01-复变函数省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

数学物理方法教材及参考书：《数学物理方法》梁昆淼，高等教育出版社。

《数学物理方法》邵惠民，科学出版社。主讲：侯春风哈尔滨工业大学物理系第1页数学物理方法试验唯象理论基本理论数学数学物理方法:

构建数学物理模型，研究处理方法。数学和物理有机结合。1.复变函数篇2.数学物理方程篇第2页第一章复变函数第二章复变函数积分第三章幂级数展开第四章留数定理第五章傅里叶变换第六章拉普拉斯变换第一篇复变函数论第3页§1.1

复数与复数运算十九世纪三位代表性人物：柯西（Cauchy,1789-1857）维尔斯特拉斯（Weierstrass,

1815-1897）黎曼（Rieman,1826-1866）柯西和维尔斯特拉斯分别应用积分和级数研究复变函数，黎曼研究复变函数映像性质，建立了系统复变函数论。实数领域中不能解释问题：

负数不能开偶数次方，负数没有对数，指数函数无周期性，正弦、余弦函数绝对值不能超出1，……实数复数实变函数

复变函数第一章复变函数第4页复数：实部x，记Rez；虚部y，记Imz。x2=-1无实数解，引入i2=-1，i称为虚数单位yx(x,y)x第5页欧拉公式：第6页极坐标：指数式、三角式：

称为复数模，记作|z|；

称为辐角，记作Argz。共轭复数：一个复数辐角能够取无穷多个值，而且彼此相差2

整数倍，通常把满足条件一个特定值称为Argz主值，或z主辐角，于是有：第7页零；无限远点

xy0x+iy

复球面（复数球）测地投影第8页复数四则运算：复数四则运算满足交换律、结合律和分配律。第9页二项式定理：例：求以下方程所表示曲线：|z+i|=2;

2)|z-2i|=|z+2|;

3)Im(i+z*)=4.例：(1+i)1/4=?讨论：第10页§1.2复变函数邻域：以复数z0为圆心，任意小正实数

为半径作圆:|z-z0|<

，则圆内全部点集合称为z0邻域。去心邻域：0<|z-z0|<

所确定点集。内点:若z0及其邻域均属于平面点集E,则称z0为该点集内点。外点:若z0及其邻域均不属于点集E,则称z0为该点集外点。境界点：若在z0每个邻域内，现有属于E点，又有不属于E点，则称z0为点集E境界点，它既不是内点也不是外点，其全体称为境界限。第11页区域：指同时满足以下两个条件点集：(1)全由内点组成；(2)含有连通性，即点集中任意两点都能够用一条折线连接起来，且折线点全都属于该点集。闭区域：区域及其境界限所组成点集称为闭区域。注：与闭区域相比较，把不含边界区域B称为开区域。而且若无特殊申明所谓区域均指开区域。闭区域需明确指出。有界和无界。第12页平面曲线：对于在[a,b]上定义函数z(t)=x(t)+iy(t)，当x(t)和y(t)连续时，其轨迹称为z平面上曲线。简单曲线：没有重点连续曲线。开曲线：在上述定义中，若z(a)

z(b)，则称为开曲线。闭曲线：在上述定义中，若z(a)=z(b)，则称为闭曲线。开曲线闭曲线第13页单连通区域：复平面上一个区域B，在其中任作一条简单闭曲线，若曲线内部总属于B，就称为单连通区域，或单连通域，简称为单通区域（或单通域）。复连通区域单连通区域复连通区域：若一个区域不是单连通区域，就称为复连通区域，或复连通域，简称复通区域（或复通域）。普通来说，在区域内，只要有一个简单闭合曲线其内有不属于该区域点，这么区域便是复通区域。单连通区域和复连通区域一个主要区分是：在单连通区域中，任一闭合曲线总可经过连续变形收缩成一点。第14页复变函数定义：设E是复平面上一个点集(复数z=x+iy集合)，假如对于E中每个复数z，按照一定法则f，有一个或多个复数w=u+iv与之对应，则称复变量w为复变数z函数，记作w=f(z)，z

E。单值函数:一个z

一个w多值函数:一个z

多个w其中，E称为函数定义域，z称为函数自变量、因变量或宗量。函数值全体所组成集合称为函数值域。第15页复变函数极限设函数w=f(z)定义在z0去心邻域0<|z-z0|<

内，如有确定数A存在，对任意给定

>0，对应地必有一正数

(

),(0<

≤

)，使得当0<|z-z0|<

时有|f(z)-A|<

，那么称A为f(z)当z趋于z0极限，即z

z0时，f(z)

A，记x0xyy0z0

A

(

)zf(z)定理：设则充要条件是第16页定理假如，则有例：证实函数f(z)=Re(z)/|z|当z0时极限不存在。第17页函数连续性定理:函数f(z)在z0处连续充要条件是u(x,

y)和v(x,

y)在(x0,

y0)处连续。定理

1)在z0连续两个函数f(z)与g(z)和、差、积、商(分母不为零)也在z0处连续；2)函数h=g(z)在z0连续，函数w=f(h)在h0=g(z0)处连续，那么复合函数w=f[g(z)]在z0处连续。假如f(z)在区域B内处处连续，则称f(z)在B内连续。假如则称复变函数f(z)在点z0处连续。

第18页

周期2i周期2

模能够大于1

周期2i复变函数例第19页

§1.3

导数函数w=f(z)在z0处可导与可微是等价，复变函数导数定义

函数w=f(z)定义于区域B，z0为B内一点，点z0+

z

B，假如极限存在，而且与

z0方式无关，则称函数f(z)在点z0可导，此极限值称为f(z)在点z0导数，记为：假如f(z)在区域B内处处可导，称f(z)在B内可导。连续不一定可导；可导必定连续。第20页导数模伸缩率导数幅角旋转角第21页例：讨论函数f(z)=z*在复平面上可导性.沿平行于实轴方向趋于零沿平行于虚轴方向趋于零所以导数不存在，原函数在复平面上处处不可导。

课堂练习：求f(z)=z2导数；f(z)=x+2yi是否可导？第22页求导法则：(若z=

(w)是函数w=f(z)反函数,且f

(z)≠0)第23页复变函数可导必要条件:柯西—黎曼条件(C-R条件)

z沿平行于实轴方向趋于零

z沿平行于虚轴方向趋于零两式相等，可得柯西—黎曼条件：第24页柯西—黎曼条件(C-R条件)是函数f(z)可导必要条件，但不是充分条件。例：利用柯西—黎曼条件讨论函数f(z)=z*可导性。不满足柯西—黎曼条件，所以不可导。第25页例：讨论函数在z0=0处可导性。满足柯西—黎曼条件极限值因k而异，故原函数在z0=0处不可导。函数f(z)=u+iv可导充分必要条件是：偏导数存在，且连续，并满足C-R条件。第26页极坐标形式柯西—黎曼条件：

若用

和

分别表示z模和辐角，若函数f(z)=u(

,

)+iv(

,

)可导，则u(

,

)与v(

,

)满足极坐标形式柯西－黎曼条件第27页

假如函数f(z)在z0及其邻域内处处可导，则称f(z)在z0点解析。假如f(z)在区域B内每一点解析，则称f(z)在B内解析，或称f(z)是B内解析函数（又称为全纯函数或正则函数）。

函数f(z)在某点z0解析，是指f(z)在z0点及其邻域内可导。

假如f(z)在z0点不解析，那么称z0点为f(z)奇点。§1.4解析函数f(z)在B内解析f(z)在B内可导f(z)在z0点解析f(z)在z0点可导f(z)在z0点连续第28页例：讨论以下函数在复平面可导与解析性：第29页课堂练习：讨论以下函数在复平面可导与解析性：定理：函数f(z)=u+iv在其定义域B内解析充要条件是：u(x,y)和v(x,y)在B内可微，而且满足柯西—黎曼条件ux=vy,uy=-vx

。定理：1)在区域B内解析两个函数f(z)与g(x)和、差、积、商(除去分母为零点)在B内解析；2)函数h=g(z)在z平面上区域B内解析，函数w=f(h)在h平面上区域G内解析。假如对B内每个点z，函数g(z)对应值h都属于G，那么复合函数w=f[g(z)]在区域B内解析。第30页性质：1)若函数f(z)=u+iv在区域B上解析，则u(x,y)=c1，v(x,y)=c2是B上两组相互正交曲线族，其中c1，c2为常数.例：f(z)=z2C-R条件

u和v分别是u(x,y)=c1和v(x,y)=c2法向矢量，所以上式表明u(x,y)=c1和v(x,y)=c2是B上两组相互正交曲线族。第31页2)若函数f(z)=u+iv在区域B上解析，则u(x,y)，v(x,y)是B上调和函数。若函数H(x,y)在区域B上有二阶连续偏导数，且

2H=0，则称H(x,y)是B上调和函数。

u(x,y)和v(x,y)都是调和函数。第32页讨论：1)任何在区域B内解析函数，其实部和虚部都是B内调和函数，因为它们是同一个复变函数实部和虚部，所以又叫作共轭调和函数。2)假如在区域内任选两个调和函数u和v，则函数f(z)=u+iv在区域内不一定是解析函数。只有当u和v还满足对应C-R条件，对应函数f(z)=u+iv在区域内才解析(而v+iu却不一定解析)。3)由此提供了组成一个解析函数方法，即由一个调和函数，利用柯西－黎曼条件可求出另一个与之共轭调和函数，再由这一对共