七 空间中直线、平面的垂直

PAGE17-七空间中直线、平面的垂直(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1．(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－1，－4)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(4，2，0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1，2，－1)，则()A．AP⊥ABB．AP⊥ADC．eq\o(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量D．eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(BD,\s\up6(→))【解析】选ABC.由eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－1，－4)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(4，2，0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1，2，－1)，在A中，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－2－2＋4＝0，所以eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，所以AP⊥AB，所以是正确的；在B中，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝－4＋4＋0＝0，所以eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(AD,\s\up6(→))，所以AP⊥AD，所以是正确的；在C中，由于AP⊥AB，AP⊥AD，且AB∩AD＝A，可知eq\o(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量，所以是正确的；在D中，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，3，4)，假设存在实数λ使得eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＝2λ，,2＝3λ，,－1＝4λ，))此时无解，所以是不正确的．2．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2，－2))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，3，2))，则l1与l2的位置关系是()A．l1⊥l2 B．l1∥l2C．l1，l2相交不垂直 D．不能确定【解析】选A．由题意，直线l1，l2的方向向量分别为a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2，－2))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，3，2))，a·b＝－2＋6－4＝0，所以l1与l2的位置关系是l1⊥l2.3．给出以下命题，其中正确的是()A．直线l的方向向量为a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，2))，直线m的方向向量为b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1，－\f(1,2)))，则l与m垂直B．直线l的方向向量为a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，－1))，平面α的法向量为n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，－1))，则l⊥αC．平面α，β的法向量分别为n1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，3))，n2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，2))，则α∥βD．平面α经过三个点A(1，0，－1)，B(0，－1，0)，C(－1，2，0)，向量n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，u，t))是平面α的法向量，则u＋t＝1【解析】选A．对于A，因为a·b＝2－1－1＝0，所以a⊥b，所以l与m垂直，A正确；对于B，因为a与n不共线，所以直线l不垂直于平面α，B错误；对于C，因为n1与n2不共线，所以平面α与平面β不平行，C错误；对于D，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1，1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1，3，0)，由n·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－1－u＋t＝0，n·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－1＋3u＝0，解得u＝eq\f(1,3)，t＝eq\f(4,3)，所以u＋t＝eq\f(5,3)，D错误．4．已知三条直线l1，l2，l3的一个方向向量分别为a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－1，0))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，4，5))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，12，－9))，则()A．l1⊥l2，但l1与l3不垂直B．l1⊥l3，但l1与l2不垂直C．l2⊥l3，但l2与l1不垂直D．l1，l2，l3两两互相垂直【解析】选A．因为a·b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－1，0))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，4，5))＝4－4＋0＝0，a·c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－1，0))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，12，－9))＝－12－12＋0＝－24≠0，b·c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，4，5))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，12，－9))＝－3＋48－45＝0，所以a⊥b，a与c不垂直，b⊥c，所以l1⊥l2，l2⊥l3，但l1不垂直于l3.5．已知四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，AP＝4，过点A的平面垂直于侧棱PD，交侧棱PC于H，则点H分线段PC的比eq\f(PH,HC)等于()A．3B．4C．5D．6【解析】选B.由题意，以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(2，2，0)，P(0，0，4)，所以eq\o(PD,\s\up6(→))＝(0，2，－4)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(2，2，－4)，设eq\o(PH,\s\up6(→))＝teq\o(PC,\s\up6(→))，则eq\o(PH,\s\up6(→))＝(2t，2t，－4t)，所以eq\o(AH,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PH,\s\up6(→))＝(2t，2t，4－4t)，因为过点A的平面垂直于侧棱PD，交侧棱PC于H，所以eq\o(PD,\s\up6(→))⊥eq\o(AH,\s\up6(→))，所以(0，2，－4)·(2t，2t，4－4t)＝0，所以2×2t－4(4－4t)＝0，所以t＝eq\f(4,5)，所以点H分线段PC的比eq\f(PH,HC)＝4.6．点P为棱长是2的正方体ABCD­A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点M为B1C1的中点，若满足DP⊥BM，则动点P的轨迹的长度为()A．eq\f(\r(5)π,5) B．eq\f(2\r(5)π,5)C．eq\f(4\r(5)π,5) D．eq\f(8\r(5)π,5)【解析】选C.设B1B的中点为H，连接CH，DH，因此有CH⊥BM，而DC⊥MB，而DC，CH⊂平面CDH，DC∩CH＝C，因此有BM⊥平面DCH，所以动点P的轨迹是平面DCH与正方体ABCD­A1B1C1D1的内切球O的交线．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，所以内切球O的半径为R＝1，建立如图所示的以D为坐标原点的空间直角坐标系：因此有O(1，1，1)，C(0，2，0)，H(2，2，1)，设平面DCH的法向量为m＝(x，y，z)，所以有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m⊥\o(DC,\s\up6(→)),m⊥\o(DH,\s\up6(→))))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(DC,\s\up6(→))＝0,m·\o(DH,\s\up6(→))＝0))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2y＝0,2x＋2y＋z＝0))⇒m＝(1，0，－2)，因此O到平面DCH的距离为：d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m·\o(OD,\s\up6(→)))),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m)))＝eq\f(\r(5),5)，所以截面圆的半径为：r＝eq\r(R2－d2)＝eq\f(2\r(5),5)，因此动点P的轨迹的长度为2πr＝eq\f(4\r(5),5)π.二、填空题(每小题5分，共10分)7．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________．【解析】以A为原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，1))，eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，1))＝0，所以ON与AM垂直．答案：垂直8．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝________．【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(0，0，3a)，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)a,2)，\f(\r(2)a,2)，3a))，C(0，eq\r(2)a，0).设点E的坐标为(eq\r(2)a，0，z)，则eq\o(CE,\s\up6(→))＝(eq\r(2)a，－eq\r(2)a，z)，＝(eq\r(2)a，0，z－3a)，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)a,2)，\f(\r(2)a,2)，0))，故eq\o(CE,\s\up6(→))·＝0.故要使CE⊥平面B1DE，则需eq\o(CE,\s\up6(→))⊥，即eq\o(CE,\s\up6(→))·＝0，故2a2＋z2－3az＝0，解得z＝a或2A．答案：a或2a三、解答题(每小题10分，共20分)9．如图，四棱锥S­ABCD中底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD.【证明】因为AS＝AB且底面为正方形，所以不妨设AB＝BC＝CD＝DA＝AS＝1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则B(1，0，0)，D(0，1，0)，A(0，0，0)，S(0，0，1)，又E为SC的中点，所以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，\f(1,2))).连接AC，设AC与BD相交于点O，连接OE，则点O的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0)).因为eq\o(AS,\s\up6(→))＝(0，0，1)，eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，所以eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AS,\s\up6(→))，所以OE∥AS.又AS⊥底面ABCD，所以OE⊥平面ABCD.又OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.10．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．求证：(1)B1D⊥平面ABD；(2)平面EGF∥平面ABD.【证明】(1)依题意，以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，C1(0，2，4)，设BA＝a，则A(a，0，0)，所以eq\o(BA,\s\up6(→))＝(a，0，0)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(0，2，2)，＝(0，2，－2)，·eq\o(BA,\s\up6(→))＝0，·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0＋4－4＝0，即B1D⊥BA，B1D⊥BD.又BA∩BD＝B，BA，BD⊂平面ABD，因此B1D⊥平面ABD.(2)由(1)知，E(0，0，3)，Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，1，4))，F(0，1，4)，则eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，1，1))，eq\o(EF,\s\up6(→))＝(0，1，1)，·eq\o(EG,\s\up6(→))＝0＋2－2＝0，·eq\o(EF,\s\up6(→))＝0＋2－2＝0，即B1D⊥EG，B1D⊥EF.又EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EGF，因此B1D⊥平面EGF.结合(1)可知是平面ABD的一个法向量，所以平面EGF∥平面ABD.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分，共25分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1．如图，F是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CD的中点．E是BB1上一点，若D1F⊥DE，则有()A．B1E＝EBB．B1E＝2EBC．B1E＝eq\f(1,2)EBD．E与B重合【解析】选A．分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，F(0，1，0)，D1(0，0，2)，设E(2，2，z)，＝(0，1，－2)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(2，2，z)，因为·eq\o(DE,\s\up6(→))＝0×2＋1×2－2z＝0，所以z＝1，所以B1E＝EB.2．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝eq\f(2,3)A1D，AF＝eq\f(1,3)AC，则()A．EF至多与A1D，AC之一垂直B．EF⊥A1D，EF⊥ACC．EF与BD1相交D．EF与BD1异面【解析】选B.以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A1(1，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0，\f(1,3)))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(1,3)，0))，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，＝(－1，0，－1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝(eq\f(1,3)，eq\f(1,3)，－eq\f(1,3))，＝(－1，－1，1)，则eq\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)，·eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝0，从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC.3．已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝eq\f(BB1,2)，点E在线段CC1上，eq\f(EC,CC1)＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤λ≤1))，平面α过线段AA1的中点P以及点B1，E，现有如下说法：(1)∃λ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，1))，使得BE⊥B1E；(2)若λ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))，则平面α截长方体ABCD­A1B1C1D1所得截面为平行四边形；(3)若λ＝0，AB＝2，则平面α截长方体ABCD­A1B1C1D1所得截面的面积为3eq\r(6).以上说法正确的个数为()A．0B．1C．2D．3【解析】选D.对于(1)，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝a，则Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，a，0))，B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，a，2a))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，a，2λa))，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a，0，2λa))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a，0，2λa－2a))，若BE⊥B1E，则eq\o(BE,\s\up6(→))·＝a2＋2λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2λ－2))a2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2λ－1))2a2＝0，解得λ＝eq\f(1,2)，(1)正确；对于(2)，在棱DD1上找点Q，由面面平行的性质可知PQ∥B1E，设点Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，t))，点P(a，0，a)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a，0，2λa－2a))，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a，0，t－a))，因为B1E∥PQ，可设＝keq\o(PQ,\s\up6(→))，令k＝1，则t－a＝2λa－2a，则t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2λ－1))a，当λ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))时，0≤2λ－1≤eq\f(1,3)，此时点Q在棱DD1上，且有＝eq\o(PQ,\s\up6(→))，故四边形B1EQP为平行四边形，(2)正确；对于(3)，设截面交棱AD于点M，连接PM，CM，因为平面AA1D1D∥平面BB1C1C，平面B1PE∩平面BB1C1C＝B1C，平面B1PE∩平面AA1D1D＝PM，所以，PM∥B1C，由图可知，∠AMP＝∠BCB1，则tan∠AMP＝eq\f(AP,AM)＝eq\f(BB1,BC)＝2，故AM＝eq\f(1,2)AP＝eq\f(1,2)AD，所以，点M为AD的中点，则Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，0))，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，0，2))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2，0))，B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，2，4))，可求得CM＝PM＝eq\r(5)，PC＝2eq\r(3)，PB1＝2eq\r(2)，B1C＝2eq\r(5)，取PC的中点N，连接MN，则MN⊥PC，且MN＝eq\r(PM2－PN2)＝eq\r(2)，S△PCM＝eq\f(1,2)PC·MN＝eq\r(6)，因为PC2＋PBeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝B1C2，故PC⊥PB1，故S△PB1C＝eq\f(1,2)PB1·PC＝2eq\r(6)，所以，截面面积为eq\r(6)＋2eq\r(6)＝3eq\r(6)，(3)正确．4．(多选题)在正四面体D­ABC(所有棱长均相等的三棱锥)中，点E在棱AB上，满足AE＝2EB，点F为线段AC上的动点．则下列说法正确的是()A．存在某个位置，使得DE⊥BFB．存在某个位置，使得∠FDB＝eq\f(π,4)C．存在某个位置，使得平面DEF⊥平面DACD．存在某个位置，使得DF⊥AB【解析】选CD.如图所示，设正四面体D­ABC的底面中心为点O，连接DO，则DO⊥平面ABC，以点O为坐标原点，OB，OD所在直线分别为x，z轴建立空间直角坐标系，设正四面体D­ABC的棱长为2，则Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，－1，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，0，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，1，0))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(2\r(6),3)))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，－\f(1,3)，0))，设Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，λ，0))，其中－1≤λ≤1，对于A选项，若存在某个位置使得DE⊥BF，eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，－\f(1,3)，－\f(2\r(6),3)))，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，λ，0))，所以eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝－1－eq\f(1,3)λ＝0，解得λ＝－3，不符合题意，A选项错误；对于B选项，若存在某个位置使得∠FDB＝eq\f(π,4)，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，λ，－\f(2\r(6),3)))，eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，0，－\f(2\r(6),3)))，cos〈eq\o(DF,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(DF,\s\up6(→))·\o(DB,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(DF,\s\up6(→))))·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(DB,\s\up6(→)))))＝eq\f(2,\r(λ2＋3)×2)＝eq\f(1,\r(λ2＋3))＝eq\f(\r(2),2)，该方程无解，B选项错误；对于C选项，设平面DAC的一个法向量为m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，y1，z1))，eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，－1，－\f(2\r(6),3)))，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，1，－\f(2\r(6),3)))，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(DA,\s\up6(→))＝－\f(\r(3),3)x1－y1－\f(2\r(6),3)z1＝0,m·\o(DC,\s\up6(→))＝－\f(\r(3),3)x1＋y1－\f(2\r(6),3)z1＝0))，取z1＝－1，得m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，0，－1))，设平面DEF的一个法向量为n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，y2，z2))，eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，－\f(1,3)，－\f(2\r(6),3)))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，λ，－\f(2\r(6),3)))，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(DE,\s\up6(→))＝\f(\r(3),3)x2－\f(1,3)y2－\f(2\r(6),3)z2＝0,n·\o(DF,\s\up6(→))＝－\f(\r(3),3)x2＋λy2－\f(2\r(6),3)z2＝0))，取y2＝4eq\r(6)，则n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)＋6\r(2)λ，4\r(6)，3λ－1))，若存在某个位置，使得平面DEF⊥平面DAC，则m·n＝21λ＋9＝0，解得λ＝－eq\f(3,7)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，1))，符合题意，C选项正确；对于D选项，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(,3),3)，λ，－\f(2\r(,6),3)))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(,3)，1，0))，由DF⊥AB得－eq\f(\r(,3),3)×eq\r(,3)＋λ＋0×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(,6),3)))＝0，所以λ＝1，所以D正确．5．(多选题)如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝1，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则以下四个结论正确的是()A．＝eq\f(1,3)B．点P必在线段B1C上C．AP⊥BC1D．AP∥平面A1C1D【解析】选BD.对于A，因为点P在平面BCC1B1，平面BCC1B1∥平面AA1D，所以点P到平面AA1D即为C到平面AA1D的距离，即为正方体棱长，所以＝eq\f(1,3)·CD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6)，A错误；对于B，以D为坐标原点可建立如图所示的空间直角坐标系：设P(x，1，z)，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－1，1，z)，＝(－1，－1，1)，＝(－1，0，－1)，因为AP⊥，所以eq\o(AP,\s\up6(→))·＝1－x－1＋z＝0，所以x＝z，即P(x，1，x)，所以eq\o(CP,\s\up6(→))＝(x，0，x)，所以eq\o(CP,\s\up6(→))＝－x，即B1，C，P三点共线，所以点P必在线段B1C上，B正确；对于C，因为eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－1，1，x)，＝(－1，0，1)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))·＝1－x＋x＝1，所以AP⊥BC1不成立，C错误；对于D，因为A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，D(0，0，0)，所以＝(1，0，1)，＝(0，1，1)，设平面A1C1D的法向量为n＝(a，b，c)，则，令a＝1，则c＝－1，b＝1，所以n＝(1，1，－1)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))·n＝x－1＋1－x＝0，所以eq\o(AP,\s\up6(→))⊥n，所以AP∥平面A1C1D，D正确，二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知空间三点A(0，0，1)，B(－1，1，1)，C(1，2，－3)，若直线AB上一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为________．【解析】设M(x，y，z)，则由已知，得eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＝λ(－1，1，0)＝(－λ，λ，0).又eq\o(AM,\s\up6(→))＝(x，y，z－1)，所以x＝－λ，y＝λ，z＝1.所以M(－λ，λ，1).又eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，eq\o(CM,\s\up6(→))＝(－λ－1，λ－2，4)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，所以(－λ－1，λ－2，4)·(－1，1，0)＝0，所以(λ＋1)＋(λ－2)＝0，λ＝eq\f(1,2).所以M点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，1)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，1))7．设平面α与向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，2，－4))垂直，平面β与向量b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，3，1))垂直，则平面α与β的位置关系是________．【解析】由题意，a·b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，2，－4))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，3，1))＝－2＋6－4＝0，所以a⊥b，因为平面α与向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，2，－4))垂直，平面β与向量b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，3，1))垂直，所以α⊥β.答案：垂直8．已知点A(0，1，0)，B(－1，0，－1)，C(2，1，1)，P(x，0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为________．【解析】由题意知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1，－1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，0，1)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x，－1，z)，又PA⊥平面ABC，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1，－1，－1)·(x，－1，z)＝0，得－x＋1－z＝0①，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝(2，0，1)·(x，－1，z)＝0得2x＋z＝0②，联立①②，解得x＝－1，z＝2，故点P的坐标为(－1，0，2).答案：(－1，0，2)三、解答题(每小题10分，共30分)9．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.(1)求证：AC⊥BC1.(2)在AB上是否存在点D，使得AC1⊥CD?【解析】在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，所以AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，B1(0，4，4).(1)因为eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－3，0，0)，＝(0，－4，4)，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·＝0.所以AC⊥BC1.(2)假设在AB上存在点D，使得AC1⊥CD，设eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3λ，4λ，0)，其中λ∈R，则D(3－3λ，4λ，0)，于是eq\o(CD,\s\up6(→))＝(3－3λ，4λ，0)，因为＝(－3，0，4)，且AC1⊥CD，所以－9＋9λ＝0，得λ＝1.所以在AB上存在点D，使得AC1⊥CD，且这时点D与点B重合．10．如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)证明：AP⊥BC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC.【解析】(1)如图所示，以O为坐标原点，分别以射线OD，OP为y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系O­xyz.则O(0，0，0)，A(0，－3，0)，B(4，2，0)，C(－4，2，0)，P(0，0，4)，于是eq\o(AP,\s\up6(→))＝(0，3，4)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－8，0，0)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0，3，4)·(－8，0，0)＝0，所以eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，即AP⊥BC.(2)由(1)知|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝5，又|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝3，且点M在线段AP上，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(9,5)，\f(12,5)))，又eq\o(BA,\s\up6(→))＝(－4，－5，0)，所以eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\