7.1-Navier-Stokes方程的解省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

高等流体力学7Navier-Stokes方程解(第1部分)

第1页7Navier-Stokes方程解因为Navier-Stokes方程含有非线性项，而数学上至今还未找到求解非线性偏微分方程普遍方法，所以Navier-Stokes方程无普通准确解法。不过，对一些物理现象简单流体流动问题，能够取得Navier-Stokes方程准确解。第2页7Navier-Stokes方程解非线性是求解Navier-Stokes方程主要困难所在，据此，能够将求Navier-Stokes方程准确解问题分成两大类：第3页7Navier-Stokes方程解①依据流动问题性质，能够使Navier-Stokes方程中非线性项全部消失，控制流体流动Navier-Stokes方程变成线性方程，于是便能够求出这一线性方程准确解，这类问题通常是不可压缩流体流动，其流线形状事先易于假定；第4页7Navier-Stokes方程解②依据流动问题性质，即使保留有非线性项，但它形式简单，Navier-Stokes方程成为简单非线性偏微分方程，从而求得其准确解。

(比如：经过坐标相同变换方法，将简单非线性偏微分方程化为常微分方程，然后求得其准确解。)第5页7Navier-Stokes方程解自1887年Navier-Stokes方程发表后，人们在很长一段时间中一直探索着Navier-Stokes方程准确解。然而，从20世纪50年代起，人们就不怎么热心于寻找Navier-Stokes方程准确解了。主要原因有三个：

第6页7Navier-Stokes方程解①Navier-Stokes方程存在固有非线性问题，使得数学求解十分困难；②自1904年Prandtl提出边界层理论以后，许多粘性流体流动问题能够采取近似理论来处理；③伴随大型电子计算机出现和不停升级，使得Navier-Stokes方程数值求解成为可能。第7页7Navier-Stokes方程解讨论Navier-Stokes方程准确求解，目标有：①能使学习者对流体力学发展历程中若干经典解法有所了解，以利于开阔处理流动问题思绪；②能使学习者对一些粘性流体流动问题及其基本特征有所了解，或许有利于求解较为复杂流动问题；③有时能够用这些准确解来检验某种近似解法准确性与适用性。

第8页7Navier-Stokes方程解Navier-Stokes方程准确解仅限于层流问题，湍流问题不可能有准确解。第9页7.1平行流动

不可压缩流体平行流动是最简单一类流动，它只有一个不为零速度分量，全部流体质点都沿同一个方向运动。在直角坐标系中，假如把流体运动方向取作x轴，那么，由连续性方程得即：运动速度u与坐标轴x无关，

第10页7.1平行流动

为方便起见，忽略质量力，X＝Y＝Z＝0，将此代入N-S方程y、z方向项：

得到

第11页7.1平行流动

可见，压强与坐标轴y、z无关，只是坐标轴x函数

将上述式子代入N-S方程x方向项，得

这就是不可压缩流体平行流动线形二阶偏微分方程。

第12页7.1.1Couette剪切流

设有两无限大平行放置平板，两板相距h。下板固定，上板以向右速度U作匀速直线运动，以下列图所表示。取x轴与下板重合，y轴垂直于板面，z轴则垂直于纸面向外。oUzxyhμ第13页7.1.1Couette剪切流

按不可压缩流体定常平行流动考虑。因为平板无限宽，所以流体流动速度在z方向上改变率为零，即，，N-S方程x方向项简化为

对应边界条件为

y＝0，u＝0

y＝h，u＝U第14页7.1.1Couette剪切流

方程左侧项是坐标x函数，而右侧项是坐标y函数，方程成立条件就是

常数有

积分，得

第15页7.1.1Couette剪切流

由边界条件y＝0，u＝0，得C2＝0

y＝h，u＝U，得所以

无量纲速度式中：第16页7.1.1Couette剪切流

流体经过某断面单宽流量为

由此能够看出，上述流速分布由dp/dx＝0时流速分布及U＝0,dp/dx≠0时流速分布叠加而成。下列图给出了不一样压强梯度(图中用不一样B表示)下流速分布。

第17页7.1.1Couette剪切流

-0.200.20.40.60.81.01.21.4-0.40.20.40.60.81.0B＝-3-2-10123u/Uy/hCouette剪切流速度分布第18页7.1.1Couette剪切流

①当B＝0即时，为零压强梯度下平行平板Couette剪切流，流速呈线性分布；

②当B>0即时流动称为顺压强梯度流动，压强沿流动方向逐步降低，顺压梯度流动u>0；

③当B<0即时流动称为逆压强梯度流动，逆压强梯度流动有可能出现回流；第19页7.1.1Couette剪切流

④当B＝-1即时逆压梯度流动是不产生回流极限情况；

⑤当B<-1即时逆压梯度流动开始产生回流；

⑥当B<-3即时，Q＝0，逆压梯度对流动回流作用与上板拖动形成流量相平衡。

第20页7.1.2Poiseuille流动

Poiseuille流动是指顺压梯度推进槽内、管内不可压缩粘性流体流动。

(1)不可压缩粘性流体经过槽内定常流动

xy2bu

(y)

u

max

oPoiseuille流动第21页7.1.2Poiseuille流动

(1)不可压缩粘性流体经过槽内定常流动

上图为不可压缩粘性流体经过二维槽内定常流动，z方向为无穷长。流动基本方程为对应边界条件为

y＝b，u＝0

y＝-b，u＝0积分，得第22页7.1.2Poiseuille流动

(1)不可压缩粘性流体经过槽内定常流动

由边界条件y＝b，u＝0，得

y＝-b，u＝0，得解得

C1＝0；所以第23页7.1.2Poiseuille流动

(1)不可压缩粘性流体经过槽内定常流动

流速分布为抛物线型。最大流速出现在两板中心处(y＝0)单位宽度槽内流量为

断面平均流速为

第24页7.1.2Poiseuille流动

(2)充分发展圆管层流流动

管道内部流动是N-S方程准确解中最具实际意义流动之一。因为粘性流体在管道入口一段距离内存在着边界层发展过程，流速在剖面上分布是沿程改变，下面只研究入口段以后充分发展了管内层流流动。

充分发展圆管层流流动u

(r)

xrr0

o第25页7.1.2Poiseuille流动

(2)充分发展圆管层流流动

采取圆柱坐标系(r,θ,x)，ur＝0，uθ＝0，只有x方向流速ux＝u(r)不为零。

由连续性方程

可得

第26页7.1.2Poiseuille流动

(2)充分发展圆管层流流动

流动N-S方程可写为

由上述可知，压强p只与x坐标相关而与(r,θ)坐标无关，p＝p(x)第27页7.1.2Poiseuille流动

(2)充分发展圆管层流流动

这么便得

等式左侧项是坐标x函数，而右侧项是坐标r函数，由此可见dp/dx只能是一常数。第28页7.1.2Poiseuille流动

(2)充分发展圆管层流流动

积分，得

在圆管轴心处(r＝0)，因为du/dr≠

，所以r·du/dr＝0，从而C1＝0。再积分，得利用边界条件：r＝r0，u＝0，得

第29页7.1.2Poiseuille流动

(2)充分发展圆管层流流动

流速分布公式为

最大流速出现在管路中心处(r＝0)管内流量为

第30页7.1.2Poiseuille流动

(2)充分发展圆管层流流动

断面平均流速为

这就是不可压缩粘性流体圆管内充分发展层流N-S方程准确解。它只适合用于圆管层流，即Re＝Vd/ν

<

2320。

第31页7.1.2Poiseuille流动

(2)充分发展圆管层流流动

考虑水平放置等径直圆管，Bernoulli方程可表示成沿程水头损失为而

第32页7.1.2Poiseuille流动

(2)充分发展圆管层流流动

所以或其中：第33页7.2运动平板引发流动

7.2.1突然加速平板引发流动

设有一无界(无限长、无限宽)平板，其上部无限空间充满静止不可压缩粘性流体，初始时刻(t＝0)平板与流体都处于静止状态。某瞬时平板由静止突然加速，在本身平面内以速度U0作等速运动，并带动平板上部流体运动。此流动问题由斯托克斯(Stokes)于1851年提出并给出解答，所以称为斯托克斯第一问题。第34页7.2.1突然加速平板引发流动

在平板起动瞬时，只有粘附在平板上流体质点取得速度U0而与平板一起运动，流场其余部分仍处于静止状态。伴随时间增加，平板上方流体被逐层牵连而产生平行于无限大平板运动。xoyU0突然加速平板引发流动xoyU0t1t2t3t4t1<

t2<

t3<

t4平板附近流动第35页7.2.1突然加速平板引发流动

突然加速平板引发流动能够看成平面二维流动：uz＝0，

/

z＝0；和平行流动：uy＝uz＝0。由平行流动连续性方程，得

所以

ux＝u(y，t)因为平板为无限大，在x方向为无限长，所以能够认为流动参数沿x方向不变，即

/

x＝0。

第36页7.2.1突然加速平板引发流动

对于压强p，有

而利用y方向N-S方程，有

由此可知，在整个流动区域，压强p处处相等，为一常数。

p＝p

＝Const.第37页7.2.1突然加速平板引发流动

x方向N-S方程可表示为

这就是突然加速平板引发非定常流动基本方程，N-S方程中非线性项全部消失，控制流体流动方程变成线性方程。该方程定解条件为初始条件：t＝0，u＝0(

y≧0)

边界条件：y＝0，u＝U0

(

t

>0)

y

，u＝0(

t

>0)

第38页7.2.1突然加速平板引发流动

上述方程与有两个自变量(y，t)经典热传导方程形式相同，数学上有不少方法能够用来求解这类方程，现采取相同变换法进行求解。

引入无量纲自变量(相同变量)和无量纲速度

由此可得

第39页7.2.1突然加速平板引发流动

x方向N-S方程变为或者这么，偏微分方程变成了常微分方程。上述方程边界条件：

＝0，f(

)＝1；

，f(

)＝0。

第40页7.2.1突然加速平板引发流动

积分上述常微分方程

再进行定积分利用边界条件：

＝0，f(

)＝1；

，f(

)＝0，得第41页7.2.1突然加速平板引发流动

所以得到无量纲速度函数或者上述式子中积分之比称为误差函数(errorfunction)，用erf(

)表示。

第42页7.2.1突然加速平板引发流动

因为存在以下极限所以流速分布可表示成1-erf(

)称为赔偿误差函数，用erfc(

)表示。第43页7.2.1突然加速平板引发流动

下列图为无量纲速度分布曲线。左图为u/U0随

改变一条曲线；右图绘出了u/U0随y改变关系曲线，其在各个时刻速度分布曲线不一样，是一簇曲线。由此可见，经过相同变量把一簇曲线变成了一条曲线。

第44页7.2.1突然加速平板引发流动

突然加速平板引发流动无量纲速度分布u/U000.20.40.60.81.00.40.81.21.62.02.42.83.23.64.0

t=

11/21/41/8yu/U000.20.40.60.81.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0

第45页7.2.1突然加速平板引发流动

分析右图可知，在距平板一定距离某固定点上，流体速度是随时间增加而增加，当初间t

时，流体才和平板有相同速度U0；在某固定时刻，流速是随距平板距离y呈误差函数规律而衰减，在距板面无穷远处(y

)流速降为零。从左图中能够看出，

愈大，u/U0愈小，当

＝2时，u/U0≈0，即u≈0。第46页7.2.1突然加速平板引发流动

所以，能够认为粘性作用显著区域仅限于板面附近，定量地认为，流体粘性作用仅局限在

＝2边界限以内，由此可得粘性影响边界层厚度y

粘性影响边界层厚度与运动粘性系数和时间之和平方根成正比。这一结果也表明，离开平板以外地方，流体几乎不动了。

第47页7.2.1突然加速平板引发流动

平板璧面上切应力

因为

第48页7.2.1突然加速平板引发流动

平板面上局部摩擦阻力系数(当地阻力系数)Cf为

若令

则有

由此可见，阻力系数Cf与雷诺数Re平方根成反比。第49页7.2.2周期性振动平板引发流动

设有一无限平板在本身所在平面内作简谐振动，经过粘性而带动周围原来处于静止流体形成流动，也称为斯托克斯第二问题。振动平板引发流动xoyU0cosωt第50页7.2.2周期性振动平板引发流动

如上图所表示，x轴位于平板上，y轴与平板壁面垂直。振动平板引发流动一样能够看成平面二维流动：uz＝0，

/

z＝0