初三数学圆与圆的位置关系圆的全章复习人教版

上人收集整理_」仅供参考学习上人收集整理_」仅供参考学习#/12初三数学圆与圆的位置关系圆的全章复习一.本周教学内容：圆与圆的位置关系、圆的全章复习［学习目标］1掌.握圆与圆的五种位置关系，类比于点与圆，直线与圆的位置关系，能通过两圆半径及圆心距三者的数量关系，判断两圆位置关系，或通过位置关系，判断数量关系。个人在数轴上表示当在不同位置时，两圆的位置关系。3在.证明两圆的或多圆的图形时，常加的辅助线：公共弦、公切线；圆心距，连心线。4当.两圆相交时，连心线垂直平分公共弦。当两圆内切时，连心线垂直于公切线。当两圆外切时，连心线垂直于内公切线。5公.切线是指两个圆公共的切线，如果两圆在公切线同旁则称外公切线，如果两圆在公切线两旁则称内切线。公切线上两切点间线段的长叫公切线长。个人收集整理勿做商业用途如图内公切线长=d,d2-(R+r)2(外离时)外公切线长=Jd2-(R-r)2(外离、外切、相交时)小圆半径 三圆心距 大圆半径小圆半径 三7公.切线条数TOC\o"1-5"\h\z①内含0<d<R-r条②内切d=R-r 条③相交R-r<d<R+r条④外切d=R+r 条⑤外离d>R+r 条8圆.的全章复习(1)圆的基础知识①圆的有关概念：弦，弧，半圆，弓形，弓形高，等弧(隐含同圆等圆)，弦心距，直径等。②圆的确定圆心决定位置，半径决定大小，不共线的三点确定一个圆。注意：作图(两边中垂线找交点)，外心的位置，外心到三角形各顶点距离等③圆的对称性：轴对称，中心对称，旋转不变性2圆.与其它图形(1)点与圆三种(2)直线与圆①一条直线与圆三种、［有关的角：圆周角，弦切角，圆外角等②两条直线与圆［比例线段：圆幂定理等③三条直线与圆三角形内切圆与圆外切三角形三角形内心(角平分线交点)位置永远在三角形内部到三角形各边距离相等④四条直线与圆圆外切四边形两组对边的和相等（3）两圆与直线两圆外切时连心线过内公切线切点与该切线垂直。两圆内切时连心线过切点，垂直于过切点的切线。两圆相交时，连心线垂直于公共弦，并且平分公共弦。3定.理（1）垂径定理及推论：过圆心；垂直弦；平分弦（非直径）；平分优弧；平分劣弧；知2求3。（2）圆心角，弦，弦心距，弧之间关系：同圆等圆中知1得3。（3）与圆有关的角：圆心角，圆周角，弦切角，圆内角，圆外角，圆内接四边形外角，内对角，对角（4）切线的判定、性质：①判定：常见的证法连半径，证垂直，判断切线，“连垂切”或作垂直证=②性质：若一条直线满足过圆心、过切点，垂直于切线中任意两条，可得另外一条。常见“切连垂”（5）和圆有关的比例线段：相交弦定理及推论，切割线定理及推论，圆幂定理4和.圆有关的计算（1）求线段①直径、半径②垂径定理：求弦长、弦心距、拱高③切线长、公切线长（外公切线长，内公切线长）④直角三角形内切圆半径⑤任意三角形内切圆半径与面积、周长的关系⑥等边三角形内切圆半径：外接圆半径1⑦与圆有关的比例线段、弦长、切线长等（2）求角圆心角，圆周角，弦切角，两切线夹角，公切线夹角5常.见辅助线半径、直径、弦心距、“切连垂”、连心线、公共弦、公切线6圆.中常见图形直角三角形等腰三角形圆内接四边形相似三角形【典型例题】例 已知半径分别为和（>）的两圆外切，它们的两条外公切线互相垂直，则R等于（）TOC\o"1-5"\h\zJA+1 姮-1（C2+1）2 2解：连结、、 （如图所示），则，， ±,过点且平分NP过点1 2 12 1 2 12 2作,、则〃•・/ = °4\o"CurrentDocument"12 1•・△ 是等腰直角三角形。12•・OO=、2OE,2 1•・•OO=R+r,OE=R—r,12 1・•・R+r=<2(R—r).・・(,2-1)R=晨.2+1)r,22+1 —J—=(*2+1)2,v2-1故选C点拨：本题涉及的知识点较多，要认真审题，理清思路，解决问题。例如图所示，。与。内切于点，并且。的半径是。的直径， 为。的半径，交12 1 2 1 1。于点，是公切线，N=5则ND)解：:是。的直径，12•・/ 91又:/ =1•・/ 41又：是两圆的公切线，/ 和N分别是。、。的弦切角，12\o"CurrentDocument"•・/BAD=-/O=-X40°=20°2 1 2故选。点拨：利用学过的知识解决两圆位置关系问题是解决本题的关键，要学以致用，温故而知新。例3.已知两圆的半径分别为8和6，如果两圆的圆心距为14，则两圆的公切线条数有解：由题意知两圆的圆心距等于两圆的半径之和，则两圆外切，共有3条公切线，故应填3。例 两圆的一条外公切线与连心线成。的角，它们的圆心距是，则外公切线长为解：如图所示，连结、，过点作〃，则N1 2 12做商业用途在△中，^—AB=AC•cos30°=10X-二5V3(cm),

^2故应填5v1'3点拨：公切线、两圆的半径之差例5.已知两圆外离，圆心距为连心线所夹的锐角等于 解：如图所示，过点作〃11二•两圆的周长分别为n和(或和)和圆心距构成直角三角形，是解决这部分题的关键。,两圆的周长分别为兀cm和10兀cm,则其内公切线和的延长线于，，两圆的半径分别为125cm和5cm,・•・CO=15+5=25cm,

2 2 2又二OO=25cm12・•.在△中,CO25 1/ 2 : ,OO 25X2212•・/ °,故应填°。例 如果两圆外切，切点为，外公切线，切点为、，则N=解：如图所示，过点作两圆的公切线交于点，・•是两圆的公切线，，./ZZZ,,?Z ZZZ°.•・ZZ°即Z。，故填。点拨：本题是一道典型题，可作为一般的结论记忆。例如图所示，。和。相交，且点在。上，公切线、分别切两圆于、、、四点，求证：是。的切线。个人收集整理勿做商业用途・^i^^^^mm证明：连结、、、，过点作，于，:、是公切线，TOC\o"1-5"\h\z又：,Z O °•・△ 必，・，・Z ZVZ O,・•・/ O又：，ZO°•・△ “，・•・•・是。的切线。点拨：本题利用圆心到直线的距离等于半径判定直线是圆的切线。例 两圆外切，两条外公切线所成的角是。，公切线长等于243cm，求两圆的半径。解：如图所示，过点作〃，设。和。的半径分别为和。TOC\o"1-5"\h\z在△中， 2°3cmZ°， ，一，JR+r=2(R-r),[2J3=(R+r)•cos30°解这方程组，得 ， ，•・两圆的半径分别为 和。点拨：本题涉及的知识点较多，要注意各知识点之间的联系，正确解题。例 如图所示，。与。内切于，过作大圆的弦、 分别交小圆于、，求证:证明：过点作两圆的外公切线VZ Z ,ZZ,•・/ 、即B=C点拨：当两圆外切或内切时，公切线是常添的辅助线，然后利用有关的角相等，找到解题思路。例如图所示，两圆内切于点CO的弦切。于点E的延长线交。于D求证:• =D证明：过点作两圆的公切线，则N=Z又•・•是O的切线，•・/ EETOC\o"1-5"\h\z•・/ N,又•・•/ND•・△ M,*••: =C即- -点拨：作公切线，通过相似，证明结论。例 如图所示，半径分别为和的两圆O和O互相外切，从切点到两圆外公切线的距112离为，求证：一+方=7rRd证明：过点作〃，交于，交于，11 2由题意知，Oa=r，OB=R，PC=d12:〃E2・•.PD:OE=OP：OO2 1 12•・•PD=d—r,OE=R—r,2：.（d一r）：（R一r）=r:（R+r）,：.（d一r）（R+r）=（R一r）r,dR+dr—Rr—r2=Rr—r2,两边同时除以R+r_2Rrd'11即一十—=rR点拨：通过引辅助线，构造相似三角形，找到证题思路过、各作所在圆的例 如图所示，设两圆交于、两点，过作一直线交两圆于切线，设它们相交于一点，求证、、、四点共圆。过、各作所在圆的证明：连结、、，则N、、,N=、、，QN、,、N=,、，、•N、+N、、N,：N、N+、、N、即NN•・、、、四点共圆。点拨：证明四点共圆的方法有许多种，请同学们自己总结一下。例 如图所示，以△ 的一边为弦的圆交、于点、，经过、、三点的圆的圆心为。求证：±C证明：连结，过作。的切线，则O,NZo又•・•四边形 内接于圆，•・/ 、.•・ZZ•・〃•・O点拨：本题是一个富于思考的问题，还有很多推广。例如，设是4 的外心，其余条件不变，则有±E此时，所作切线是△ 的外接圆上经过点的切线。【模拟试题】（答题时间：90分钟）一、选择题（本题共60分，1-题4每题3分，5-1题6每题4分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，考生要按规定要求在机读答题卡上作答，题号要对应，填涂要规范。个人收集整理勿做商业用途（）方程2x（x+2）=4x-1化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）（）一元二次方程x2-5x=6的根为x=2,x=312x=1,x=-612x=-1,x=612x=—2,x=—312（）若点（x）在坐标轴上，则下列式子正确的是（）TOC\o"1-5"\h\zx=0 y=0x+如=0 xy=0（）正比例函数y=kx的图象经过点（1），则的值为（）\o"CurrentDocument"1— —11（）方程2x2—3x—1=0的两个根为x,x,那么一+—的值为（）12 xx121— ——313（）关于的方程kx2—（2k+1）x+k=0有两个不相等的实数根，则的最小整数值是（）

（7）（7）点关于原点对称的点的坐标为（一，），则点的坐标为（）（A－.3，1）（C1，.（A－.3，1）（C1，.－3）1（8）函数丁=2m的自变量的取值范围是（）1x>一2x力121x—~2杼-12（）直线y=kx+b与直线y=bx+k在平面直角坐标系中大致的位置是（如图）12图1（0在△中，N°,若tanA=3，则cotB=（）TOC\o"1-5"\h\z1 2 3— — —3 3 2（）在△中，N。，若sinA=1，贝U （）\o"CurrentDocument"JA .23 1乙 乙（1）2下列命题中，正确命题的个数为①等弧对等弦②平分弦的直径垂直于这条弦③直径是圆中最长的弦④同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等（）如图，。中，直径B弦于点，， ，则弦的长为（）图2A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm（）如图，是。的直径，是延长线上一点，切。于点，N°,则N（）图3A°.40 B.°30C°.20 D.°10（）如图，。中，弦、 的延长线交于点，/ °,BD的度数为。，则AE的度数为（）图4A°.60 、.°75C°.105 D.1°20（6如图，向高为的圆柱状的水瓶中匀速注水，注满为止。下面图象中（图）能表示出注水量与水深之间的函数关系的是（）个人收集整理勿做商业用途图5图6

二、填空题（本题共12分，每小题4分）（）如图，切。于点，切。于点，/ °, ，则。的半径长为 。个人收集整理勿做商业用途图7（）如图，是。的内接四边形， 是直径，/ 。，则N 。人收集整理勿做商业用途图8（）一根弹簧的原长是 ，它能挂的重量不能超过 ，并且每挂重，弹簧就伸长1cm，则弹簧长度 与挂重之间的函数关系式为 ,自变量的取值范围是三、（本题共7分，第1题三、（本题共7分，第1题5分，第2题7分，第3题5分）(1)计算2"2tan45°—cot30°—4cos30°()用换元法解方程：2X2—3X+ 1 +2=02X2—3X(3)Ix2一5xy+6y2=0,解方程组：<C<(3)IX+2y=5四、列方程或方程组解应用题（本题6分）某企业响应政府号召，为节约用水，自建污水净化站。1月份净化污水300吨0，3月份净化污水增加到363吨0，求这两个月污水净化量平均每月增长的百分率是多少？个人收集整理勿做商业用五、（本题5分）如图9：有一位同学用一个自制的有30°角的直角三角板估测学校旗杆的高度。他将3°0角的直角边水平放在高的支架上，使得三角板的斜边与旗杆的顶点在一条直线上，此时量得支架到旗杆的底部的水平距离长为8图9求：旗杆的高度（精确到 ，＜3~1.732）六、（本题7分）1在平面直角坐标系 内，点的坐标为（2），点是正比例函数y=-X上的一点。（）求出使△ 为轴对称图形的点的坐标；（）对于（）中所得的^是否存在对称轴与轴平行的情况，若存在，你能找到一点C使以、、、为顶点的四边形为中心对称图形吗？若能，求出点的坐标，写出直线的解析式；若不能，请你说明理由。个人收集整理勿做商业用途七、（本题6分）锐角三角形中， ,△的面积为， 、是一元二次方程X2-（2m+1）x+m2-2=0的两个根。求：的值。八、（本题7分）n已知：如图，为。的直径，点是圆上一点，点是BD的中点，且E于，交弦于F分别延长线段和，与过点的。的切线交于点、图10()找出图中与线段相等的线段，并证明；()证明：- -；()若，2G=2\!3，求：的长。［参考答案］、选择题(本题共60分，1-题4每题3分，5-1题6每题4分)二、填空题(本题共12分，每小题4分)()”(2)8°0()y=1x+12(0<x<15)2三、(本题共17分，第1题5分，第2题7分，第3题5分)2X— 反()解：原式= ——4乂=2X1-v3 2()解：设y=2x2-3x,1则原方程可化为y++2=0y去分母得y2+2y+1=0解得y=y=-112当y=-1时，2x2-3x--11解得x-，x-1TOC\o"1-5"\h\z12 21经检验x--，x-1是原方程的根。12 2Jx2-5xy+6y2-0,①\o"CurrentDocument"[x+2y-5 ②解：由②得x-5-2y，③把③代入①整理得4y2-9y+5-0解之得y=5，y=114 2把y1二5代入③得x1二5把y=也弋入③得x=3所以原方程组的解是《y152，卜2=35；1y2=14，四、列方程或方程组解应用题（本题6分）解：设这两个月污水净化量平均增长的百分率是根据题意得3000(1+x)2=36301

解之得x= ,x110 2212110但x=-记不合题意，故舍去。答：这两个月净化污水的量平均增长的百分率为五、（本题5解：过作・•・四边形分）E是矩形,=二在t中，tan二在t中，tan30——,AE=CE•tan30°=18XCE・•.AB=AE+BE=1.2+6<3-11592711.6(m)答：旗杆的高度约为六、（本题7分）（1）解：如图所示，符合题意的点有四种情况。图1（I）过点•・•点・••点（I）I过点•・•点等腰三角形以点为顶点，即11作±轴于点，则111在正比例函数y=-x的图象上的坐标为（11）等腰三角形以为顶点，即作±轴于点，2 21 11在正比例函数y=-x的图象上・•・设点的坐标为(，1x)1在△中，x2+(—x)2—2221 2

解得x=土5V54-2- 4- 2-二•二点的坐标为(55，5<5)，点坐标为(—5<5，—5v15)（）等腰三角形以为顶点，即AO=AB4=2过点作±轴于点，4 42 21•・•点在正比例函数y=-x图象上，1设点的坐标为（x,-x）在△中，（X—2）2+（1x）2=22，16解得x=—,x=0（舍）15216 8•二点的坐标为（—，5）为顶1为顶12）1点的四边形为中心对称图形。由中心对