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大学物理学（上）微固讲师团唐雄.5.9第1页内容介绍三、刚体力学刚体转动定律刚体角动量定律刚体机械能守恒定律类比平动运动方程

ω=dθ/dtv=dx/dt

ᵝ=dω/dta=dv/dt若a=c(常数)，则v=v0+a×t∆x=v0t+1/2at2v2-v02=2ax第2页若角加速度β

=c(恒量)，则有v=rω;线量和角量关系第3页刚体定轴转动定律=>M=IβI为刚体对定轴转动转动惯量I=

Δmiri2Iz=Ic+md2转动惯量平行轴定律第4页证实：首先，绕固定轴转动刚体模型都能够转化为图示模型，因为只有垂直于转轴作用力才对刚体转动状态改变有影响。例：转动惯量平行轴定理：

其中，Ic是转轴过质心转动惯量。l是与过质心转轴相距为

l且与之平行另一转轴。因

考虑到质心坐标求解方法定理得证为零？？第5页例：转动惯量垂直轴定理：一个平面薄板刚体对垂直于平面任一转轴转动惯量，等于刚体对在平面内并与该垂直轴相交任二正交轴转动惯量之和。

定理得证证实：因第6页一冲量矩

二角动量定理、角动量守恒定律

三角动量定理、角动量守恒定理应用

内容结构、请与平动对应章节比较第7页一冲量矩

冲量矩：力矩在时间上累计矢量，称为冲量矩。或记二角动量定理、角动量守恒定律

推导：这一推导过程类似于由牛顿第二定律推导动量定理由刚体转动定律定义角动量于是得到角动量定理：微分形式

积分形式第8页讨论：A.适用条件：惯性系，全部质点相对于同一参考系；有固定转轴刚体运动。B.推导过程中，没有强调力矩是内力矩还是外力矩，主要因为在推导刚体转动定律时已经证实刚体内力矩之矢量和为零。角动量定理中力矩只有外力矩。I是系统总转动惯量。

C.角动量定义其它表述形式(因，，右手螺旋法则)大小夹角是r与v之间夹角方向：与角速度方向一致矢量性与独立性：其合成满足矢量合成法则，独立性表现为D.刚体角动量守恒定律：当

时，

或

第9页§3.3力矩空间累积效应——刚体机械能守恒定律一力矩功、功率

二绕固定轴转动刚体动能定理

三刚体势能

四刚体系机械能守恒

内容结构、请与平动对应章节比较一力矩功、功率

设质点在合外力作用下所作功：

微分形式

第10页积分形式

讨论：A.在上述讨论过程中，没有记及刚体内力所作功，原因是内力所作功之和为零(内力是作用力和反作用力关系且任意质点都没有相对位移)。B.力矩作功正负符号要求：假如力矩方向与刚体转动方向一致，则为正，反之为负。这一点可由积分形式或微分形式数学表述式得到。C.力矩作功功率二绕固定轴转动刚体动能定理

积分形式

微分形式

第11页定义绕固定转轴转动刚体动能：绕固定转轴转动刚体动能定理讨论：A.绕固定转轴转动刚体，其动能改变只与刚体所受合外力矩作功相关。B.当合外力矩作功为零时，刚体动能守恒。

三刚体势能

假如刚体受到保守力作用，那么，对该保守力，象质点系一样，能够引入刚体势能。

刚体势能定理：保守力对刚体所作功，等于刚体势能增量负值。

这一结论，只要将刚体看作为特殊质点系，那么，结论成立是显然。第12页主要结论：刚体势能，等于将刚体质量全部集中于其质心所得到质点势能。例：重力势能四刚体系机械能守恒

刚体系机械能守恒定律：假如刚体系运动过程中只有保守力做功，则刚体系机械能守恒。(一样，这一结论，只要将刚体看作为特殊质点系，那么，结论成立是显然)。

第13页例：求均匀分布、质量为m球体绕其直径作定轴转动I.解：球体质量密度

采取球坐标系:于是常见物体惯量公式I=mr2过环面中心且与环面垂直I=1/2mr2过薄片中心且与所在面垂直I=1/2ml2过细棒中点且与之垂直I=1/3ml2过细棒端点且与垂直I=1/12ml2+m(1/2l)2

=1/3ml2第14页

(1)质量为m、长度为l细直棒，可绕经过质心C且垂直于棒中心轴转动，求转动惯量。例题质量连续分布刚体:

若棒绕一端o转动，由平行轴定理，则转动惯量为

解方法：将细棒分为若干微元dm=(m/l)dx,然后积分得o记住！Cdxdmxxoxxo第15页R

(3)均质圆盘(m,R)绕中心轴转动时，可将圆盘划分为若干个半径r、宽dr圆环积分：

(2)均质细圆环(m,R)绕中心轴转动时，其转动惯量为

dmrdr=mR2第16页二绕定轴转动转动定理应用

刚体转动定律应用与平动问题中牛顿定律应用完全相同主要类型：A.已知刚体所受力力矩求刚体转动状态B.已知刚体转动状态求刚体所受力矩C.已知刚体部分转动状态和部分力矩求解未知力矩和未知转动状态。刚体转动定律应用解题步骤：

A.确定研究对象，分析刚体所受力、力矩B.建立坐标系，列转动动力学方程及必要平动动力学方程C.解算及讨论第17页例：电风扇开启电源时，经t1时间到达额定转速

0，关闭电源时经时间t2停顿。设电风扇转动惯量为I，且电机电磁力矩与摩擦力矩为恒量。求：电机电磁力矩解：设电风扇电磁力矩、摩擦力矩分别为M、Mf

电风扇开启时受电磁力矩与摩擦力矩作用，即当电风扇到达额定转速时电风扇关闭过程中，只受到摩擦力矩作用，即解此联立方程组，得到达停顿时第18页

解由M=Iβ,=o+βt有外力矩时,

例题以20N.m恒力矩作用在有固定轴转轮上，在10s内该轮转速均匀地由零增大到100rev/min。此时撤去该力矩,转轮经100s而停顿。试推算此转轮对该轴转动惯量。撤去外力矩时,-Mr=Iβ2,

β2=-/t2(2)代入t1=10s,t2=100s,

=(100×2)/60=10.5rad/s,解式(1)、(2)得

I=17.3kg.m2。20-Mr=Iβ1，β1=/t1(因o=0)(1)第19页RMmTmg

例：质量为M、半径为R匀质柱体可绕经过其中心轴线光滑水平固定轴转动；柱体边缘绕有一根不能伸长细绳，绳子下端挂一质量为m物体，如图所表示。求：柱体角加速度及绳中张力。解：对柱体该式对吗？错!因：正确解法是用隔离体法对m对柱解得第20页

m:

mg-T2=maa=Rβ1=rβ2,

2=2ah求解联立方程，代入数据，可得

=2m/s,T1=48N,T2=58N。m1:T1R=m1R2β1

m2:T2r-T1r=m2r2β2例题两匀质圆盘可绕水平光滑轴转动，质量m1=24kg，m2=5kg。一轻绳缠绕于盘m1上，另一端经过盘m2后挂有m=10kg物体。求物体m由静止开始下落h=0.5m时，物体m速度及绳中张力。

解各物体受力情况如图所表示。T1T1m1Rβ1m2β2rT2mgm第21页例：一根质量为m、长为l均匀细棒AB，可绕一水平光滑轴o在竖直平面内转动，o轴离A端距离为l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕o轴转动求：棒转过角

时角加速度和角速度。

ABo

Cmg又因解：各物体受力情况如图所表示。所以完成积分得第22页

例题匀质圆盘：质量m、半径R，以

o角速度转动。现将盘置于粗糙水平桌面上，摩擦系数为µ，求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？

解将圆盘分为无限多个半径为r、宽为dr圆环，用积分计算出摩擦力矩。

o水平桌面rdr第23页于是得由=

o+βt=0得

又由

2-o2=2β，所以停下来前转过圈数为

o水平桌面rdr第24页

例题一质点质量为m，位矢为：r=acosti+bsintj(式中a、b、均为常量);求质点角动量及它所受力矩。xyzo第25页r=acosti+bsintj=mabk00=m另解：第26页F

orom

解小球对o点角动量守恒：

mr2

o=m(r/2)2

=4

o

例题如图所表示，一细绳穿过光滑水平桌面上小孔o，绳一端系有一质量为m小球。开始时小球以角速度

o绕孔o作半径r匀速圆周运动，现在向下迟缓拉绳，求半径从r变为r/2过程中拉力功。由动能定理，拉力功为第27页解：(1)对杆和两小球组成系统：因为有摩擦外力矩存在碰撞过程中好象角动量不守恒。但因为碰撞时间极短，摩擦外力矩与杆和两小球碰撞过程中内力矩比较起来，完全能够忽略，系统角动量仍守恒。.ommvv例：如图，粗糙水平桌面上，有一长为2L、质量为m匀质细杆，可绕经过其中点且垂直于杆竖直光滑固定轴O自由转动，杆与桌面间摩擦系数为µ，起初杆静止。桌面上有两个质量均为m小球，各自在垂直于杆方向上，正对着杆一端，以相同速率v相向运动，并与杆两端同时发生完全非弹性碰撞(设碰撞时间极短)。求：(1)两小球与杆刚碰后，这一系统角速度为多少？(2)杆经多少时间停顿转动？(不计两小球重力造成摩擦力矩）第28页解得其中(2)摩擦力矩为dmOxdxfr由

=

o+

t得：

oR/2例：匀质园盘(m、R)与一人(m/10,视为质点)一起以角速度

o绕经过其盘心竖直光滑固定轴转动，假如此人相对于盘以速率v、沿半径为R/2园周运动(方向与盘转动方向相反),求:(1)圆盘对地角速度(2)欲使园盘对地静止，人相对园盘速度大小和方向？第29页(1).外力(重力和轴支撑力)对转轴力矩为零，所以系统角动量守恒，于是有：R/2解：系统：圆盘+人。系统角动量守恒吗？否！角动量守恒定律只适合用于惯性系。

所以应用角动量守恒求解问题时，应代入人相对于惯性系(地面)角速度。解出(2)欲使盘静止，可令得负号表示人运动方向与

o方向相同第30页例：在光滑桌面上，有一质量为M、长2l细杆，质量为m、速度为v0小球沿桌面垂直撞在杆上，设碰撞是完全弹性求：碰撞后求和杆运动情况以及什么条件下，细杆运行半圈后又与小球相撞？解：设碰撞后小球、杆质心速度分别为v1、v2，杆绕质心角速度为

，选择小球、杆为系统。动量守恒角动量守恒(以杆质心为参考点)动能守恒细杆绕质心转动转动惯量：第31页联立求解上述方程组欲使细杆运动半圈后与小球再次相碰，须使(即二者运动一样快)，条件为：M=2m

讨论：A.对于现有平动，又有转动物体，将其运动分解为质心平动和刚体绕过质心轴转动。利用动量定理时，刚体能够看作为质量全部集中于质心质点。

B.细杆与小球相碰后，首先，细杆以质心速度v2平移，同时，细杆绕质心转动。

第32页例：质量、半径相同a.圆柱b.薄球壳c.球体从相同光滑斜面相同高度由静止无相对滑动下滑。求：质心所取得速度解：将地球、斜面、m看作为系统，由机械能守恒无滑动条件对a对b对c质心取得速度分别为第33页例：光滑水平面上，有一轻弹簧，倔强系数为k=100N/m，一端固定于O点，另一端连接一质量为m=1kg滑块，如图所示。设开始时，弹簧长度为l0=0.2m(自然长度),滑块速度

v0=5m/s,方向与弹簧垂直。当弹簧转过900时，其长度l=0.5m求：此时滑块速度v大小和方向。

vOl0lv0d解得v=4m/s，

=300解：对滑块运动有影响力只有弹力，故角动量和机械能守恒第34页例：一质量为m、长为l均匀细直棒可绕其一端且与棒垂直水平光滑固定轴o转动。开始时，棒静止在竖直位置求：棒转到与水平面成

角时角速度和角加速度。由此得解：

棒在转动过程中，只有保守力(重力)作功，故机械能守恒。取水平面为零势面，于是有讨论：本题也可先由

求出，再用

积分求Chc

O第35页例：如图，有一由弹簧、匀质滑轮和重物M组成系统，该系统在弹簧为原长时被静止释放。运动过程中绳与滑轮无滑动求：(1)重物M下落h时速度；(2)弹簧最大伸长量。hMmrk零势面由此解得：解：(1).系统在运动过程中只有保守力——重力和弹性力作功所以机械能守恒：(2).弹簧伸长最大时，M速度应为零。上式中令v=0，得弹簧最大伸长量为：第36页解：(1).杆+子弹：竖直位置，外力(轴o处力和重力)均不产生力矩，故碰撞过程中角动量守恒：2l/3mv0oA

解得(2)杆在转动过程中显然机械能守恒例：长为l、质量为M匀质杆可绕经过杆一端水平光滑固定轴o转动，开始时杆竖直下垂，如图。有一质量为m子弹以水平速度射入杆上A点，并嵌在杆中，oA=2l/3求：(1)子弹射入后瞬间杆角速度：(2)杆能转过最大角度

第37页由此得例：空心园环可绕光滑竖直固定轴AC自由转动，转动惯量为Io,半径为R，初始角速度为

o

。质量为m小球静止在环最高处A点，因为某种扰动，小球沿环向下滑动求：小球滑到与环心O在同一高度B点时，环角速度及小球相对于环速度各为多少。(设环内壁和小球都是光滑，环截面很小)ABOR

0解：系统运动过程中只受到重力作用，重力不产生力矩，故角动量守恒；显然机械能也守恒。(1)(2)第38页上式中v是小球相对于地速度，它应为vB表小球在B点时相对地面竖直分速度(相对于环速度)

由(2)得由(1)得环角速度为ABOR

0第39页§1-4．１简谐振动普通概念一.简谐振动运动学方程

一质点沿x轴作直线运动，取平衡位置为坐标原点，若质点对平衡位置位移(坐标)x随时间t按余弦改变,即则称质点作简谐振动(谐振动)。上式称为振动方程。上式中:A,,为谐振动三个特征量,均为常量。x=Acos(t+)xmko(平衡位置)x第40页x=Acos(t+)三.谐振动特征A

—振幅

(对平衡位置最大位移绝对值)。

—角频率

—初相(t=0时相)。等幅振动，A不变；周期振动，x(t)=x(t+T)。(t+)—相(位相，相位，周相)。二.三个特征量周期振动，x(t)=x(t+T)。T表示完成一次全振动所需要时间

表示一秒完成全振动次数第41页加速度：四.质点振动状态完全由相位确定x=Acos(t+)质点简谐振动状态由下面两个物理量确定：速度：显然，它们都是谐振动。,

m=A,

am=2A显然，它们由相位唯一确定。第42页1.解析法：角频率

由谐振系统确定。对弹簧振子：§４-2简谐振动描述

!

振幅A和初相

由初始条件(即t=0时刻物体运动状态)来确定：当t=0时，xo

=Acos

o

=-

Asin

=-

Asin(t+)x=Acos(t+)x=Acos(t+)第43页

ox例题

求简谐振动质点初相

。

(1)t=0时，质点经过平衡位置正向x轴正方向运动,则=3/2(或-/2)。

(2)t=0时，xo=A/2，质点正向x轴负方向运动,则=xo

=Acos

(3)t=0时，质点正向x轴正方向运动,则

=/3。5/45/4or-3/4简谐振动速度上负下正旋转矢量在x轴上方，对应简谐振动速度小于零。注意：平衡位置平衡位置/3AA第44页如图所表示,取平衡位置为坐标原点，物体对平衡位置位移为x时,所受弹性力为xmko(平衡位置)x式中:k为弹簧倔强(劲度)系数;负号表示力与位移方向相反。依据牛顿第二定律，物体在此弹性力作用下力学方程是４．3.１简谐振动动力学方程第45页上式就是简谐振动动力学方程。

简谐振动动力学方程描述是简谐振动普遍规律.

注意:研究简谐振动时,坐标原点只能取在平衡位置。平衡位置:

ox(原长)m(平衡位置)k

这个方程解为x=Acos(t+)这正是简谐振动运动学方程。第46页x=Acos(t+)

=-

Asin(t+)振动势能：振动动能：

对弹簧振子(任何一个谐振动也都能够等效为一个弹簧振子)，有

k=m

2=恒量

总能：４．4简谐振动能量ox(原长)m(平衡位置)k第47页

(1)由上面能够看出,谐振系统动能和势能都随时间t作周期性改变；而且,动能和势能周期为其振动周期二分之一。势能最大时,动能最小;动能最大时,势能最小。但系统总机械能守恒。(2)平均势能：平均动能：=恒量第48页(3)振动势能与弹性势能普通是不相同。振动势能：其中x是对平衡位置位移。弹性势能：其中x是弹簧伸长量。例xo(原长)(平衡位置)xmxomxo(原长)(平衡位置)x第49页一.同频率平行简谐振动合成分振动：x1

=A1cos(t+1)x2

=A2cos(t+2)合振动：

x=

x1+x2=A1cos(t+1)+A2cos(t+2)

利用三角公式或旋转矢量可求得合振动:x=

x1+x2=

Acos(t+)

(1)可见，合振动仍是同频率谐振动。(2)合振动振幅和初相,用旋转矢量求得:§4-5简谐振动合成第50页

由余弦定理，合振动振幅为合振动初相：M1A1

1MA2xoωA

A2

2M2x=

x1+x2=

Acos(t+)x1

=A1cos(t+1)x2

=A2cos(t+2)(

2-

1)(

2-

1)

2A1cos

1A2cos

2A1sin

1A2sin

2第51页

(3)合振动强弱,取决于两分振动相位差：=2-

1=2k,k=0,±1,±2,…,A=A1+A2,加强=(2k+1),k=0,±1,±2,…,A=|A1-A2|,减弱......=x1

=A1cos(t+1)x2

=A2cos(t+2)x=

x1+x2=

Acos(t+)第52页

例题如图，有一光滑水平面上弹簧振子，弹簧倔强系数k=24N/m,物体质量m=6kg,静止在平衡位置。设以一水平恒力F=10N向左作用于物体，使之由平衡位置向左运动了s=0.05m,此时撤去外力F。取物体运动到左方最远处开始计时，求：(1)物体运动方程;(2)何处Ek=Ep?解(1)

A=0.204=x=0.204cos(2t+

)m振动能量起源于外力功:smFkxo第53页(2)何处Ek=Ep?(A=0.204)xmFkxo第54页

例题两个同方向、同频率谐振动合成后，合振幅A=20cm,合振动与第一个振动相差为

/6,A1=17.3cm,求：(1)A2=?(2)两振动相差(

2-

1)=?

解直接用下述公式是无法求解：A1=17.3

1A=20

/6A2xo=10cm

此题宜用旋转矢量法求解。由图,用余弦定理得：A2

2第55页用正弦定理有：

因A=20,A2=10,由上式可求出：(

2-

1)A1=17.3

1A=20

/6A2xoA2

2第56页

m=A=,A=2.