2025高考数学专项复习：指对同构问题 讲义

2025高考数学专项复习指对同构问题讲义

指对同构

-.指对同构的原理

先取指数再取对数：x—/―lnex;

先取对数再取指数：x-Inxfelnx(x>0).

指对互化，再结合经典导数构造类型，就是所谓的指对同构，其本质就是导数构造的一种类型.

二.指对同构的类型

(1)朗博同构：f(t)=e'-t-\>0,令f=x+alnx,得到x"二常"111*2x+aInx+1,上面的才可以

随意换元，但是有些不一定能取等比如f=x-21nx,lnx<」x这个就取不了等，书写过程一定要按照

2

构造函数的形式，稳拿满分.常见的类型：

xex=ex+inx>x+lnx+l

—=e*-R*>x—Inx+1

X

x

=二/-3fx—31nx+l

<x

aex=ex+lna>x+\na+l

—=ex-ta,,>x-lna+l

a

x2ex=ex+2inx>x+21nx+l

(2)同形构造：主要是六大同构函数引发的构造问题，注意指对分离，一边对数一边指数，

一边含参一边不含，常见的处理方法，两边同时加减工,Q,等等，再结合单调性和定义域基

本都可以解决了.

exxInxx

xe;xlnx;—;----

xexInx

xx

x+e,x+lnx,e-x9x-Inx

qeY(lnb)*.........f(x)=xex

积型：aea<b\nb<a+\na<ln/)+ln(in/?)---/(x)=x+lnx

ea\nea<b\nb./(x)=xInx

ainb/W=7

eab

商型:—W-----vtz-Ina<ln/>-(x)=x-Inx

aIn6

............./W=iZ7

ea±a>elnb±lnZ?---/(x)=ex±x

和差型：e°±aN6±lnb<

ea±lnefl>/?±In/?•••/(x)=x±Inx

⑶差一同构：最明显的一种构造形式，包含e，,ln(x+l),也是由朗博函数引发的构造类型,

由两大指对跨阶不等式构成:

f(x)=ex-x-llf/(x)V(ln(x+l))>0

/(x)=eA-x-l,(0,+co)f<

/(ln(x+1))=x-In(x+1)[/(x)-/(ln(x+1))>0

—In(x+1)>1=>eA-ln(x+m')>2—m

=><

ex+ln(x+1)>2x+1

(4)反函数性质构造:

①若/(x)+x单调，则〃X)Z/T(x)恒成立等价于"x)2x恒成立;

।I/(x)=j/

②〃%)=/T(X)的解可以等价于/(X)=X的解与仁的解的并集

l/(y);

③反函数和关于歹二X对称的函数的交点

/W与/T(X)关于V=X又寸称，若g(x)=gT(x),贝I/(x)=g(x)的解X］和(x)=g(x)的解々关于〉=%

—%TYI

对称，此时<,g(X)=冽-％时，阳+工2=加为定值；②g(X)=一时，演%2=加为定值.

@y=ax与y=log；的交点的个数判定

0<a<j时，3个交点

(34°<1时，1个交点

l<a<e；时，2个交点

°=’时，1个交点

0>《时，0个交点

讨论y=与y=log：图像交点的个数(标答需要零点找点处理).

InV

ax=log：=^>ax=---=>ax]na=Inx=>axlnax=xlnx

—\na

构造g⑺=Hn，=>g=g(x)

Inx

当。>1时，必有优=、=>In。"=lnx=>xln6z=lnx=>Ina=---

x

11

0<Intz<—l<a<ee,两个交点

e

11-

e

]na=—=>a=e9一^交点

e

11―

\na>—=>a>ee,零个交点

e

当0<Q<1时，由图像可知优二工相等时必有一个交点，若存在另外的交点则有ax=%户=，2(。>4)，

2n

得：a=九。"=t2=^>t2\na=ln^,^\na=\nt2n\na=<*<―)<_g,

%+，22dtit21印2

可得：0<a<(工],t[t2<也<一.

\e)ee

mnm

下面证明：txt2<,txInZj=Z2In=>—==—(0<m<1)=>InfzJ=*

et2InZjm1—m

./xInmi/、l+冽1/八r\-I

In(t)=----=>In(AL)=-----In^(0<m<l)<-2=>tt<—.

2\-m\-m12e

当4=马时，此时就是优=X

综上：时，3个交点；|-j4a<1时，1个交点.

⑸函数保值性定理

a2+|b|+c>0

因为@2>of\b\>0,这时C叫做余量，所以当C>

0时，此式子恒成立，当cVO时找矛盾点或者

矛盾区间.

g(x)+ax>0应(%)>。，在x=久0处取等

①当。之0时，式子恒成立；

②当a<0时，在％=%。处与已知矛盾.

2)矛盾区间(同端点效应)

/i(x)=g(%)+ax,有/i(0)=g(0)+0=0

此时当a<0,时无法判断g(口与ax大小关

系，所以无法用矛盾点证明矛盾.

分析l(x)=g，(x)+a

h(0)<0,左(%。)>0,3(%)单调递增

存在％1E(0,XQ),XG(0,%D使h(%)<0

力(%)在(0,%1)上单调递减,/i(0)=0

<h(0)=0,与已知矛盾.

下面给出两个例题矛盾点和矛盾区间的书写过程，小题不需要，大题一定要注意过程的满分性.

已知/(%)=xex—ax—\nx>l,xG(0,+8)恒成立，求a的范围.

解：/W=xex—ax-\nx>1,ex+lnx-(%+In%)-1+(1-a)x>0

1n

h(x+In%)>0(考试时需自行证明),当/+lnx0=O(xo>0)时/+瓶—(x。+lnx0)-1=0.

①当a41时式子恒成立;

②当a>1时，必存在一个/且/+lnxo=0(%>0)使/产1n与一(％+lnXo)-1+(1-Q)/<0与已知矛盾.

综上：a<1.

已知e"+(x+l)ln(x+1)>6zx2+(q+l)x+l在时恒成立，求a的取值范围.

解：+(x+l)ln(x+1)>(ax+l)(x+1),->+1-In(x+1),ex~^x+^>x-ln(x+l)+l+(a-l)x,

构造〃(x)=/皿川)-x+ln(x+1)-1+(l-a=g(x-In(x+1))+(l-q,,g(x-ln(x+1))>0(自证)，

①当a<l时式子恒成立；

②当时，h(x)=g(x-In(x+1))+(1-(2)x,=g，(x)+1—〃，1(0)=1-Q<0,单调递增,

在xw(0,+oo)上，必存在一个王使〃'(芭)=0,则〃(x)在(0,占)单调递减，力(西)〈〃⑼=0,矛盾.

综上：a<1.

⑹同形异构(多条切线放缩结合保号性，技巧性太强仅供了解)

已知函数/(%)=%—(a+1)ln%,aER,当a=2e时，+TH+/(%)20恒成立，求实数m取值范围

解：原式等价于a+m%_(2e+1)Inx+%+zn20,即

e[e%+in*-i—(x+In%—1)—1]+(e+l)x—(e+l)lnx—(e+l)+e+l+m>0,

即eh(x+In%—1)+(e+l)/i(lnx)+e+l+m>0,

因为e/i(x+Inx—1)>0(x0=1时取等)，且(e+l)/i(lnx)>0(%0=1时取等)(考试时需自行证明)

故需满足e+l+mNO即m>—e—1,

当e+1+zn<0时，则e/i(x0+lnx0—1)+(e+l)/i(ln%0)+e+l+m<0,与已知矛盾

综上：nr之一e—1.

三.指对同构的处理技巧(指对分离，系数上头，朗博加减，定义取等)

①：指数对数分离两边，/系数上头

②：先朗博后加减乘除

③：注意定义域，验证取等条件

典例精讲

例1(2017沈阳市一模)当x>0时，证明(/-1)111(》+1)>/恒成立.

【参考答案】

【解法1】指对同构皿x+,构造g(x)jMx+l)单调递减,因为：了</一1,

xex-\ex-]x

所以：g(x)>g(e*-l),原不等式得证.

【解法2】利用飘带函数x>l,lnx>空二Dnln(x+l)>2L(x>0),要证原式成立，可证：

x+lX+1

121

2?2]—X+X+1

ln(x+l)>^—,即证：^>^-^ex>-x2+x+l(x>0),利用指数找基友^~-——<1,可证.

e1x+1e12e

a

例2(2021-T8大联考)已知函数/(x)=ae*+ln---------2(a>0),若/(x)〉0恒成立，则实数a的

取值范围.

【参考答案】

【解法1】朗博同构+同形构造ae'+ln/--2>0,a/>ln叶2+2

x+2a

xx+jna

ae+Ina>In(x+2)+2,e+%+lna>ln(x+2)+(x+2)

令g(x)=e，+x,,「g(x)单调递增,「.g(x+Ina)〉g[ln(x+2)],x+Ina〉ln(x+2),Ina〉In

x+2x+2

a>----=e2-----,a>e

exex+2

【解法2】朗博同构+切线放缩

f(x)=aex+In―^--2=d111。+Ina-ln(x+2)-22x+lna+l+lna-ln(x+2)-2

=x-ln(x+2)+21nq-1>x-(x+2-1)+2lna-1=21ntz-2>0,:.a>e

【解法3】反函数性质构造：aex+\n——一2>0,a/-2>ln正2，令y=ln卫2

x+2aa

x=ln空y+2=aex,y=aex-2,a/-2与互为反函数，利用反函数性质秒杀可得:

aa

x_x+22x+2

ae-2>xfa>----=e---x-+2-,a>e.

xxx+x+

【解法4】同形构造Qe*+ln-----2>0,ae>In“>+2,ae>In(^)?>—In(^)

x+2aaaa

222

e(x+2)//(x+Z)皿e?(x+2)+x+2>e(x+2)^e(x+2)，令8卜)=合...g(x)单调递增,

aaaa

/、「/(x+2)e2(x+2)/(x+2)

.\g(x+2)>gIn—-----x+2>In-----,a>------,:.a>e.

aex+2

例3(2020-新高考山东卷)已知函数〃x)=ae*T-lnx+lna

⑴当“=e时，求曲线y=/(x)在点(1,/⑴)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积;

⑵若/(x)Nl,求a的取值范围.

【参考答案】

【解法1)朗博同构+同形构造*hl“T-lnx+lnaNl="+In"T+x+lna-lNx+lnx=lnx+eIn*

x+\na-l>Inx=>]na>]nx-x+l=>«>1.

【解法2】同形构造q/T-Inx+lnq-120,

即ae->lnf—x/>—Inf—=Inf竺］x>Inf—tz>1;

\a)a\a)\ci)\a)e*

【解法3】隐零点代换(略).

【解法4】反函数性质构造：—>ln—,只需：—>x,即可.

eaeex

【解法5】异形构造：变形为：a(ex~'-x)+—-1-ln—+|6Z--|x>0,只需。一420=>421

形如：tzf(x)>0+g(x)>0+/z(tz)x>0,只需〃(q)20处理即可，/(%)20,g(x)20在x=1时满足取等，

也可：a(ex~x-x)+(x-lnx-l)+(d；-l)x+ln«>0,结合保号性和切线放缩(需要证明)，就可以快速凑

出结果，技巧性太强，书写过程需要证明，最后可能会丢失一部分分数，在此仅仅是为大家提供一种思

路和方法.

例4(百时教育高中数学组原创题)对任意实数x>0,不等式2碇2，-111》+山。^0恒成立，则。的取值范

围为__________

【参考答案】

1yy|

【解法1】反函数性质同构ae2x>一ln—=>ae”>x^a>-^-=>a>一

2aelx2e

2x12x、X1X2x、X、X、1

eIne>—In—=>e>—=>~ci>——

aaae2e

【解法2】同形构造2旄2,2土In土

aaXIn—xx1

2xe2x>ln—ea=>2x>ln—=>d!>—：—^>a>——

aae2e

【解法3】朗博构造+同形构造

2xin2a+2xb2x

2ae>In2x-In2a=>e+In2tz+2x>In2x+2x=e+In2x=>1112a+2x>ln2x

=>In2Q2In2x_2x=>In2。2-1nQ2—

2e

【解法4】朗博同构

2ae2x>\n2x-\n2a^ein2a+2x-\n2a-2x-l>\n2x-2x-21n2a-l^0>\n2x-2x-2\n2a-l

2In2tz>In2x-2x-1=>2In>-2=>«>—

2e

【解法5】同形构造

2xe2>—In—=>2x+In2x>In-I-InIn—\=>2x>In—=>e>—=>a>—a>—

aaa\)aae必

【解法6】异形构造

e2x+ln2a-2x-ln2a-l+2x-ln2x-1+21n2a+2>0,只需21n2a+220na22

2e

不建议使用异构的方法，对于保号性以及涉及的切线都需要证明，配凑的过程技巧性太强，为了构而构,

背离了，我们研究导数同构的初衷，这点必须认清.

例5(27中学期中考试)设实数2>0,若对任意的xe(0,+oo),关于x的不等式加八-Inx20恒成立,

则2的最小值为.

【参考答案】

【解法1】反函数性质同构2Lnx,只需才2x即可，得到叱叱，

Axe

【解法2】同形构造4e"之,令g(x)=xe",.g(x)在(0,+oo)单调递增,

#g(2x)>g(lnx),得到42生二，.\2>—.

xe

例6(2021•名校调研)已知函数/(%)="'-"，若x20时，/(-x)+ln(x+l)>l,求实数〃的取值

范围______________.

【参考答案】

【差一，同构】/(-x)+In(x+1)>1,得到屋+办+ln(x+1)之1,变形得到:+In(%+1)>-ax+1,差一

-In(x+1)>1=>-ln(x+m)>2-m

同构v，只需—ax+1W2x+1=>Q之一2.

+ln(x+l)>2x+l

例7(试题来源于网络)关于x的不等式e"2eln(ex+q)+q恒成立，则Q的最大值为

【参考答案】

【解法1】反函数性质同构----->ln(ex+,只需-----即可，得到<0.

【解法2】同形构造e"〉eln(ex+a)+Q=>e"+ex2eln(ex+a)+ex+a,构造g(x)=e“+ex,单调递增,

g(x)>g(ln(ex+a)),只需x'ln(ex+a),得至L4e*-ex,a<0.

例8已知/(x)=xe?*-3e的零点为X],g(x)=xlnx+x-6的零点x?，则不％=.

【参考答案】

313

2Xi2x-1

【解法1】反函数性质同构xxe-=0=>e'=一lnx2+x2-6=0=>—Inex2=一，反函数图像性质

再2x2

3

可知关于y=x对称，得至4—=x=>XjX=3.

xP-22

xi再一

2xi

【解法2】同形构造再/再-1-3;；%2(in%+1)=3=>石/1-1-1-%2Qn/+1)=>2x{e=ex2lnex2,g(。=td,

vxnx

可得g(2xj=g(lnex2)，2玉=In/，~2(l2+1)=3,得到;％.2芯=3=>再工2=3.

2

例9(2020全国模拟)若实数a,6满足21僦+山(26)2三+46-2,贝!J().

A.a+Z?=y1~2,H—B.a-2b=y[2~-C.a2+b2>3D.a2-46<1

44

【参考答案】

2______2

【解法1】同构变形结合均值111(2/6)+22J+46oln亚商+12二+2b,由均值

24

«2

^-+2b>2.=2b

?-2b=J2a%,由Inf+l<t,三2a2b>InQ2a?b)+1;但且仅当\4时,

$2a2b=1

J2/6wln(J2a26)+IN—+26WJ2a2]中所有等号都成立,.-.J,,即选A.

4b=-

[4

【解法2】同构变形结合凹凸反转

22

lnx<x-l=>ln—<--l=>lnx<—+ln2-l=>lntz2<--Fln2-l=>lntz2-—<In2-1,此时。=血.

22222

Inx<x-1In4/J<-1=>In+In2<-1=>4/?-In-2>In2-1,此时6=」.

4

22]

21ntz+ln（2/>）>^-+46-2=>ln«2-^->4/?-In26-2,若不等式成立，必须相等，a=V2,/）=—.

22

【解法3】双元同构变形为：ln'-、+l+ln4b-46+120,构造g（。=In,7+1W0,当且仅当，=1时

a=V?

取等，得到g与+g（46）V0,.•.^•=1,46=1,1,即选A.

b=—

4

27

【解法4】主元法（g（a）,g（6）皆可）g（a）=21na+ln26-■-46+220,g，（a）=——a=0,a=V2,

g（应）=ln2+ln26-l-46+2=ln46—46+1N0,g（。=Inf-/+140,当且仅当，=1时取等，得46=1.

变式集力II

1.（2018年沈阳市一模）已知函数/（x）=a\nx-2x,若不等式/（%+1）>ax-2e”在x£（0,+oo）上恒成

立，则实数。的取值范围是（）

A.a<2B.（7>2C.a<0D.O<a<2

X（yX

2.（同泽12月考试题）当0时，----2〃ln（x+l）恒成立，则〃的取值范围是.

x+1

3.（同泽12月考试题）当x>0时，xe"-1一1一〃21nx恒成立，则a的取值范围是.

4.（2019省实验月考）Vx>0,x—++l恒成立，则6的取值范围是.

5.（2020武汉市二模）不等式/"—Qinx^x+l对任意x£（l,+oo）恒成立，则实数〃的取值范围

为.

6.（2020清华大学学业能力测试）已知不等式x+alnx+在xe（l,+⑹恒成立，则a的最小值

为.

7.（2020郑州市一模）已知函数/（X）=x-lnx-J,若/（x）+]x+,｝工-bx21恒成立，求6的取值范

围为•

8.（2020九师联盟三月模考）已知函数/（%）=£一"一"（〃£&）,若ln[e（x+l）]22-/（-x）在x£[0,+co）

上恒成立，求实数。的取值范围为.

9.（2020王后雄线上考试）任意x〉0,e2,-a-巫恒成立，求实数a取值范围是.

XX

10.（2021辽宁协作体高三模拟）

⑴已知函数/(x)=ax+l+lnx.对于任意x>0,不等式W工8恒成立，求实数a的取值范围

为.

⑵已知函数/(x)=Inx,g(x)=ex不等式〃z[g，"(x)+l]>2(x+—)/(x)对于x>0恒成立，求实数加的取

X

值范围为.

11.(2021三校三模理科12)若对任意实数xe(0,+8),不等式Ze?，-aln“-alnxNO恒成立，则实数a

的最大值为.

bx

12,(2020沈阳第三次模拟)已知函数/(%)=一在、=2处取得极值—.

ax2

⑴求函数“X)的单调区间；

⑵若不等式x2/(x)Nb+inx+l在xe(O,+a))时恒成立,求人的取值范围.

13.(2021衡水中学卫冕考试理21)已知函数〃x)=lnx-e'+(e"-l)x+a(aeR).

(1)当a=0时，证明不等式/(x)+2<0；

⑵若不等式/(x)40恒成立，求实数a的取值范围.

14.(2021高考冲刺模拟)已知函数/(x)=x-alnx,g(x)=工■一e+l,qER.

⑴讨论/(x)的单调性；

⑵若g(x)2/(x)恒成立，求1的值或者取值范围.

15.(2021•广州调研)已知函数/(x)=axex-ax-\(a^R^.

⑴当“=1时，求函数/(x)在处的切线方程；

⑵若时，/(x)Nlnx恒成立，求实数a的取值范围.

16.(2021•哈尔滨师范大学附中模考)已知函数/(%)=111(%-1)+4%2+%+1名(%)=(%_])/+4%2.

⑴当Q20,讨论g(x)零点的个数；

⑵证明：/(x)<g(x).

17.(2021,山东名校开学模考)已知函数/(x)=/+xlna(q>0),xG(0,1).

⑴讨论/(x)的单调性；

⑵若/(x)2a/lnx对任意、£(0,1)恒成立，求实数a的取值范围.

1.【参考答案】A.oln(x+1)-2(x+1)>QX-2e\g(x)=QX;g(in(x+1))>g[2In仅+1)要

求g(x)="-2e”单调递减，ci-2ex<0tz<2.

a<\.xe，2(x+l)ln(x+l),g(x)=xe，递增，g(x)2g(ln(x+l))n―(；："]))212a.

2.【参考答案】

3.【参考答案】Q40.ex+lnx-x-lnx-l>0>a,简单朗博同构处理即可.

x+]nx

4.【参考答案】b<2.e-x-lnx-l>2x>bx^b<2f简单朗博同构处理即可.

5.【参考答案】(-OO-3].ex-3hlx-(x-31nx)-l>0>(«+3)lnx=>a<-3.

6.【参考答案】一e.Inx-VN-x-""构造g(%)=Inx-x,(0,l)单调递增，g(力Ng"],

0<e-x<l,O<xfl<1,>e~xa>---na>-e.

Inx

XX

7.【参考答案】b<2.x-\nx--\-xex----fcx>1=>ex+hlx-(x+lnx)-l+(2-/?)x>0=>/><2.

8.【参考答案】[—2,+co).1+In(x+1)22—e'—ox=>e"+In(x+1)22x+12—QX+1=>—aV2,

aN—2.

9.【参考答案】(-oo,2].e2i+hlx-2x-