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数学，能够创造一个宇宙第1页中国古代数学第2页中国古代数学思想中国古代有许多伟大数学家而他们优异数学思想对我们当代人来说依然有主动意义，我们要好好利用他们优异思想。如：墨子﹝公元前468-376年﹞，名翟，战国时期鲁国人，他是中国古代一位著名学者。他创建了墨家学派，倡兼爱学说，《墨经》并非墨子一人所著，但书中主要发觉和言论，是由墨子提出。《墨子》全书现存有53篇，包括了当初几何学、力学、光学、逻辑学等方面一些结果。《墨经》四篇中，统计了一系列几何定义，标准或定理，并作出解释。其中对点、线、面、体、圆等提出了定义，对时间、空间概念、必要条件及充分条件提出了讨论等。比如：1【经】平，同高也2【经】直，参也。3【经】圜，一中同长也。【说】圜，规写支也﹝其中圜，即是“圆”﹞第3页刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大数学家，在世界数学史上，也占有出色地位．他杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵数学遗产．《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题解法．在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形体积面积计算等，都属于世界先进之列，但因解法比较原始，缺乏必要证实，而刘徽则对此均作了补充证实．在这些证实中，显示了他在多方面创造性贡献．他是世界上最早提出十进小数概念人，并用十进小数来表示无理数立方根．在代数方面，他正确地提出了正负数概念及其加减运算法则；改进了线性方程组解法．在几何方面，提出了"割圆术"，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭一个求圆面积和圆周长方法．他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.14结果第4页沈括﹝公元1031-1095年﹞，字存中，杭州钱塘﹝今浙江杭州﹞人。据《宋史，沈括传》上记载，沈括「博学善文，于天文、方志、律历、音乐、医药、卜算无所不通，皆有所论著。」晚年﹝公元1086-1095年﹞闲居润州﹝今江苏镇江﹞梦溪园潜心写作，成《梦溪笔谈》﹝约公元1088年﹞等有巨大科学价值著作。沈括对中国数学卓越贡献主要是创建了「隙积术」﹝高阶等差级数求和法﹞和「会圆术」﹝已知圆直径和弓形高，求弓形弦和弧长方法﹞。「隙积术」为数学研究开辟了一个新方向，从沈括开始，之后二、三百年间杨辉、朱世杰等人关于「垛积问题」研究，都受沈括影响。他对「棋局都数」研究则暗用了组合方法和指数定律。第5页祖冲之（429―500），我国南北朝时代出色数学家、天文学家和机械制造教授．祖冲之出生在一个世代对天文历法都有所研究家庭，受环境熏陶他自幼就对数学和天文学有着非常浓厚兴趣．《宋书.律历志》中，祖冲之有这么自述：“臣少锐愚，尚专攻数术，搜练古今，博采沈奥．后将夏典，莫不摸量，周正汉朔，咸加该验……此臣以俯信偏识，不虚推古人者也……”．由此可见，祖冲之从小时起便搜集、阅读了前人大量数学文件，并对这些资料进行了深入系统研究，坚持对每步计算都做亲身考评验证，不被前人成就所束缚，纠正其错误同时加之自己了解与创造，使得他在以下三方面对我国古代数学有着巨大推进：一是圆周率计算．他算得3.1415926＜＜3.1415927且取为密率。取值范围及密率计算都领先国外千余年．第6页中国古代数学（先秦萌芽时期）黄河流域和长江流域是中华民族文化摇篮，大约在公元前，在黄河中下游产生了第一个奴隶制国家──夏朝。其后有商、殷两代(约1500B.C-1027B.C)、及周朝(1027B.C-221B.C)。历史上又称公元前八世纪至秦王朝建立(221B.C)为春秋战国时期。据《易．系辞》记载："上古结绳而治，后世圣人易之以书契"。在殷墟出土甲骨文卜辞中有很多记数文字。从一到十，及百、千、万是专用记数文字，共有13个独立符号，记数用合文书写，其中有十进位制记数法，出现最大数字为三万。算筹是中国古代计算工具，而这种计算方法称为筹算。算筹产生年代已不可考，但能够必定是筹算在春秋时代已很普遍。第7页筹算直到十五世纪元朝末年才逐步为珠算所取代，中国古代数学就是在筹算基础上取得其辉煌成就。在几何学方面《史记．夏本记》中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，并早已发觉"勾三股四弦五"这个勾股定理(西方称毕氏定理)特例。战国时期，齐国人着《考工记》汇总了当初手工业技术规范，包含了一些测量内容，并包括到一些几何知识，比如角概念。战国时期百家争鸣也促进了数学发展，一些学派还总结和概括出与数学相关许多抽象概念。著名有《墨经》中关于一些几何名词定义和命题，比如："圆，一中同长也"、"平，同高也"等等。墨家还给出有穷和无穷定义。《庄子》记载了惠施等人名家学说和桓团、公孙龙等辩者提出论题，强调抽象数学思想，比如"至大无外谓之大一，至小无内谓之小一"、"一尺之棰，日取其半，万世不竭"等。这些许多几何概念定义、极限思想和其它数学命题是相当可贵数学思想，但这种重视抽象性和逻辑严密性新思想未能得到很好继承和发展。另外，讲述阴阳八卦，预言吉凶《易经》已经有了组合数学萌芽，并反应出二进制思想。第8页中国古代数学思想（汉唐时期）这一时期包含从秦汉到隋唐1000多年间数学发展，所经历朝代依次为秦、汉、魏、晋、南北朝、隋、唐。秦汉是中国古代数学体系形成时期。为使不停丰富数学知识系统化、理论化，数学方面专书陆续出现。西汉末年(公元前一世纪)编纂天文学著作《周髀算经》在数学方面主要有两项成就：(1)提出勾股定理特例及普遍形式；(2)测太阳高、远陈子测日法，为以后重差术先驱。另外，还有较复杂开方问题和分数运算等。第9页《九章算术》是一部经几代人整理、删补和修订而成古代数学经典著作，约成书于东汉初年(公元一世纪)。全书采取问题集形式编写，共搜集了246个问题及其解法，分属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。主要内容包含分数四则和百分比算法、各种面积和体积计算、关于勾股测量计算等。在代数方面，《方程》章中所引入负数概念及正负数加减法法则，在世界数学史上都是最早记载；书中关于线性方程组解法和现在中学讲授方法基本相同。就《九章算术》特点来说，它重视应用，重视理论联络实际，形成了以筹算为中心数学体系，对中国古算影响深远。它一些成就如十进位值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并经过这些国家传到欧洲，促进了世界数学发展。第10页魏晋时期中国数学在理论上有了较大发展。其中赵爽和刘徽工作被认为是中国古代数学理论体系开端。赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证实最早数学家之一，对《周髀算经》做了详尽注释。刘徽注释《九章算术》，不但对原书方法、公式和定理进行普通解释和推导，且在叙述过程中多有创新，更撰写《海岛算经》，应用重差术处理相关测量问题。刘徽其中一项主要工作是创建割圆术，为圆周率研究工作奠定理论基础和提供了科学算法。第11页南北朝时期社会长久处于战争和分裂状态，但数学发展依然蓬勃。《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》就是这个时期作品。《孙子算经》给出"物不知数"问题，造成求解一次同余组问题；《张丘建算经》"百鸡问题"引出三个未知数不定方程组问题。祖冲之、祖日桓父子工作在这一时期最具代表性，他们在《九章算术》刘徽注基础上，将传统数学大大向前推进了一步，成为重视数学思维和数学推理典范。他们同时在天文学上也有突出贡献。其著作《缀术》已失传，依据史料记载，他们在数学上主要有三项成就：(1)计算圆周率准确到小数点后第六位，得到3.1415926<π<3.1415927，并求得π约率为22/7，密率为355/113；(2)得到祖日桓定理(幂势既同，则积不容异)并得到球体积公式；(3)发展了二次与三次方程解法。第12页隋朝大兴土木，客观上促进了数学发展。唐初王孝通撰《缉古算经》，主要是讨论土木工程中计算土方、工程分工与验收以及仓库和地窖计算问题。唐朝在数学教育方面有长足发展。656年国子监设置算学馆，设有算学博士和助教，由太史令李淳风等人编纂注释《算经十书》(包含《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《缉古算经》、《五曹算经》、《五经算术》和《缀术》)，作为算学馆学生用书本。对保留古代数学经典起了主要作用。另外，隋唐时期因为历法需要，创建出二次内插法，为宋元时期高次内插法奠定了基础。而唐朝后期计算技术有了深入改进和普及，出现很各种实用算术书，对于乘除算法力争简捷。第13页中国古代数学思想（宋元全盛时期）唐朝亡后，五代十国仍是军阀混战继续，直到北宋王朝统一了中国，农业、手工业、商业快速繁荣，科学技术突飞猛进。从公元十一世纪到十四世纪(宋、元两代)，筹算数学到达极盛，是中国古代数学空前繁荣，硕果累累全盛时期。这一时期出现了一批著名数学家和数学著作，列举以下：贾宪《黄帝九章算法细草》(11世纪中叶)，刘益《议古根源》(12世纪中叶)，秦九韶《数书九章》(1247)，李冶《测圆海镜》(1248)和《益古演段》(1259)，杨辉《详解九章算法》(1261)、《日用算法》(1262)和《杨辉算法》(1274-1275)，朱世杰《算学启蒙》(1299)和《四元玉鉴》(1303)等等。第14页第15页Silverlight1.0–XAML+JavaScript

COMPLETEDOMLEVEL1integration中国古代数学家第16页中国古代数学思想数，产生于人类早期社会实践，在普通意义上，它只有算数事物功效；但伴随社会前进与发展，人类出于某种客观条件影响和主观愿望需要，逐步赋予数以许多新含义、新功效，并以一个极度简练方式表现其丰富内蕴，使之进入神秘范围，以至成为“东方神秘主义”渊薮。从普通意义上数学发展到“数文化”，名则一也，而内涵却发生了质改变。在中国古代典籍中，数含义是极其丰富，并不像今天普通所了解只是表示事物量基本数学概念。作为一个抽象化哲学概念，它包含着道数、天数、命数、礼数、律数、（星象）度数、算数等各种意蕴，这里涵盖了道理、规律、策略、策略、技艺、方术等各种内容。第17页按照中国古代数学家解释：数学“大则能够通神明，顺性命；小则能够经世务，类万物”。这里“小”，大致上相当于今天所说数学计算功效，而“大”则包含了上述列举各种内涵，成为一个“数文化”——一门古老而神秘学科。西方学者也有类似说法，列维—布留尔认为，在原始思维中，“与其说数是算术单位，还真不如说它是神秘实在”。J·布罗诺夫斯基也说过，在人类智力攀登中，数学不不过理性阶梯，也是神秘思想阶梯。无庸讳言，数术所包括并非或者不完全是纯粹科学内涵，但它作为一个独特文化现象，从文化人类学意义上，确实有着不容忽略价值。今天，被称为东方神秘主义“中国数”，已经成为一个博大文化体系，这既表达了东方文明古国历史悠久，也反应出它文化积淀完整性。然而，长久以来，学术界似乎对此缺乏足够关注，系统研究者甚少；所以，《数与数术札记》在这方面开辟之功，是值得嘉许。第18页确确实实，数与数术是一枚难啃酸涩青果。原来，数学史就被称作“秘中之秘”，因其永恒魅力至今还未全部揭开；而“中国数”，作为东方神秘主义渊薮，它奥秘尤其令人炫惑。尽管科学技术发展到今天，人们已经能够用哈勃望远镜对远隔四千万光年之遥星系进行细致观察，并能取得异常清楚照片，不过，在面对这一东方神秘主义时，却只能像德国大科学家海森伯所说，这“是一件我们只能谦恭地接收下来礼品”。当然，神秘并不等于不可知，我们能够利用哲学智慧，经过当代人视野同传统视野对话与融合，使之取得合乎规律性解释。第19页要找到进入数与数术神秘之宫门径，我认为，关键在于把握哲学思维与哲学方法。西方一位哲学家说过，对一个行将与敌人作战将军来说，知道敌人力量当然主要，但更主要是知道敌人哲学。这个说法很新鲜，也很有道理。知己知彼，就包含了把握对方主帅个性、思维方法及其战略、策略。掌握了哲学思维这把钥匙，以哲学思索引领数术研究，经过分析、解读古代那些哲学家思维轨迹、治学经历、研索课题、学术话语，就有望进入数与数术这座迷宫“文化后院”，找到破解其奥秘门径。就这么，中国古代数学家把数学与哲学联络在一起，综合分析，在数学界和哲学界都取得了显著成就。

第20页中国古代数学亮点许多人知道中国古代数学有许多辉煌成就，但详细而言，难以细数。中国科学院院士吴文俊以《中国古算与实数系统》为题，在中国科技馆向公众讲述了中国古代数学亮点。吴文俊院士是应国际数学家大会邀请作这场汇报。吴文俊院士认为，首先，中国古代数学家不但发觉了数、整数、分数，还用“面”表示分数无穷叠加。说明中国数学家已了解有一个数不能用简单数表示。如刘徽《九章算术》中叙述“割之弥多，所失弥少”。这既蕴涵了西方当代微积分极限思想，而且意味着我国古代数学家对实数全方面认识体系比西方早很多年。第21页其次，中国古代数学从计算入手，发觉了一系列方法，因而把数学叫做“算术”，即计算方法。这也是中国古代数学与西方数学差异之处。西方往往重视公理推演，依据假设条件进行推断，而中国侧重于实用和计算。，中国古代用小竹竿计数，称为筹码，能够表示很大数，类似于阿拉伯数字功效，并最终演化成算盘。这也是中国数学家一大创造。数学二分之一是中国数学在相当长时间里，不少西方数学家认为中国古代数学不是世界数学主流之一，甚至不打算认可中国古代数学对世界数学出色贡献。第22页中国数学各个时期成就第23页在研究中吴文俊发觉，中国古代数学独立于古希腊数学和作为其延续西方数学，有着其本身发展清楚根本，其发展过程、思索方法和表示格调亦与西方数学迥然不一样。他说，通常认为，中国古代没有几何学，实际上却不是这么，中国古代在几何学上取得了极其辉煌成就。人们误解可能是因为中国古代几何学在内容和形式上都与欧几里得几何迥然不一样缘故：中国古代几何没有采取定义--公理--定理--证实这种欧式演绎系统，取公理而代之是几条简练明了原理。吴文俊在回顾中国古代数学伟大成就时感叹地说，中国古代劳感人民在广泛实践基础上，建立了世界上最先进数学方法，直到16世纪，我国数学在最主要领域一直居于世界领先地位。尤其是自古就有完美十进位位值制记数法，是中国独特创造，是世界其它古代民族所没有。第24页这一创造在人类文明史上居于显赫地位。中国古代几何学有着极其辉煌成就。测高望远之学形成了重差理论，土地丈量与容积量测产生了面积和体积理论，提炼成出入相补普通原理。整个多面体体积理论可奠基刘徽原理及出入相补原理之上。对近代数学起决定作用微积分也是得益于经阿拉伯人传入欧洲中国数学机械化思想而产生。即便在当代纯粹数学研究中，机械化思想也一直发挥着重大作用。他尤其指出，机械化思想是我国古代数学精华。第25页中国数学需要简练“很多中国数学家算功是最好，但不知道算什么；很多西方数学家知道算什么，但算功不好。”在美国、法国呆了快要张寿武这么比较国内外数学家差异。

“简练化数学，这是数学发展动力。国内数学大多停留在数上面，太琐碎，追求程序性计算，可读性很差，面越做越窄，极难提出伟大思想。这种数学生命力不强。”“数学跟任何学科一样，需要传承，不是一个人生下来就有能力。有一个生命力强好题目，就成功了99％。但在国内，题目是个大问题，差题目束缚了学生创造力。”第26页张寿武从小学四年级开始就想当数学家：“因为那个时候我知道我算东西比他人快，尤其喜欢口算，那时我知道做数学要有耐心，这是与其它小孩不一样地方。我尤其喜欢做数学过程，我对结果本身其实不在意，我发觉全部数学题目做完后实际上都没有意思，我非常喜欢做数学过程，坐在那里慢慢地思索，重新规划，把一个非常复杂问题弄成一个很小问题。有些数学家喜欢将事情弄得越玄乎越好，阳春白雪，这不是我格调。我以为数学最妙地方是：正确是基于简单理由，而不是复杂理由。实际上数学与科学和文学一样，能够留下来东西都是最简单东西。”

“我对做数学过程和其中道理更感兴趣，我对技巧没有太大兴趣，我做数学没有记住任何技巧，到现在也不知道做数学有什么技巧。”第27页“从小学到高中，我大部分书都是在田埂上念，我念书不痛苦，只是高中时痛苦了3年时间，现在学生们要痛苦时间。”

张寿武认为，数学课比较枯燥无味，有很多原因是老师没有花功夫，“他们喜欢拿个备书本在上面，好处是他们在黑板上不犯错，缺点是学生什么也记不住。在给学生讲课时，我宁愿在黑板上犯错，也要把最精彩东西讲出来，假如让我在黑板上完整与精彩之间作选择，我以为精彩比完整更主要。”

张寿武提议说小学能够不用学太多数学，要多学一点音乐、体育和外语；初中开始念多一点数学，大学集中重点学。“少一点死记硬背，多一点人文方面东西，不要扼杀孩子创造力。我不反对奥数，反对奥数训练方式。”第28页纯粹数学应用数学中国数学与哲学第29页数学与哲学关系历史上关于数学定义有很多，有些人说，数学就是关联；也有些人说，数学就是逻辑，“逻辑是数学青年时代，数学是逻辑壮年时代。”终究什么是数学呢？伟大革命导师恩格斯，站在辩证唯物主义理论高度，经过深刻分析数学起源和本质，精辟地作出了一系列科学论断。恩格斯指出：“数学是数量科学”，“纯数学对象是现实世界空间形式和数量关系”。依据恩格斯观点，较确切说法就是：数学——研究现实世界数量关系和空间形式科学。数学能够分成两大类，一类叫纯粹数学，一类叫应用数学。纯粹数学也叫基础数学，专门研究数学本身内部规律。中小学书本里介绍代数、几何、微积分、概率论知识，都属于纯粹数学。纯粹数学一个显著特点，就是暂时撇开详细内容，以纯粹形式研究事物数量关系和空间形式。比如研究梯形面积计算公式，至于它是梯形稻田面积，还是梯形机械零件面积，都无关紧要，大家关心只是蕴含在这种几何图形中数量关系。第30页应用数学则是一个庞大系统，有些人说，它是我们全部知识中，凡是能用数学语言来表示那一部分。应用数学着限于说明自然现象，处理实际问题，是纯粹数学与科学技术之间桥梁。大家常说现在是信息社会，专门研究信息“信息论”，就是应用数学中一门主要分支学科，数学有3个最显著特征。高度抽象性是数学显著特征之一。数学理论都算有非常抽象形式，这种抽象是经过一系列阶段形成，所以大大超出了自然科学中普通抽象，而且不但概念是抽象，连数学方法本身也是抽象。比如，物理学家能够经过试验来证实自己理论，而数学家则不能用试验方法来证实定理，非得用逻辑推理和计算不可。现在，连数学中过去被认为是比较“直观”几何学，也在朝着抽象方向发展。依据公理化思想，几何图形不再是必须知道内容，它是圆也好，方也好，都无关紧要，甚至用桌子、椅子和啤酒杯去代替点、线、面也未尝不可，只要它们满足结合关系、次序关系、协议关系，具备有相容性、独立性和完备性，就能够组成一门几何学。第31页体系严谨性是数学另一个显著特征。数学思维正确性表现在逻辑严谨性上。早在多年前，数学家就从几个最基本结论出发，利用逻辑推理方法，将丰富几何学知识整理成一门严密系统理论，它像一根精美逻辑链条，每一个步骤都衔接得丝丝入扣。所以，数学一直被誉为是“准确科学典范”。广泛应用性也是数学一个显著特征。宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。20世纪里，伴随应用数学分支大量涌现，数学已经渗透到几乎全部科学部门。不但物理学、化学等学科仍在广泛地享用数学结果，连过去极少使用数学生物学、语言学、历史学等等，也与数学结合形成了内容丰富生物数学、数理经济学、数学心理学、数理语言学、数学历史学等边缘学科。第32页那么什么是哲学呢？哲学是研究探索物质世界和人类社会发展改变规律学说。只有科学主观四维唯物主义才能使哲学真正成为科学。哲学研究对象就是物质世界和人类社会。假如没有些人和人类，这个世界就成为一个纯粹物质世界，只有物质存在，只有物质存在形式——“物质组成体”，这些“物质组成体”遵照着“数理逻辑”及其规律量变和遵照着“物理逻辑”及其规律质变。“物质组成体”就没有了人主观意识反作用。只是有了人和人类，才形成了人和人类社会“物质组成体”，并在人主观意识反作用下，产生了“人造物质组成体”；才产生了思维，产生了“主观”和“客观”，产生了精神和意识，产生了认识论，产生了方法论，产生了唯心主义和唯物主义两大世界观。由此组成了社会存在。第33页哲学研究对象就是物质世界和人类社会之存在——包含着“物质、精神、意识”。人和人类社会“三个属性”就是：物质属性、精神属性、意识属性。现实中哲学只是学说，不是科学。正是因为哲学学说中存在着客观唯心主义或主观唯心主义等伪科学。这么，在以前哲学史上，科学和伪科学混杂在一起，形成了一个自始至终就带有残缺哲学混合体系。客观唯心主义惧怕于“神”威力，主观唯心主义无视客观规律；客观唯物主义无视人主观能动性——创建精神和创建意识主动发挥，主观唯物主义又轻易忽略客观规律制约，片面夸大人主观能动性；等等。这在人类社会历史实践过程中，都不一样程度地对人类社会发展进步起到了不良作用、妨碍作用，甚至是破坏作用，使社会产生倒退。第34页现实中哲学不是科学，它能够将唯心主义和唯物主义结合利用，在实践中巧妙地调控处理物质世界和人类社会“物质、精神、意识”这三个属性，立于权利斗争不败之地，并取得一时成功。这就表现出了哲学学说之强大政治智慧。所以，哲学在西方社会，又被称之为“爱智慧”。所以说：哲学是详细。哲学发展由“感觉”到“理性”，正在向着科学“主观四维唯物主义”世界观发展。实际上，数学与哲学有着紧密关系．古希腊哲人柏拉图学苑门口刻着：‘不懂几何者不得入内’。西方许多哲学家本身就是大数学家，如：柏拉图、亚里士多德、笛卡儿、莱布尼茨、罗素等。牛顿那本关于万有引力名著就叫‘自然哲学数学原理’。翻开西方数学史或哲学史，人们会发觉一个有趣而主要现象：西方数学与哲学有着千丝万缕联络。这种联络不但源源流长，而且绵延至今。

第35页哲学原来是详细，只是因为人类历史上认识论不足，哲学才被“抽象”化了！因为哲学研究是“物质、精神、意识”。对于人和人群体以及整个人类社会来说，他们本身就具备“物质、精神、意识”，人和人群体以及整个人类社会则是最复杂“物质组成体”。研究物质存在形式——“物质组成体”和“物质组成体”之间及其内部“量变”和“质变”规律性及其关系属于“数理学”和“物理学”内容，研究人和物质之间“量变”和“质变”规律性及其关系则是经济学内容，研究人和人之间“量变”和“质变”规律性及其关系则是政治学主要内容。对人和物质之间“量变”和“质变”规律性及其关系、人和人“量变”和“质变”之间规律性及其关系进行综合研究，则是政治经济学内容。哲学则是总结概括“数理学”原理和“物理学”原理普遍性和特殊性，用来研究第36页翻开西方数学史或哲学史，人们会发觉一个有趣而主要现象：西方数学与哲学有着千丝万缕联络。这种联络不但源源流长，而且绵延至今。

追溯起来，数学与哲学自西方哲学诞生之日起就结下了不解之缘。西方第一位哲学家泰勒斯是数学家；著名数学家毕达哥拉斯在对数学深入研究上得出了“万物皆数”著名哲学命题；大哲学家柏拉图相信数是一个独特客观存在，由此产生了数学上“柏拉图主义”……进入20世纪，围绕着数学基础研究所产生三大流派更是把二者关系推向了高峰。

在这两千多年结伴而行漫长岁月里，哲学与数学相互影响，相互促进，与此同时也产生了许多介于二者之间问题。比如：怎样了解数学真理性？什么是数？怎样了解无穷、连续概念？等等。对这一系列问题研究与探讨，促成了对数学进行哲学分析数学哲学分支确实立。然而，因为问题复杂，包括面广泛，分歧众多，普通人对之只能望而却步，对相关数学哲学研究有一个概貌了解都成为一件困难事情。

第37页数学和哲学，中有相互渗透包容地方，有些哲学，是能够经过数来解释。同时，数学影响哲学，更大一些。数学影响力越来越大，而哲学影响力越来越小。数学领域在扩大。哲学地盘在缩小。哲学曾经把整个宇宙作为自己研究对象。那时，它是包罗万象，数学只不过是算术和几何而已。17世纪，自然科学大发展使哲学退出了一系列研究领域，哲学中心问题从“世界是什么样”变成“人怎样认识世界”。这个时候，数学扩大了自己领域，它开始研究运动与改变。今天，数学在向一切学科渗透，它研究对象是一切抽象结构——全部可能关系与形式。可是西方当代哲学此时却把注意力限于意义分析，把问题缩小到“人能说出些什么”。第38页哲学应该是人类认识世界先导，哲学关心首先应该是科学未知领域。比如，哲学家谈论原子在物理学家研究原子之前，哲学家谈论元素在化学家研究元素之前，哲学家谈论无限与连续性在数学家说明无限与连续性之前。一旦科学真真实实地研究哲学家所谈论过对象时，哲学缄默了。它倾听科学发觉，准备提出新问题。哲学，在某种意义上是望远镜。当旅行者抵达一个地方时，他不再用望远镜观察这个地方了，而是把它用于观察前方。数学则相反，它是最轻易进入成熟科学，取得了足够丰富事实科学，能够提出规律性假设科学。它好像是显微镜，只有把对象拿到手中，甚至切成薄片，经过处理，才能用显微镜观察它。哲学从一门学科退出，意味着这门学科诞生。数学渗透一门学科，甚至控制一门学科，意味着这门学科抵达成熟阶段。第39页宙奥秘无穷。向前看，望远镜视野不受任何限制。新学科将不停涌现，而在它们出现之前，哲学有许多事可做。面对着浩渺宇宙，面对着人类种种困难问题，哲学已经放弃和数学已经占领，都不过是沧海一粟。哲学在任何详细学科领域都无法与该学科一争高低，不过它能够从事任何详细学科无法完成工作，它为学科诞生准备条件。数学在任何详细学科领域都有可能出众地工作，不过它离开详细学科之后无法作出贡献。它必须利用详细学科为它创造条件。所以，经过以上数学与哲学关系及对比我们发觉：含糊哲学与准确数学——人类望远镜与显微镜。第40页谢谢观赏第41页第42页一、尺规作图在中学我们就知道，几何作图严格局限于圆规和无尺度直尺。这种限制从古希腊一直延续至今。为何？第43页古希腊认为，全部图形都是由直线和圆弧组成，圆是最完美图形。他们确信仅靠圆规和直尺就能够绘出图形来。他们还认为，依据少许假设，经过逻辑把握东西最可靠。一、尺规作图第44页如求线段AB中点步骤为：1、以A为圆心，以一适当长度为半径画弧；2、以B为圆心，以一样长度半径画弧；3、两弧交于两点，作两点连线，其与AB交点即为AB中点。一、尺规作图第45页人们很快找到了正三、四、五、六边形尺规作图方法，然而在正七边形尺规作图时，一直研究了多年！一、尺规作图第46页17世纪，法国业余数学家费马提出了猜测：形如Fi=22i+1是素数！i=0,1,2,3,4时Fi是确实如此。而i=5时F5是不是素数一、尺规作图第47页则在差不多1后才由伟大欧拉证实它不是素数！F5=641×6700417.看来，验证一个大数是否为素数是一个多么困难事啊！一、尺规作图第48页迄今为止，人们只知道F1,F2,F3,F4,F5是素数。人们又猜测费马素数只有有限个，但仍是一个未解问题。一、尺规作图第49页在欧拉之后60年，德国数学家高斯20岁时发觉了正多边形边数是费马素数时是能够用尺规作图，而且得到普通性结论：正n边形可尺规作图充分必要条件是：一、尺规作图第50页由此我们知道正7边形是不能够尺规作图！因为7不是费马素数。一、尺规作图第51页而正17边形（属于高斯，80多页），正257边形（200多页）是能够用尺规作图。高斯墓碑上刻着一个正17边形。

大家能够验证3，5，17，257是否为费马素数。一、尺规作图第52页古希腊流传下来还有三大几何作图难题：1、化圆为方：=2、倍立方问题：=3、三等分角问题。一、尺规作图第53页它们处理实际上都促进了几何与代数，也就是现在解析几何产生与发展。上述三个问题都是不可能！1、化圆为方，因为π是超越无理数。是不可作几何量。一、尺规作图第54页2、倍立方问题。因为是不可作几何量。3、三等分角问题。以60度角为例，可得到代数方程一、尺规作图第55页二、解析几何与微积分前面已经提到，古希腊几大几何难题都是借助于代数方法得到处理。实际上，从公元前到公元16世纪，几何与代数各自并行发展着。表面上看，几何似乎是关于形科学而与数无关，代数似乎是关于数科学而与形无关。第56页二、解析几何与微积分代数与几何难以联络原因是：人们心目中数是相互孤立，难以从数想到由无穷多个点组成线等图形。而对于形来说，比如线段或封闭图形，它们与数联络也只限于长度与面积，难以从图形想到数能力。第57页二、解析几何与微积分人们从“运动”角度来联络数与形：决定性工具是建立了坐标系，点数。点运动形成了线，线运动形成了体......。数与形充分结合才产生了解析几何。第58页二、解析几何与微积分解析几何主要创始人是笛卡儿！在笛卡儿之前，就已经出现了代数与几何结合，即解析几何萌芽.我们来看一个例子。第59页二、解析几何与微积分求百分比中项问题。求给定长度AB与AC百分比中项。若AB=AC，那么他们本身就是百分比中项，不然，可设AB<AC.第60页二、解析几何与微积分将AB置于AC上,以AC为直径画圆,过B点作AC垂线交圆于D,连接AD,AD即为所求百分比中项.∽第61页二、解析几何与微积分接着,我们依次作出E、F、G、H、...使得第62页二、解析几何与微积分因为AD=x时,AF=x3,AF=AD+DF,故当DF=a时,我们得到X3=x+a第63页二、解析几何与微积分结论:从几何得到了一个代数方程.另首先,若a是已知数,那么AD=x作为方程根能够在几何上表示出来(尺规作图).第64页二、解析几何与微积分反过来,笛卡儿对几何问题应用了代数方法:研究几何轨迹问题.解析几何精华在于把几何曲线用代数方程来表示,同时又用代数研究方法来研究几何.这种方法显示了其强大生命力:代数是纯演算和第65页二、解析几何与微积分推理,它只需要逻辑和技巧,而不需要面对千变万化几何曲线表面现象得到其本质性东西.即几何曲线(曲面)分类.第66页二、解析几何与微积分第67页二、解析几何与微积分经过代数方法(平移和旋转)我们能够把普通方程化为标准方程.而且还有三个不变量.它们是二次曲线本质—三类:椭圆、双曲线和抛物线。难以想象,没有代数参加,在众多曲线中我们能看到这些本质性东西.第68页二、解析几何与微积分解析几何出现后很快，微积分也被发觉了。能够说，微积分不但是数学伟大发觉，也为近代科学开辟了光明道路；微积分不但是17世纪伟大发觉，而且是世界人类文明史上最为光芒灿烂发觉。第69页二、解析几何与微积分微积分起源是科学发展对数学要求必定：速度、距离、重心；切线、长度、面积、体积；极值问题等等。速度微分距离积分第70页二、解析几何与微积分微积分创建是以发觉微分与积分互为逆运算为标志，即我们所说微积分学基本定理：第71页二、解析几何与微积分微积分伟大意义在于：1、微积分改变了数学研究对象、方式和方法，带来了数学空前和持久繁荣兴盛！显示了数学内部辨证统一深刻哲理。第72页二、解析几何与微积分2、推进了自然科学、工程技术、社会科学发展。有了微积分，它就成为了物理学基本语言。其它如力学、天文学、化学等学科都得到了无限推进力。近代生物学、地理学、经济学、社会科学等都离不开数学。第73页二、解析几何与微积分3、对人类物质文明作出了巨大贡献。数学方法应用和更新，经过其它学科对人类进步产生了前所未有作用：工业革命、人造卫星、新星发觉、经济规律、金融运作等等。第74页二、解析几何与微积分4、对人类文化产生了革命性影响。只要研究改变规律就要用到微积分，在人文、社会科学