安徽省合肥市高三下学期第二次教学质量检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页安徽省合肥市高三下学期第二次教学质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∈Z|x+1>0}，B={x||x+1|≤3}，则A∩B=(

)A.{−1,0,1,2} B.{−1,0,1} C.{0,1,2} D.{0,1}2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(−1,2)，则复数5iz的虚部是(

)A.−1 B.1 C.−2 D.23.若空间中三条不同的直线a，b，c满足a⊥c，b⊥c，则a/​/b是a，b，c共面的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知向量e1=(1,0)，e2=(1,3)，设a=4e1A.π6 B.π4 C.π35.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，过顶点A作C的一条渐近线的垂线，交yA.3 B.2 C.3 D.6.已知tanθtan2θtanθ−A.925 B.35 C.17257.已知AB为圆锥PO的底面直径，O为底面圆心，正三角形ACD内接于⊙O，若PA=6，圆锥的侧面积为122π，则PA与BD所成角的余弦值为A.26 B.34 C.8.已知点A(−23,0)，C，D是⊙O:x2+y2=16与x轴的交点.点B满足：以A.43 B.8 C.12 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.从某校高一和高二年级分别随机抽取100名学生进行知识竞赛，按得分(满分100分)绘制如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图，并用频率估计概率.记高一年级学生得分平均数的估计值为x，高二年级学生得分中位数与平均数的估计值分别为y，z.从高一和高二年级各随机抽取一名学生，记事件M=“高一年级学生得分不低于60分，高二年级学生得分不低于80分”，事件N=“高一年级学生得分不低于80分，高二年级学生得分不低于60分”，则(

)

A.x<z B.y>z C.事件M，N互斥 D.P(M)=P(N)10.将函数f(x)=sin(2x−π6)的图象向左平移π6A.f(x)与g(x)的图象关于直线x=−7π4对称

B.f(x)与g(x)的图象关于点(4π3,0)对称

C.当x∈(7π3,8π3)时，f(x)>g(x)11.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)f(1−y)+f(y)f(1−x)=2f(x+y)，f(0)=1，则(

)A.f(2)=1 B.∃x0∈R，f(x0)<0

C.f(x)的图象关于点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知△ABC为锐角三角形，且AB=5，AC=6，△ABC的面积为66，则BC=

．13.已知函数f(x)=|x−a|−a+1,x>1x2−2ax+3,x≤1的最小值为−1，则a=14.如图，在4×4的方格中放入棋子，每个格子内至多放一枚棋子，若每行都放置两枚棋子，则恰好每列都有两枚棋子的概率为

．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且(1)求{an}和(2)求数列{anbn16.(本小题15分)

如图，三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都为2，∠A1(1)证明：平面ACC1(2)求CB1与平面AB17.(本小题15分)已知函数f(x)=(x−1)ex−ax−b，曲线y=f(x)在点(0,f(0))(1)求a，b的值;(2)讨论f(x)的零点个数，并证明所有零点之和为0．18.(本小题17分)已知抛物线Γ:x2=43y，⊙E:(1)求|PE|的最小值;(2)设点P的横坐标为2，过P作⊙E的两条切线，分别交Γ于B，C两点．(ⅰ)求直线BC斜率的取值范围;(ⅱ)证明直线BC过定点．19.(本小题17分)当前,以大语言模型为代表的人工智能技术正蓬勃发展,而数学理论和方法在这些模型的研发中,发挥着重要作用.例如,当新闻中分别出现“7点钟,一场大火在郊区燃起”和“7点钟,太阳从东方升起”这两个事件的描述时,它们提供的“信息量”是不一样的,前者比后者要大,会吸引人们更多关注.假设通常情况下,它们发生的概率分别是p=0.0001和p=0.9999,用ln1p这个量来刻画“信息量”的大小,计算可得前者约为9,后者接近于0.现在,假设离散型随机变量X的分布列为P(X=xi)=pi,0<pi<1,i=1,2,⋯,m.则称H(X)=i=1mp(1)若X的分布列为P(X=x1)=p,P(X=x2)=1-p,0<p<1.求H(X)(2)证明:eH(X)≤(3)若X~B(n,p),且n为定值,设H(X)=f(p),证明:f'(12)=0.

参考答案1.C

2.A

3.B

4.C

5.D

6.C

7.A

8.B

9.AB

10.ACD

11.ACD

12.7

13.±2

14.57215.解：(1)设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q，

则2a1+4d=2b1qa1(a1+2d)=b1q2，即3+2d=3q3+2d=q2，

因为q≠0，所以d=q=3，所以an=3n16.解：(1)设AC的中点为O，连接OB，OM，A1C.

因为M是AA1的中点，所以OM//A1C，

因为三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都为2，

所以四边形ACC1A1为菱形，所以AC1⊥A1C，

所以AC1⊥OM．

又AC1⊥BM，OM∩BM=M，OM，BM⊂平面BOM，

所以AC1⊥平面BOM，因为OB⊂平面BOM，所以AC1⊥BO．

又BO⊥AC，且AC∩AC1=A，AC1⊂平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，

所以BO⊥平面ACC1A1．

因为BO⊂平面ABC，

所以平面ACC1A1⊥平面ABC．

(2)连接A1O，由题意知A1O⊥AC，所以OB，OC，OA1两两垂直，

以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为X轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则O(0,0,0)，B(3,0,0)17.解：(1)因为f′(x)=xex−a，由题意得f′(0)=−1f(0)=−2，

所以a=1b=1．

(2)由(1)知，f(x)=(x−1)ex−x−1，所以f′(x)=xex−1，

令g(x)=f′(x)，则g′(x)=(x+1)ex．

所以当x∈(−∞,−1)时，g′(x)<0，即g(x)在(−∞,−1)上单调递减，

当x∈(−1,+∞)时，g′(x)>0，即g(x)在(−1,+∞)上单调递增，

又g(1)>0，g(0)<0，且当x<0时，g(x)<0．

所以存在唯一x0，使得g(x0)=0，

当x∈(−∞,x0)时，g(x)<0，即f′(x)<0，

所以f(x)在(−∞,x0)上单调递减，

当x∈(x0,+∞)时，g(x)>0，即f′(x)>0，

所以f(x)在(x0,+∞)上单调递增，

所以f(x)≥f(x0)，

因为g(x0)=0，即x0ex0=1(显然x0>0)，

也即ex0=118.解：(1)设点P(x0,y0)，则x02=43y0，

又E(0,1)，所以|PE|=x02+(y0−1)2=43y0+(y0−1)2=y02−23y0+1，

所以当y0=13时，|PE|的最小值为223；

(2)记直线PB，PC，BC的斜率分别是k1，k2，k3，

设过P(2,3)的圆E的切线方程为：y−3=k(x−2)，则有|2−2k|k2+1=r，

即(4−r2)k2−8k+4−r2=0(∗)

因为k1，k2是(∗)方程的两个根，19.解：（1）由题意知，H(X)=-plnp-(1-p)ln(1-p)，其中0<p<1.

令H(X)=φ(p)，则φ'(p)=ln1−pp.

所以当0<p<12时，φ'(p)>0，所以φ(p)在(0,12)上单调递增；

当12<p<1时，φ'(p)<0，所以φ(p)在(12,1)上单调递减.

所以H(X)在p=12时