∁RB)＝(－1,0]∪[3,7)．5．(2022·海南模拟)已知集合A＝{x|x2≤1}，集合B＝{x|x∈Z且x＋1∈A}，则B等于()A．{－1,0,1} B．{－2，－1,0}C．{－2，－1,0,1} D．{－2，－1,0,1,2}答案B解析因为集合A＝{x|x2≤1}，所以A＝{x|－1≤x≤1}，在集合B中，由x＋1∈A，得－1≤x＋1≤1，即－2≤x≤0，又x∈Z，所以x＝－2，－1,0，即B＝{－2，－1,0}．6．(2022·怀仁模拟)已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x>m}，若A∩(∁RB)＝∅，则实数m的取值范围为()A．(－∞，1] B．(－∞，1)C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)答案A解析由题知A∩(∁RB)＝∅，得A⊆B，则m≤1.7．(多选)已知集合A＝{1,3，m2}，B＝{1，m}．若A∪B＝A，则实数m的值为()A．0B．1C．2D．3答案AD解析因为A∪B＝A，所以B⊆A.因为A＝{1,3，m2}，B＝{1，m}，所以m2＝m或m＝3，解得m＝0或m＝1或m＝3.当m＝0时，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，符合题意；当m＝1时，集合A、集合B均不满足集合元素的互异性，不符合题意；当m＝3时，A＝{1,3,9}，B＝{1,3}，符合题意．综上，m＝0或3.8．(多选)已知全集U的两个非空真子集A，B满足(∁UA)∪B＝B，则下列关系一定正确的是()A．A∩B＝∅ B．A∩B＝BC．A∪B＝U D．(∁UB)∪A＝A答案CD解析令U＝{1,2,3,4}，A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，满足(∁UA)∪B＝B，但A∩B≠∅，A∩B≠B，故A，B均不正确；由(∁UA)∪B＝B，知∁UA⊆B，∴U＝A∪(∁UA)⊆(A∪B)，∴A∪B＝U，由∁UA⊆B，知∁UB⊆A，∴(∁UB)∪A＝A，故C，D均正确．9．(2023·金华模拟)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,3,5}，T＝{2,3,6}，则S∩(∁UT)＝________，集合S共有________个子集．答案{1,5}8解析由题意可得∁UT＝{1,4,5}，则S∩(∁UT)＝{1,5}．集合S的子集有23个，即8个．10.(2023·石家庄模拟)已知全集U＝R，集合M＝{x∈Z||x－1|<3}，N＝{－4，－2,0,1,5}，则Venn图中阴影部分的集合为________．答案{－1,2,3}解析集合M＝{x∈Z||x－1|<3}＝{x∈Z|－3<x－1<3}＝{x∈Z|－2<x<4}＝{－1,0,1,2,3}，则Venn图中阴影部分表示的集合是M∩(∁RN)＝{－1,2,3}．11．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m的值可能是________．答案0，－eq\f(1,2)，eq\f(1,3)解析由x2＋x－6＝0，得x＝2或x＝－3，所以A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，因为A∪B＝A，所以B⊆A，当B＝∅时，B⊆A成立，此时方程mx＋1＝0无解，得m＝0；当B≠∅时，得m≠0，则集合B＝{x|mx＋1＝0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,m)))，因为B⊆A，所以－eq\f(1,m)＝－3或－eq\f(1,m)＝2，解得m＝eq\f(1,3)或m＝－eq\f(1,2)，综上，m＝0，m＝eq\f(1,3)或m＝－eq\f(1,2).12．已知集合A＝{x|(x＋3)(x－3)≤0}，B＝{x|2m－3≤x≤m＋1}．当m＝－1时，则A∪B＝________；若A∩B＝B，则m的取值范围为________．答案[－5,3][0,2]∪(4，＋∞)解析A＝{x|－3≤x≤3}，当m＝－1时，B＝{x|－5≤x≤0}，此时A∪B＝[－5,3]．由A∩B＝B可知B⊆A.若B＝∅，则2m－3>m＋1解得m>4；若B≠∅，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－3≤m＋1，,m＋1≤3，,2m－3≥－3，))解得0≤m≤2，综上所述，实数m的取值范围为[0,2]∪(4，＋∞)．13．(多选)已知全集U＝{x∈N|log2x<3}，A＝{1,2,3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，则集合B可能为()A．{2,3,4} B．{3,4,5}C．{4,5,6} D．{3,5,6}答案BD解析由log2x<3得0<x<23，即0<x<8，于是得全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，因为∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，则有A∩B＝{3},3∈B，C不正确；若B＝{2,3,4}，则A∩B＝{2,3}，∁U(A∩B)＝{1,4,5,6,7}，矛盾，A不正确；若B＝{3,4,5}，则A∩B＝{3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，B正确；若B＝{3,5,6}，则A∩B＝{3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，D正确．14．某小区连续三天举办公益活动，第一天有190人参加，第二天有130人参加，第三天有180人参加，其中，前两天都参加的有30人，后两天都参加的有40人．第一天参加但第二天没参加活动的有________人，这三天参加活动的最少有________人．答案160290解析根据题意画出Venn图，如图所示，a表示只参加第一天的人，b表示只参加第二天的人，c表示只参加第三天的人，d表示只参加第一天与第二天的人，e表示只参加第一天与第三天的人，f表示只参加第二天与第三天的人，g表示三天都参加的人，∴要使总人数最少，则令g最大，其次d，e，f也尽量大，d＋g＝30，f＋g＝40，∴a＋e＝160，即第一天参加但第二天没参加的有160人，∴gmax＝30，d＝0，f＝10，a＋d＋g＋e＝190，∴c＋e＝140，∴emax＝140，∴c＝0，a＝20，则这三天参加活动的最少有a＋b＋c＋…＋g＝20＋90＋0＋0＋140＋10＋30＝290(人)．15．(多选)1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称“戴德金分割”)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是()A．M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x>0}满足戴德金分割B．M没有最大元素，N有一个最小元素C．M有一个最大元素，N有一个最小元素D．M没有最大元素，N也没有最小元素答案BD解析对于选项A，因为M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x>0}，M∪N＝{x∈Q|x≠0}≠Q，故A错误；对于选项B，设M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x≥0}，满足戴德金分割，则M没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；对于选项C，若M有一个最大元素m，N有一个最小元素n，若m≠n，一定存在k∈(m，n)使M∪N＝Q不成立；若m＝n，则M∩N＝∅不成立，故C错误；对于选项D，设M＝{x∈Q|x<eq\r(2)}，N＝{x∈Q|x≥eq\r(2)}，满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确．16．我们将b－a称为集合{x|a≤x≤b}的“长度”．若集合M＝{x|m≤x≤m＋2022}，N＝{x|n－2023≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤2024}的子集，则集合M∩N的“长度”的最小值为________．答案2021解析由题意得，M的“长度”为2022，N的“长度”为2023，要使M∩N的“长度”最小，则M，N分别在{x|0≤x≤2024}的两端．当m＝0，n＝2024时，得M＝{x|0≤x≤2022}，N＝{x|1≤x≤2024}，则M∩N＝{x|1≤x≤2022}，此时集合M∩N的“长度”为2022－1＝2021；当m＝2，n＝2023时，M＝{x|2≤x≤2024}，N＝{x|0≤x≤2023}，则M∩N＝{x|2≤x≤2023}，此时集合M∩N的“长度”为2023－2＝2021.故M∩N的“长度”的最小值为2021.

§1.2常用逻辑用语考试要求1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定．知识梳理1．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p2．全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．3．全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，綈p(x)∀x∈M，綈p(x)常用结论1．充分、必要条件与对应集合之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．(1)若p是q的充分条件，则A⊆B；(2)若p是q的充分不必要条件，则AB；(3)若p是q的必要不充分条件，则BA；(4)若p是q的充要条件，则A＝B.2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．3．命题p与p的否定的真假性相反．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．(√)(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题．(√)(3)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.(√)(4)命题“∃x∈R，sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝eq\f(1,2)”是真命题．(×)教材改编题1．命题“∀x∈R，ex－1≥x”的否定是()A．∃x∈R，ex－1≥x B．∀x∈R，ex－1≤xC．∃x∈R，ex－1<x D．∀x∈R，ex－1<x答案C解析由题意得命题“∀x∈R，ex－1≥x”的否定是“∃x∈R，ex－1<x”．2．(多选)下列命题中为真命题的是()A．∀x∈R，x2>0 B．∀x∈R，－1≤sinx≤1C．∃x∈R，2x<0 D．∃x∈R，tanx＝2答案BD解析当x＝0时，x2＝0，所以A选项错误；当x∈R时，－1≤sinx≤1，所以B选项正确；因为2x>0，所以C选项错误；因为函数y＝tanx∈R，所以D选项正确．3．若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是________．答案(3，＋∞)解析因为“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，所以(m，＋∞)是(3，＋∞)的真子集，由图可知m>3.题型一充分、必要条件的判定例1(1)(2023·淮北模拟)“a>b>0”是“eq\f(a,b)>1”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由a>b>0，得eq\f(a,b)>1，反之不成立，如a＝－2，b＝－1，满足eq\f(a,b)>1，但是不满足a>b>0，故“a>b>0”是“eq\f(a,b)>1”的充分不必要条件．(2)(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则()A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案B解析当a1<0，q>1时，an＝a1qn－1<0，此时数列{Sn}单调递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{Sn}单调递增时，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn>0，若a1>0，则qn>0(n∈N*)，即q>0；若a1<0，则qn<0(n∈N*)，不存在．所以甲是乙的必要条件．思维升华充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．跟踪训练1(1)(2022·长春模拟)“a·b＝|a||b|”是“a与b共线”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|，所以cos〈a，b〉＝1，因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝0，所以a与b共线，当a与b共线时，〈a，b〉＝0或〈a，b〉＝π，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|或a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－|a||b|，所以“a·b＝|a||b|”是“a与b共线”的充分不必要条件．(2)(多选)已知幂函数f(x)＝(4m－1)xm，则下列选项中，能使得f(a)>f(b)成立的一个充分不必要条件是()A．0<eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B．a2>b2C．lna>lnb D．2a>2b答案AC解析由题设知4m－1＝1，可得m＝eq\f(1,2)，故f(x)＝eq\r(x)，所以，要使f(a)>f(b)，则eq\r(a)>eq\r(b)，即a>b≥0.0<eq\f(1,a)<eq\f(1,b)⇔a>b>0，A符合题意；lna>lnb⇔a>b>0，C符合题意；B，D选项中a，b均有可能为负数，B，D不符合题意．题型二充分、必要条件的应用例2在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分条件；③“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题．问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}．(1)当a＝2时，求A∩B；(2)若________，求实数a的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解(1)由(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，所以B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}＝{x|－1<x<3}，当a＝2时，A＝{x|2≤x≤4}，所以A∩B＝{x|2≤x<3}．(2)若选①A∪B＝B，则A⊆B，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>－1，,a＋2<3，))解得－1<a<1，即a∈(－1,1)；若选②“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>－1，,a＋2<3，))解得－1<a<1，即a∈(－1,1)；若选③“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件，则A⊆B，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>－1，,a＋2<3，))解得－1<a<1，即a∈(－1,1)．思维升华求参数问题的解题策略(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练2(2023·宜昌模拟)已知集合A＝{x|－2<x≤3}，B＝{x|x2－2mx＋m2－1<0}．(1)若m＝2，求集合A∩B；(2)已知p：x∈A，q：x∈B，是否存在实数m，使p是q的必要不充分条件，若存在实数m，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．解(1)由m＝2及x2－2mx＋m2－1<0，得x2－4x＋3<0，解得1<x<3，所以B＝{x|1<x<3}，又A＝{x|－2<x≤3}，所以A∩B＝{x|1<x<3}．(2)由x2－2mx＋m2－1<0，得[x－(m－1)][x－(m＋1)]<0，所以m－1<x<m＋1，所以B＝{x|m－1<x<m＋1}．由p是q的必要不充分条件，得集合B是集合A的真子集，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≥－2，,m＋1≤3))⇒－1≤m≤2(两端等号不会同时取得)，所以m的取值范围为[－1,2]．题型三全称量词与存在量词命题点1含量词命题的否定例3(2022·漳州模拟)命题“∀a∈R，x2－ax＋1＝0有实数解”的否定是()A．∀a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解B．∃a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解C．∀a∈R，x2－ax＋1≠0有实数解D．∃a∈R，x2－ax＋1≠0有实数解答案B解析因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“∀a∈R，x2－ax＋1＝0有实数解”的否定是“∃a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解”．命题点2含量词命题真假的判断例4(多选)(2023·沈阳模拟)下列命题中为真命题的是()A．∃x∈R，eq\f(1,2x)≤1B．对于∀x∈R，n∈N*且n>1，都有eq\r(n,xn)＝xC．∀x∈R，ln(x－1)2≥0D．∃x∈R，lnx≥x－1答案AD解析当x≥0时，0<eq\f(1,2x)≤1，故A项是真命题；当n为偶数，且x<0时，eq\r(n,xn)＝－x，故B项是假命题；当x＝1时，ln(x－1)2无意义，故C项是假命题；当x＝1时，lnx≥x－1，故D项是真命题．命题点3含量词命题的应用例5若“∃x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，sinx<m”是假命题，则实数m的最大值为()A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D．－eq\f(\r(3),2)答案D解析因为“∃x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，sinx<m”是假命题，所以“∀x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，m≤sinx”是真命题，即m≤sinx对于∀x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))恒成立，所以m≤(sinx)min，因为y＝sinx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))上单调递增，所以x＝－eq\f(π,3)时，y＝sinx最小，其最小值为y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝－sin

eq\f(π,3)＝－eq\f(\r(3),2)，所以m≤－eq\f(\r(3),2)，所以实数m的最大值为－eq\f(\r(3),2).思维升华含量词命题的解题策略(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围．跟踪训练3(1)已知命题p：∃n∈N，n2≥2n＋5，则綈p为()A．∀n∈N，n2≥2n＋5B．∃n∈N，n2≤2n＋5C．∀n∈N，n2<2n＋5D．∃n∈N，n2＝2n＋5答案C解析由存在量词命题的否定可知，綈p为∀n∈N，n2<2n＋5.所以C正确，A，B，D错误．(2)(多选)下列命题是真命题的是()A．∀x∈R，－x2－1<0B．∀n∈Z，∃m∈Z，nm＝mC．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径D．存在实数x，使得eq\f(1,x2－2x＋3)＝eq\f(3,4)答案ABC解析∀x∈R，－x2≤0，所以－x2－1<0，故A项是真命题；当m＝0时，nm＝m恒成立，故B项是真命题；任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C项是真命题；因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，所以eq\f(1,x2－2x＋3)≤eq\f(1,2)<eq\f(3,4)，故D项是假命题．(3)若命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”的否定是假命题，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”的否定是假命题，则命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”是真命题，即Δ＝(a－1)2－4>0，解得a>3或a<－1，故实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．课时精练1．(2023·上饶模拟)“x2>2021”是“x2>2022”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案B解析若x2>2022，因为2022>2021，故x2>2021，故“x2>2022”可以推出“x2>2021”，取x2＝2021.5，则满足x2>2021，但x2>2022不成立，所以“x2>2021”不能推出“x2>2022”，所以“x2>2021”是“x2>2022”的必要不充分条件．2．已知命题p：∃x∈Q，使得x∉N，则綈p为()A．∀x∉Q，都有x∉N B．∃x∉Q，使得x∈NC．∀x∈Q，都有x∈N D．∃x∈Q，使得x∈N答案C解析因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以由p：∃x∈Q，使得x∉N，得綈p：∀x∈Q，都有x∈N.3．已知命题：“∀x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，则实数a的取值范围是()A．a<4 B．a≤4C．a>4 D．a≥4答案B解析“∀x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，故Δ＝16－4a≥0，解得a≤4.4．(2023·武汉模拟)已知a，b是两条不重合的直线，α为一个平面，且a⊥α，则“b⊥α”是“a∥b”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案C解析当b⊥α时，结合a⊥α，可得a∥b，充分性满足；当a∥b时，结合a⊥α，可得b⊥α，必要性满足．故“b⊥α”是“a∥b”的充要条件．5．命题“∀1≤x≤2，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A．a≥4 B．a≥5C．a≤4 D．a≤5答案B解析因为命题“∀1≤x≤2，x2－a≤0”是真命题，所以∀1≤x≤2，a≥x2恒成立，所以a≥4，结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a≥5.6．(多选)下列命题是真命题的是()A．所有的素数都是奇数B．有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0C．“α＝β”是“sinα＝sinβ”成立的充分不必要条件D．命题“∃x∈R，x＋2≤0”的否定是“∀x∈R，x＋2>0”答案CD解析2是一个素数，但2是偶数，所以A是假命题；对于方程x2＋2x＋3＝0，其中Δ＝22－4×3＝－8<0，所以不存在实数，使得x2＋2x＋3＝0成立，所以B是假命题；由α＝β⇒sinα＝sinβ，但由sinα＝sinβ不能得到α＝β，故“α＝β”是“sinα＝sinβ”成立的充分不必要条件，所以C是真命题；根据全称量词命题与存在量词命题的关系，可得命题“∃x∈R，x＋2≤0”的否定是“∀x∈R，x＋2>0”，所以D是真命题．7．(多选)若“∃x∈(0,2)，使得2x2－λx＋1<0成立”是假命题，则实数λ可能的值是()A．1B．2eq\r(2)C．3D．3eq\r(2)答案AB解析由题意可知，命题“∀x∈(0,2)，2x2－λx＋1≥0成立”是真命题，所以λx≤2x2＋1，可得λ≤2x＋eq\f(1,x)，当x∈(0,2)时，由基本不等式可得2x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(2x·\f(1,x))＝2eq\r(2)，当且仅当x＝eq\f(\r(2),2)时，等号成立，所以λ≤2eq\r(2).8.南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S1，S2，则“S1，S2不总相等”是“V1，V2不相等”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案B解析命题：如果“S1，S2不总相等”，那么“V1，V2不相等”的等价命题是：如果“V1，V2相等”，那么“S1，S2总相等”．根据祖暅原理，当两个截面的面积S1，S2总相等时，这两个几何体的体积V1，V2相等，所以逆命题为真，故是必要条件；当两个三棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积相等，但截得截面面积未必相等，故是不充分条件，所以“S1，S2不总相等”是“V1，V2不相等”的必要不充分条件．9．命题“∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，sinx<cosx”的否定是________．答案∃x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，sinx≥cosx解析因为“sinx<cosx”的否定是“sinx≥cosx”，所以“∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，sinx<cosx”的否定是“∃x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，sinx≥cosx”，10．使得“2x>4x”成立的一个充分条件是________．答案x<－1(答案不唯一)解析由于4x＝22x，故2x>22x等价于x>2x，解得x<0，使得“2x>4x”成立的一个充分条件只需为集合{x|x<0}的子集即可．11．已知命题“∃x∈{x|－2<x<3}，使得等式2x－m＝0成立”是假命题，则实数m的取值范围是________．答案(－∞，－4]∪[6，＋∞)解析若原命题为真命题，则∃x∈{x|－2<x<3}，使得m＝2x成立，则－4<m<6；故若原命题为假命题，则实数m的取值范围为(－∞，－4]∪[6，＋∞)．12．已知α：x<2m－1或x>－m，β：x<2或x≥4，若α是β的必要条件，则实数m的取值范围是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))解析设A＝{x|x<2m－1或x>－m}，B＝{x|x<2或x≥4}，若α是β的必要条件，则B⊆A，当2m－1>－m，即m>eq\f(1,3)时，此时A＝R，B⊆A成立；当2m－1≤－m，即m≤eq\f(1,3)时，若B⊆A，此时eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≥2，,－m<4，))无解．综上，m>eq\f(1,3).13．(多选)若“∀x∈M，|x|>x”为真命题，“∃x∈M，x>3”为假命题，则集合M可以是()A．(－∞，－5) B．(－3，－1]C．(3，＋∞) D．[0,3]答案AB解析∵∃x∈M，x>3为假命题，∴∀x∈M，x≤3为真命题，可得M⊆(－∞，3]，又∀x∈M，|x|>x为真命题，可得M⊆(－∞，0)，∴M⊆(－∞，0)．14．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”，经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是________．答案乙解析四人供词中，乙、丁意见一致，或同真或同假．若同真，即丙偷的，而四人有两人说的是真话，则甲、丙说的是假话，甲说“罪犯在乙、丙、丁三人之中”是假话，即乙、丙、丁没偷，相互矛盾；若同假，即不是丙偷的，则甲、丙说的是真话，甲说“罪犯在乙、丙、丁三人之中”，丙说“甲、乙两人中有一人是小偷”是真话，可知罪犯是乙．15．(2022·九江模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝kan＋k，则“数列{an}为等差数列”是“k＝1”的()A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件答案B解析当k＝1时，an＋1＝an＋1，则{an}为等差数列，必要性成立；若{an}为等差数列，由a1＝1，a2＝2k，a3＝2k2＋k，有2k2＋k＋1＝4k，解得k＝1或eq\f(1,2).当k＝eq\f(1,2)时，an＋1＝eq\f(1,2)an＋eq\f(1,2)，此时an＝1，充分性不成立．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“a>b”是“A＋cosA>B＋cosB”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案C解析在△ABC中，若a>b，则根据大边对大角可得A>B.设f(x)＝x＋cosx，x∈(0，π)，则f′(x)＝1－sinx，x∈(0，π)时，sinx∈(0,1]，∴f′(x)≥0，∴f(x)在(0，π)上单调递增，∴a>b⇔A>B⇔f(A)>f(B)⇔A＋cosA>B＋cosB.

§1.3等式性质与不等式性质考试要求1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．知识梳理1．两个实数比较大小的方法作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0⇔a>b，,a－b＝0⇔a＝b，,a－b<0⇔a<b.))(a，b∈R)2．等式的性质性质1对称性：如果a＝b，那么b＝a；性质2传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；性质5可除性：如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).3．不等式的性质性质1对称性：a>b⇔b<a；性质2传递性：a>b，b>c⇒a>c；性质3可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；性质4可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；性质5同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；性质6同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；性质7同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．常用结论1．若ab>0，且a>b⇔eq\f(1,a)<eq\f(1,b).2．若a>b>0，m>0⇒eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；若b>a>0，m>0⇒eq\f(b,a)>eq\f(b＋m,a＋m).思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(√)(2)若eq\f(b,a)>1，则b>a.(×)(3)若x>y，则x2>y2.(×)(4)若eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，则b<a.(×)教材改编题1．如果ac>bc，那么下列不等式中，一定成立的是()A．ac2>bc2 B．a>bC．a＋c>b＋c D.eq\f(a,c)>eq\f(b,c)答案D解析若c<0，则a<b，所以ac2<bc2，a＋c<b＋c，A，B，C均错；因为ac>bc，则c2>0，因为ac>bc，则eq\f(ac,c2)>eq\f(bc,c2)，即eq\f(a,c)>eq\f(b,c)，故D正确．2．已知M＝x2－3x，N＝－3x2＋x－3，则M，N的大小关系是________．答案M>N解析∵M－N＝(x2－3x)－(－3x2＋x－3)＝4x2－4x＋3＝(2x－1)2＋2>0，∴M>N.3．若1<a<2,2<b<3，则eq\f(a,b)的取值范围是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))解析由2<b<3，得eq\f(1,3)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2)，又1<a<2，∴1×eq\f(1,3)<a×eq\f(1,b)<2×eq\f(1,2)，即eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<1.题型一数(式)的大小比较例1(1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，则M，N的大小关系为()A．M<N B．M>NC．M≤N D．M≥N答案B解析因为M－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋4>0，所以M>N.(2)若a>b>1，P＝aeb，Q＝bea，则P，Q的大小关系是()A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．不能确定答案C解析P，Q作商可得eq\f(P,Q)＝eq\f(aeb,bea)＝eq\f(\f(eb,b),\f(ea,a))，令f(x)＝eq\f(ex,x)，则f′(x)＝eq\f(exx－1,x2)，当x>1时，f′(x)>0，所以f(x)＝eq\f(ex,x)在(1，＋∞)上单调递增，因为a>b>1，所以eq\f(eb,b)<eq\f(ea,a)，又eq\f(eb,b)>0，eq\f(ea,a)>0，所以eq\f(P,Q)＝eq\f(\f(eb,b),\f(ea,a))<1，所以P<Q.思维升华比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．跟踪训练1(1)已知a，b为不相等的实数，记M＝a2－ab，N＝ab－b2，则M与N的大小关系为()A．M>N B．M＝NC．M<N D．不确定答案A解析因为M－N＝(a2－ab)－(ab－b2)＝(a－b)2，又a≠b，所以(a－b)2>0，即M>N.(2)已知M＝eq\f(e2021＋1,e2022＋1)，N＝eq\f(e2022＋1,e2023＋1)，则M，N的大小关系为________．答案M>N解析方法一M－N＝eq\f(e2021＋1,e2022＋1)－eq\f(e2022＋1,e2023＋1)＝eq\f(e2021＋1e2023＋1－e2022＋12,e2022＋1e2023＋1)＝eq\f(e2021＋e2023－2e2022,e2022＋1e2023＋1)＝eq\f(e2021e－12,e2022＋1e2023＋1)>0.∴M>N.方法二令f(x)＝eq\f(ex＋1,ex＋1＋1)＝eq\f(\f(1,e)ex＋1＋1＋1－\f(1,e),ex＋1＋1)＝eq\f(1,e)＋eq\f(1－\f(1,e),ex＋1＋1)，显然f(x)是R上的减函数，∴f(2021)>f(2022)，即M>N.题型二不等式的性质例2(1)已知a>b>c>0，下列结论正确的是()A．2a<b＋c B．a(b－c)>b(a－c)C.eq\f(1,a－c)>eq\f(1,b－c) D．(a－c)3>(b－c)3答案D解析∵a>b>c>0，∴2a>b＋c，故A错误；取a＝3>b＝2>c＝1>0，则a(b－c)＝3<b(a－c)＝4，故B错误；由a>b>c>0可知，a－c>b－c>0，∴eq\f(1,a－c)<eq\f(1,b－c)，(a－c)3>(b－c)3，故C错误，D正确．(2)(多选)若a>0>b>－a，c<d<0，则下列结论正确的是()A．ad>bc B.eq\f(a,d)＋eq\f(b,c)<0C．a－c>b－d D．a(d－c)>b(d－c)答案BCD解析因为a>0>b，c<d<0，所以ad<0，bc>0，所以ad<bc，故A错误；因为0>b>－a，所以a>－b>0，因为c<d<0，所以－c>－d>0，所以a(－c)>(－b)(－d)，所以ac＋bd<0，cd>0，所以eq\f(ac＋bd,cd)＝eq\f(a,d)＋eq\f(b,c)<0，故B正确；因为c<d，所以－c>－d，因为a>b，所以a＋(－c)>b＋(－d)，即a－c>b－d，故C正确；因为a>0>b，d－c>0，所以a(d－c)>b(d－c)，故D正确．思维升华判断不等式的常用方法(1)利用不等式的性质逐个验证．(2)利用特殊值法排除错误选项．(3)作差法．(4)构造函数，利用函数的单调性．跟踪训练2(1)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是()A．若a>b，则ac2>bc2B．若eq\f(a,c2)>eq\f(b,c2)，则a<bC．若a<b<c<0，则eq\f(b,a)<eq\f(b＋c,a＋c)D．若a>b，则a2>b2答案C解析对于A选项，当c＝0时不满足，故错误；对于B选项，由不等式性质知，eq\f(a,c2)>eq\f(b,c2)两边同时乘以c2>0，可得a>b，故错误；对于C选项，若a<b<c<0，则a＋c<0，b－a>0，(b－a)c<0，a(a＋c)>0，故eq\f(b,a)－eq\f(b＋c,a＋c)＝eq\f(ba＋c－ab＋c,aa＋c)＝eq\f(b－ac,aa＋c)<0，即eq\f(b,a)<eq\f(b＋c,a＋c)，故正确；对于D选项，取a＝－1，b＝－2，可得a2<b2，故错误．(2)(多选)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则下列不等式正确的是()A.eq\f(1,a＋b)<eq\f(1,ab) B．|a|＋b>0C．a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b) D．lna2>lnb2答案AC解析由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，可知b<a<0.A中，因为a＋b<0，ab>0，所以eq\f(1,a＋b)<0，eq\f(1,ab)>0.则eq\f(1,a＋b)<eq\f(1,ab)，故A正确；B中，因为b<a<0，所以－b>－a>0.故－b>|a|，即|a|＋b<0，故B错误；C中，因为b<a<0，又eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则－eq\f(1,a)>－eq\f(1,b)>0，所以a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b)，故C正确；D中，因为b<a<0，根据y＝x2在(－∞，0)上单调递减，可得b2>a2>0，而y＝lnx在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以lnb2>lna2，故D错误．题型三不等式性质的综合应用例3(1)已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是__________，3x＋2y的取值范围是________．答案(－4,2)(1,18)解析∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2.由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6，∴1<3x＋2y<18.延伸探究若将本例(1)中条件改为－1<x＋y<4,2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围．解设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝3，,m－n＝2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,2)，,n＝\f(1,2).))即3x＋2y＝eq\f(5,2)(x＋y)＋eq\f(1,2)(x－y)，又∵－1<x＋y<4,2<x－y<3，∴－eq\f(5,2)<eq\f(5,2)(x＋y)<10,1<eq\f(1,2)(x－y)<eq\f(3,2)，∴－eq\f(3,2)<eq\f(5,2)(x＋y)＋eq\f(1,2)(x－y)<eq\f(23,2)，即－eq\f(3,2)<3x＋2y<eq\f(23,2)，∴3x＋2y的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(23,2))).(2)已知3<a<8,4<b<9，则eq\f(a,b)的取值范围是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，2))解析∵4<b<9，∴eq\f(1,9)<eq\f(1,b)<eq\f(1,4)，又3<a<8，∴eq\f(1,9)×3<eq\f(a,b)<eq\f(1,4)×8，即eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<2.思维升华求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．跟踪训练3(1)已知1≤a≤2，－1≤b≤4，则a－2b的取值范围是()A．[－7,4]B．[－6,9]C．[6,9]D．[－2,8]答案A解析因为－1≤b≤4，所以－8≤－2b≤2，由1≤a≤2，得－7≤a－2b≤4.(2)已知实数a，b，c，满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么eq\f(c,a)的取值范围是________．答案－2<eq\f(c,a)<－eq\f(1,2)解析由于a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，b＝－a－c，－a－c<a,2a>－c，eq\f(c,a)>－2，－a－c>c，－a>2c，eq\f(c,a)<－eq\f(1,2)，所以－2<eq\f(c,a)<－eq\f(1,2).课时精练1．(2023·长春模拟)已知a>0，b>0，M＝eq\r(a＋b)，N＝eq\r(a)＋eq\r(b)，则M与N的大小关系为()A．M>NB．M<NC．M≤ND．M，N大小关系不确定答案B解析M2－N2＝(a＋b)－(a＋b＋2eq\r(ab))＝－2eq\r(ab)<0，∴M<N.2．已知a，b∈R，若a>b，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)同时成立，则()A．ab>0 B．ab<0C．a＋b>0 D．a＋b<0答案A解析因为eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，所以eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)<0，又a>b，所以b－a<0，所以ab>0.3．(多选)已知a<b<0，则下列结论正确的是()A．b2<ab B.eq\f(1,a)<eq\f(1,b)C．2a>2b D．ln(1－a)>ln(1－b)答案AD解析对于A，因为a<b<0，所以b－a>0，则b2－ab＝b(b－a)<0，即b2<ab，故选项A正确；对于B，因为a<b<0，所以ab>0，则eq\f(a,ab)<eq\f(b,ab)，即eq\f(1,b)<eq\f(1,a)，故选项B错误；对于C，因为a<b<0且函数y＝2x是增函数，所以2a<2b，故选项C错误；对于D，因为a<b<0，所以1－a>1－b>1，又因为函数y＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，所以ln(1－a)>ln(1－b)，故选项D正确．4．若－π<α<β<π，则α－β的取值范围是()A．－2π<α－β<2π B．0<α－β<2πC．－2π<α－β<0 D．{0}答案C解析∵－π<β<π，∴－π<－β<π，又－π<α<π，∴－2π<α－β<2π，又α<β，∴α－β<0，∴－2π<α－β<0.5．已知x，y∈R，且x>y>0，则()A．cosx－cosy>0B．cosx＋cosy>0C．lnx－lny>0D．lnx＋lny>0答案C解析对于A，y＝cosx在(0，＋∞)上不是单调函数，故cosx－cosy>0不一定成立，A错误；对于B，当x＝π，y＝eq\f(π,2)时，cosx＋cosy＝－1<0，B不一定成立；对于C，y＝lnx在(0，＋∞)上为增函数，若x>y>0，则lnx>lny，必有lnx－lny>0，C正确；对于D，当x＝1，y＝eq\f(1,2)时，lnx＋lny＝ln

eq\f(1,2)<0，D不一定成立．6．(多选)(2023·汕头模拟)已知a，b，c满足c<a<b，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是()A．ac(a－c)>0 B．c(b－a)<0C．cb2<ab2 D．ab>ac答案BCD解析因为a，b，c满足c<a<b，且ac<0，所以c<0，a>0，b>0，a－c>0，b－a>0，所以ac(a－c)<0，c(b－a)<0，cb2<ab2，ab>ac.7．(多选)设a，b，c，d为实数，且a>b>0>c>d，则下列不等式正确的有()A．c2<cd B．a－c<b－dC．ac<bd D.eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0答案AD解析因为a>b>0>c>d，所以a>b>0,0>c>d，对于A，因为0>c>d，由不等式的性质可得c2<cd，故选项A正确；对于B，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则a－c＝3，b－d＝3，所以a－c＝b－d，故选项B错误；对于C，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则ac＝－2，bd＝－2，所以ac＝bd，故选项C错误；对于D，因为a>b>0，d<c<0，则ad<bc，所以eq\f(c,a)>eq\f(d,b)，故eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，故选项D正确．8．(多选)(2022·沈阳模拟)已知非零实数a，b满足a>|b|＋1，则下列不等关系一定成立的是()A．a2>b2＋1 B．2a>2b＋1C．a2>4b D.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))>b＋1答案ABC解析对于非零实数a，b满足a>|b|＋1，则a2>(|b|＋1)2，即a2>b2＋2|b|＋1>b2＋1，故A一定成立；因为a>|b|＋1≥b＋1⇒2a>2b＋1，故B一定成立；又(|b|－1)2≥0，即b2＋1≥2|b|，所以a2>4|b|≥4b，故C一定成立；令a＝5，b＝3，满足a>|b|＋1，此时eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))＝eq\f(5,3)<b＋1＝4，故D不一定成立．9．已知M＝x2＋y2＋z2，N＝2x＋2y＋2z－π，则M________N．(填“>”“<”或“＝”)答案>解析M－N＝x2＋y2＋z2－2x－2y－2z＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3>0，故M>N.10．能够说明“设a，b，c是任意实数．若a2>b2>c2，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．答案－3，－1,0(答案不唯一)解析令a＝－3，b＝－1，c＝0，则a2>b2>c2，此时a＋b＝－4<0，所以a＋b>c是假命题．11．若1<α<3，－4<β<2，则2α＋|β|的取值范围是________．答案(2,10)解析∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，又1<α<3，∴2<2α<6，∴2<2α＋|β|<10.12．eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________．答案eπ·πe<ee·ππ解析eq\f(eπ·πe,ee·ππ)＝eq\f(eπ－e,ππ－e)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,π)))π－e，又0<eq\f(e,π)<1,0<π－e<1，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,π)))π－e<1，即eq\f(eπ·πe,ee·ππ)<1，即eπ·πe<ee·ππ.13．已知0<a<b<1，设m＝blna，n＝alnb，p＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lna,lnb)))，则m，n，p的大小关系为()A．m<n<p B．n<m<pC．p<m<n D．p<n<m答案A解析因为0<a<b<1，则eq\f(b,a)>1，且lna<lnb<0，即有eq\f(lna,lnb)>1，因此，lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lna,lnb)))>0，即p>0，又m<0，n<0，则eq\f(m,n)＝eq\f(blna,alnb)＝eq\f(b,a)·eq\f(lna,lnb)>1，于是得m<n<0，所以m<n<p.14．实数a，b，c，d满足下列三个条件：①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d<b＋c.那么a，b，c，d的大小关系是________．答案b>d>c>a解析由题意知d>c①，由②＋③得2a＋b＋d<2c＋b＋d，化简得a<c④，由②式a＋b＝c＋d及a<c可得到，要使②成立，必须b>d⑤成立，综合①④⑤式得到b>d>c>a.15．(多选)(2023·长沙模拟)设实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则下列不等式成立的是()A．c<b B．b≥1C．b≤a D．a<c答案BD解析∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c＝6－4a＋3a2，,c－b＝4－4a＋a2，))两式相减得2b＝2a2＋2，即b＝a2＋1，∴b≥1.又b－a＝a2＋1－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，∴b>a.而c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b，从而c≥b>a.16．(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则()A．a＞0＞b B．a＞b＞0C．b＞a＞0 D．b＞0＞a答案A解析∵9m＝10，∴m∈(1,2)，令f(x)＝xm－(x＋1)，x∈(1，＋∞)，∴f′(x)＝mxm－1－1，∵x>1且1<m<2，∴xm－1>1，∴f′(x)>0，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，又9m＝10，∴9m－10＝0，即f(9)＝0，又a＝f(1