（宁波卷）（考试版A3）2023年中考数学第一模拟考试卷

2023年中考数学第一次模拟考试卷(宁波卷)

数学.参考答案

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项是符合题目要求的)

~τ~2345678^^9-10

CBCBABBBAB

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

11.如：-5(答案不唯一)12.(3Λ-2)(3x+2).

13.lɜ.14.0

25

15.316.4√2,

5

三、解答题(本大题共8小题，共80分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(8分)(1)计算：24(<z+⅛)-(α+b)2

'χ-∣

(2)解不等式组,一5一+340,并将解集在数轴上表示.

,2χ-5>l

［详解］(1)2α(α+⅛)-(α+b)2=2cti+2ab-(α2+20fc+⅛2),

=2/+2"-a2-2ab-廿，

—a1-b2,

⑵⅛+3<0①

,2χ-5>l②

由①得：x>^5,

由②得：烂3,

在数轴上表示：

——'J-----------------1——⅛―►

-5θ3

则不等式组的解集为：-5Vχ≤3,

18.(8分)如图1是由边长为1的正方形构成的6x5的网格图，四边形ABC。的顶点都在

格点上.

(1)求四边形A8C。的对角线AC的长：

(2)命题“对角线相等的四边形一定是矩形”是真命题还是假命题？如果是假命题，请在

图2中画一个顶点都是格点的四边形说明；如果是真命题，请进行证明.

T1π-l

（图1）（图2）

［详解］（1）由题意可知，AB=4,BC=3,ZABC=90°,

∙"∙AC=VAB2+BC2=√42+32=5,

,AC的长为5；

（2）对角线相等的四边形不一定是矩形，故命题“对角线相等的四边形一定是矩形“是假

命题，如图：

在四边形ABCO中，AC=BO,但四边形ABCO为等腰梯形.

19.（8分）某校积极落实“双减”政策，将要开设拓展课程.为让学生可以根据自己的兴趣

爱好选择最喜欢的课程，进行问卷调查，问卷设置以下四种选项：A（综合模型）、B（摄

影艺术）、C（音乐鉴赏）、D（劳动实践），随机抽取了部分学生进行调查，每名学生必

须且只能选择其中最喜欢的一种课程，并将调查结果整理绘制成如下不完整的统计图.

学生最喜欢的课程条形统计图学生最喜欢的课程扇形统计图

根据以上信息，解答下列问题：

（1）此次被调查的学生人数为120名;

（2）直接在答题卡中补全条形统计图；

（3）求拓展课程D（劳动实践）所对应的扇形的圆心角的度数;

（4）根据抽样调查结果，请你估计该校800名学生中，有多少名学生最喜欢C（音乐鉴

赏）拓展课程.

【详解】（1）此次被调查的学生人数为：12÷10%=120（名），

故答案为：120；

（2）选择B的学生有：120-12-48-24=36（名）,

补全的条形统计图如图所示：

学生最喜欢的课程条形统计图

120

即拓展课程。（劳动实践）所对应的扇形的圆心角的度数是72。；

（4）800×-⅛L=320（名），

120

答：估计该校800名学生中，有320名学生最喜欢C（音乐鉴赏）拓展课程.

20.（10分）如图，一次函数y="x+8的图象与反比例函数y=K的图象交于A,B两点，与

X

X轴交于点C,与y轴交于点已知。4=jɪʒ,tanNAOC=2，点3的坐标为（∕n,

3

-2）.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求一次函数的解析式.

【详解】（1）过A作AELX轴于E,

tanZAOE=-,

3

：.OE=3AE,

VOA=√Tθ,由勾股定理得：0d+4/=]0,

解得：AE=I,0E=3,

：.A的坐标为（3,1）,

A点在双曲线上，

I=区，

3

"=3,

二双曲线的解析式y=3.

X

答：反比例函数的解析式是>=旦.

X

（2）解：B（机，-2）在双曲y=2上，

X

-2=3,

m

解得：m=-l,

2

∙"∙B的坐标是（-->-2）,

2

,3a+b=l

代入一次函数的解析式得：J3

-^a+b=-2

's2.

解得：a=7,

b=-l

一次函数的解析式为：y=2χ-1.

3

21.（10分）某地一居民的窗户朝南.窗户的离地高度为0.8米，此地一年的冬至这一天的

正午时刻太阳光与地面的夹角最小为α,夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最

大为β∙若你是一名设计师，请你为教学楼的窗户设计一个直角形遮阳蓬BCD,要求它

既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内.根

据测量测得Na=30。，Zβ=60o,AB=I.5米.若同时满足下面两个条件：

（1）当太阳光与地面的夹角是a时，太阳光刚好射入室内.

（2）当太阳光与地面的夹角是β时，太阳光刚好不射入室内.请你求出直角形遮阳蓬

BCD中CD的长、CD离地面的高度.

【详解】设BC=X米，

VZa=30o,Zβ=60o,

ΛZCDB=30°,NaM=60。，

在RtZkBCO中，tan∕C∕）B=区=tan30。=2=近，

CDCD3

'.CD=∖f3x>

在Rt∆ACD中，tan∕CZ>A=tan60°=∙^∙=^t^A=√^,

CDCD

ΛCD=x+⅞H5,

√3

；.x+匕5.=Fx,

√3

解得x=3,

4

ΛCP=ɜɔ/ɜ.（米），

4

CC离地面的高度0.8+1.5+2=3.05（米）.

4

答：直角形遮阳蓬BCD中CD的长为3叵米，CD离地面的高度3.05米.

4

22.（10分）2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱.某

特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆.每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44

元，且不高于52元.销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销

售单价每上涨1元，每天销量减少10个.现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销

售单价为X元.

(1)直接写出y与X之间的函数关系式和自变量X的取值范围；

(2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润卬元最大？最

大利润是多少元？

(3)该店主热心公益事业，决定从每天的利润中捐出200元给希望工程，为了保证捐款

后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价X的范围.

【详解】(1)根据题意得：y=300-10(x-44)=-10x+740,

与X之间的函数关系式为y=-10x+740(44人52)：

(2)根据题意得：w=(-10x+740)(χ-40)=-l(k2+l140x-296Oo=-10(X-57)

2+2890,

V-10<0,

二当x<57时，w随X的增大而增大，

V44<r<52,

,当x=52时，W有最大值，最大值为-IoX(52-57)2+2890=2640,

.∙.将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润W元最大，最大利

润是2640兀；

(3)依题意剩余利润为(w-200)元，

•••捐款后每天剩余利润不低于2200元，

Λw-200≥2200,即-10(χ-57)2+2890-200≥2200,

由-10(%-57)2+2890-200=2200得x=50或x=64,

V-10<0,44≤x≤52,

二捐款后每天剩余利润不低于2200元，50<x<52,

答：捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售单价X的范围是50<ι<52.

23.(12分)［证明体验］(1)如图1,⅛∆AβC^∆BDEψ,点A、B、。在同一直线上，Z

A=NCBE=ND=90°,求证：AABCsADEB.

(2)如图2,图3,AD=20,点8线段AO上的点，ACLAD,AC=4,连结3C,M为

BC中点，将线段绕点B顺时针旋转90。至8E,连结。£

［思考探究］①如图2,当。E=亚ME时，求AB的长.

2

［拓展延伸］②如图3,点G是CA延长线上一点，且AG=8,连结GE,ZG=ZD,求

ED的长.

【解答】（1）证明：：/4=/CBE=/0=90。，

,ZC+ZCBA=90o,ZCBA+ZDBE=90°,

.∙.NC=NDBE,

：.∆ABC^>∆DEB;

（2）解：①：M绕点B顺时针旋转90。至E,M为BC的中点,

为等腰直角三角形，理旦」，

BCBC2

晒

又,：DE=烁啊

：.BE=DE,

如图，过点E作EFLAQ,垂足为尸，

：ZA=ZCBE=ZBFE=90°,

由（1）得AABCsAFEB,

•.•-B--F-=--B--E-=--1-,

ACBC2

YAC=4,

.∙.BF=2,

：.AB=AD-BF-FD=2Q-2-2=16；

②如图，过点M作A。的垂线交AD于点"，过点E作Ao的垂线交AD于点F,过点。

作。P_LA。，过点E作N尸_LQP,交AC的延长线于N,

为BC的中点，MH//AC,

•MHBMBH1

••----二------------------，

ACBCBA2

；.MH=权C=2,BH=AH,

,:NMHB=NMBE=NBFE=90°,

由(1)得：ZHBM=ZFEB,

,:MB=EB,

JAMHBWABFE(AAS),

：.BF=MH=2,EF=BH,

设EF=x,则DP=x,BH=AH=x,EP=FD=20-2-Zr=I8-lx,GN=X+8,AF=2x+2,

'：ZG=ZD,

：.NGED=ZGAH=90°,

由(1)得ANGEsAPED,

•.•-P-E--Z：-P-D--,

NGNE

即18-2x=X,

x+82x+2

解得x=6或X=-旦(舍去)，

5

ΛFD=18-2x=6,

∙,∙ED=YEF2+FD2=√62+62=6Λ∕2•

24.(14分)如图1,ZkABC中，BC边上的中线AM=AC,延长AM交△?!BC的外接圆于点

D,过点。作。E〃BC交圆于点E,延长E。交AB的延长线于点F,连接CE.

(1)若NACB=60。，BC=4,求Mo和。尸的长；

(2)①求证：BC=ICE-,

②设tan∕ACB=x,—=y,求y关于X的函数表达式；

AB-

(3)如图2,作NC_LAC交线段AO于M连接EM当AABC的面积是ACEN面积的6

倍时，求tan/ACB的值.

A

c/M/%R-M/

B>e---y----y∣cΨv----y—

FD"EFDE

图1图2

【解答】（1）解：,：AM=AC,NACB=60。，

.∙.Z∖AMC为等边三角形，

：.AM=AC=MC.

YM是BC的中点，

ΛCM=BM=ABC=2.

2

.♦.AM=AC=CM=2,

:.AM=XBC,

2

'：BM=MC,

,△ABC为直角三角形，ZBAC=90o,

二点M为圆心，即AZ）为直径，

.".DM=AM=2;

,JDE∕∕BC,M为AO在中点，

二为AAFO的中位线，

：.FD=2BM=4；

（2）①证明：连接B。，如图，

.,.ZACM=ZAMC,

∖'ZAMC=∕BMD,ZACM=NBDM,

：.ZBDM=ZBMD,

LBD=BM,

：.BM=CEf

•：BC=2BM,

:∙BC=2EC;

②解：过点A作A”，CM于点"，如图,

VZAMC=ΛBMD,/ACM=/BDM,

：.XAMCSXBMD,

•・D•—MB二M-，

CMAM

,JDE//BC,

•.F•B二DM一.

ABAM

'：CM=MB,

•y=fl=理=迦.理=磔)2,

"'ABAMCM^,AM¾^,，

设CM=24,则8W=CM=2α,

,:AM=AC,AHLCM,

：.CH=MH=a,

YtanNACB=X=里

CH

*.AH=Cix,

∙'∙ΛM=ΛC=VAH2-^H2=V(ax)2+a2=αVx2+l

...BM_=2a_2

AHa√x2+l√x2+l

“喘)∖ς⅜

.∙∙y关于X