物理练习册一答案

物理练习册一答案第一章 质点运动学1 ．1一质点沿直线运动，运动方程为 x(t)=6t2-2t3．试求： 第2s内的位移和平均速度；1s 末及2s末的瞬时速度，第 2s内的路程； 1s末的瞬时加速度和第 2s内的平均加速度．[ 解答]质点在第 1s末的位置为：x(1)=6 ×12-2 ×13=4(m)

．第

在第2s末的位置为：2s内的位移大小为：

x(2) =6×22-2×23=8(m)．在x=x(2) –x(1)=4(m) ，经过的时间为

t=1s

，所以平均速度大小为：

v=

x/t=4(m

·s-1)

．质点的瞬时速度大小为：

v(t)=dx/dt=12t-6t2

，因此

v(1)=12

×1-6

×12=6(m

·s-1)

，v(2)=12

×2-6

×22=0质点在第2s内的路程等于其位移的大小，即=4m．质点的瞬时加速度大小为： a(t) =dv/dt因此1s末的瞬时加速度为： a(1)=12-12第2s内的平均加速度为： a=[v(2)-v(1)]/

s= x=12-12t，×1=0，t=[0–

6]/1=-6(m

·s-2)

．[ 注意] 第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创1/59都是1秒．1 ．2一质点作匀加速直线运动，在 t=10s 内走过路程s=30m，而其速度增为n=5倍．试证加速度为a?2(n?1)s，并上述数据求出量值．(n?1)t2[ 证明]依题意得vt=nvo ，根据速度公式 vt=vo+at ，得a=(n –1)vo/t ， (1)根据速度与位移的关系式 vt2 =vo2+2as，得a=(n2–1)vo2/2s，(2)平方之后除以式证得：a?计算得加速度为：a?2(n?1)s．(n?1)t22(5?1)30=(m·s-2)．2(5?1)10．3一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成°的夹角的初速度65m·s-1从西边起跳，准确地落在坑的东边．已知东边比西边低 70m，忽略空气阻力，且取 g=10m·s-2．问：矿坑有多宽？他飞越的时间多长？他在东边落地时的速度？速度与水平面的夹角？ [ 解答]方法一：分步法．70m夹角用θ表示，人和车在竖直方向首先做竖直上抛运动，初速度的大小为图vy0=v0sinθ=(m·s-1)．取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创2/59vt-v0=at

，这里的

v0

就是

vy0，a=-g

；当人达到最高点时，

vt=0，所以上升到最高点的时间为t1=vy0/g=(s) ．再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式： vt2-v02=2as，可得上升的最大高度为： h1=vy02/2g =(m)．人从最高点开始再做自落体运动，下落的高度为

;h2=h1+h=(m)

．根据自落体运动公式

s=gt2/2

，得下落的时间为:t2?

因此人飞越的时间为：

t=t1+t2=(s)

．人飞越的水平速度为

;vx0=v0cos

θ

=(m

·s-1)

，2h2=(s)

．

g

所以矿坑的宽度为：

x=vx0t=(m)

．根据自落体速度公式可得人落地的竖直速度大小为：

vy=gt=(m·s-1)，落地速度为：v=(vx2+vy2)1/2与水平方向的夹角为： θ=arctan(vy/vx)=

=(m·s-1)，方向斜向

，下．方法二：一步法．取向上为正，人在竖直方向的位移为 y=vy0t-gt2/2，移项得时间的一元二次方程12gt?v0sin?t?y?0 ，2解得：t?(v0sin??v0sin??2gy)g ．这里y=-70m，根号项就是人落地时在竖直方向的速度大小，于时间应该取正值，所以公式取正根，计算时间为：t=(s) ．2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创3/59此可以求解其他问题．．4一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即

dv/dt=-kv2

，k

为常数．试证在关闭发动机后，船在 t时刻的速度大小为试证在时间 t 内，船行驶的距离为 x?2211??ktvv01ln(v0kt?1) ．kvtdvdv[ 证明]分离变量得 2??kdt

；，故

?2??k?dt

，vvv0011??kt1?v0ktv01

．vv0v0于v=dx/dt

公式可化为，所以：

v?，dx?dt?d(1?v0kt)1?v0ktk(1?v0kt)

可得：积分1d(1?v0kt)

．k(1?v0kt)001

因此

x?ln(v0kt?1)

．

证毕．kxt?dx??[

讨论]

当力是速度的函数时，即

f=f(v)

，根据牛顿第二定律得

f=ma．于a=d2x/dt2

，

而

dx/dt=v

，

a=dv/dt

，分离变量得方程：

dt?mdv，

f(v)

解方程即可求解．在本题中，k已经包括了质点的质量．如果阻力与速度反向、大小与船速的 n次方成正比，则 dv/dt=-kvn ．如果n=1，则得dv??kdt ，v积分得lnv=-kt+C ．当t=0 时，v=2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创4/59v0，所以

C=lnv0

，因此

lnv/v0=-kt

，得速度为

：v=v0e-kt

．而dv=v0e-ktdt

，积分得：x?v0?kte?C`

．

?k

当

t=0

时，x=0

，所以

C`=v0/k

，因此

x?1?nv0(1-e?kt)

．

kR

如果

n≠1，则得vdv??kdt??kt?C

． ，积分得

vn1?n1?nv011?C，因此n?1?n?1?(n?1)kt

．当

t=0

时，v=v0

，所以1?nvv0A

图 如果

n=2

，就是本题的结果．n?1{[1?(n?1)v0kt](n?2)/(n?1)?1}

如果

n≠2，可得

x?，读者不妨自证． n?2(n?2)v0k．5一质点沿半径为的圆周运动，其角位置可用公式表示：θ=2+4t3 ．求：t=2s 时，它的法向加速度和切向加速度；当切向加速度恰为总加速度大小的一半时， θ为何值？在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？

[

解答]

角速度为ω

=d

θ/dt=12t2=48(rad

·s-1)

，=d

法向加速度为 anω/dt=24t=48(rad

=r

ω2=(m·s-2)；角加速度为·s-2)，切向加速度为 at=r

ββ

=(m当

·s-2)at=a/2

．总加速度为 a=(at2+an2)1/2时，有4at2=at2+an2 ，即

，an?at3

．此得

r?2?r?3

，即

(12t2)2?24t3

，解得

t?3/6

．所以

??2?4t3?2(1?3/3)=(rad)

．当at=an时，可得

rβ

=r

ω2，

即：24t

=(12t2)2

，2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创5/59解得 ：t=(1/6)1/3=(s) ．1 ．6一飞机在铅直面内飞行，某时刻飞机的速度为 v=300m·s-1，方向与水平线夹角为 30°而斜向下，此后飞机的加速度为a=203m·s-2，方向与水平前进方向夹角为30°而斜向上，问多长时间后，飞机又回到原来的高度？在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少？y[ 解答]建立水平和垂直坐标系，飞机的初速度的大小为v0x =v0cosθ，aay v0y=v0sinv0x加速度的大小为 ax=acos α，v0yv 12120 运动方程为 x?v0xt?axt ，

θ．Oαaxay=asin α．y??v0yt?ayt

θx．22s?t? 即 x?v0co?1aco?s?2t ，21y??v0sin??t?asin??t2 ．22v0sin??103(s) ．asin?令y=0，解得飞机回到原来高度时的时间为：t=0；t?将t代入x的方程求得x=9000m．[ 注意]选择不同的坐标系，如 x方向沿着 a的方向或者沿着v0的方向，也能求出相同的结果．．7一个半径为R=的轻圆盘，可以绕一水平轴自转动．一根轻绳绕在盘子的边缘，其自端拴一物体 A．在重力作用下，物体 A从静止开始匀加速地下降，在 t= 内下降2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创6/59的距离h= ．求物体开始下降后 3s末，圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度．[

解答]

圆盘边缘的切向加速度大小等于物体

A下落加速度．于h?所以at=2h/ t2=(m ·s-2)物体下降3s末的速度为 v=att=(m1at?t2 ，2v2这也是边缘的线速度，

．·s-1)，因此法向加速度为an?=(m·s-2)

．R．8一升降机以加速度·s-2上升，当上升速度为·s-1时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距．计算：螺帽从天花板落到底面所需的时间；螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离．[ 解答]在螺帽从天花板落到底面时，升降机上升的高度为1h1?v0t?at2

；2 螺帽做竖直上抛运动，位移为h2，所以h?12gt．21(a?g)t2 ，2

h2?v0t?题意得h=h1-解得时间为 t?2h/(a?g)=(s)．算得h2=-，即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为．[ 注意]以升降机为参考系，钉子下落时相对加速度为 a+2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创7/59g，而初速度为零，可列方程h=(a+g)t2/2 ，此可计算钉子落下的时间，进而计算下降距离．．9有一架飞机从A处向东飞到B处，然后又向西飞回到

A处．已知气流相对于地面的速度为

u，AB之间的距离为l，飞机相对于空气的速率

v保持不变．2l ；vt0 如果气流的速度向东， 证明来回飞行的总时间为t1?；1?u2/v2t0 如果气流的速度向北，证明来回飞行的总时间为

t2?

．221?u/v

如果

u=0，试证来回飞行的时间为

t0?[

证明]飞机飞行来回的速率为

v，路程为

2l

，所以飞行时间为

t0=2l/v

．飞机向东飞行顺风的速率为

v+u，向西飞行逆风的速 率

为

v

-

u ，

所 以

飞 行 时 间 为t1?ll2vlt0??2?2l2/v2?

．

222v?uv?uv?u1?u/v1?u/vAvvB飞机相对地的速度等于相对风的速度加风相对地的速度．为了使飞机沿着AB之间的直线飞行，就要使其相对地的速度偏向北方，可作矢量三角形，其中沿AB方向的速度大小为 V?v?u，所以飞行时间为2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创8/5922v+uAv-uABut2?2l2l2l/vt0?．证毕．??222222Vv?u1?u/v1?u/v．10如图所示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速度为v1，下落雨的速度方向与铅直方向的夹角为 θ，偏向于汽车前进方向，速度为 v2．今在车后放一长方形物体，问车速v1为多大时此物体刚好不会被雨水淋湿？???[ 解答]雨对地的速度 v2等于雨对车的速度 v3加车对地的速度 v1，此可作矢量三角形．根据题意得Buvtan α=l/h ．方法一：利用直角三角形．根据直角三角形得v1=v2sin

θ

+v3sin

α，其中v2sinθ

v3=v+v2cos

⊥/cosθsin

α，而α/cos

v⊥=v2cosα，即

θ，因此v1=v1?v2(sin??lhlcos?)．证毕．hv2v1方法二：利用正弦定理．根据正弦定理可得v1v2 ，?sin(???)sin(90???)sin(???) 所以：v1?v2cos?sin?cos??cos?sin??v2cos?2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创9/59图?v2(sin??cos?tan?) ，lcos?) ．hαhv3 αθv2v⊥lv1即v1?v2(sin??方法三：利用位移关系．将雨滴的速度分解为竖直和水平两个分量，在t时间内，雨滴的位移为l=(v1 –v2sinθ)t，h=v2cos θ?t．两式消去时间 t即得所求． 证毕．??vv2 ．1一个重量为 P的质点，在光滑的固定斜面上以初速度0运动，0的方向与斜面底边的水平约 AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道．[

解答]

质点在斜上运动的加速度为

a=gsin

α，方向与初速度方向垂直．其运动方程为

x=v0t

，将t=x/v0，代入后一方程得质点的轨道方程为第二章运动定律与力学中的守恒定律( 一) 牛顿运动定律y?121at?gsin??t222 ．图 这是抛物线方程．2 ．2桌上有一质量 M=1kg的平板，板上放一质量 m=2kg的另一物体，设物体与板、板与桌面之间的滑动摩擦因素均为μk= ，静摩擦因素为 μs= ．求：gsin?2y?x2v0 ，2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创10/59v0PAαB?F 今以水平力拉板，使两者一起以 a=1m·s-2的加速度运动，试计算物体与板、与桌面间的相NmfmNMfMa

互作用力；要将板从物体下面抽出，至少需要多大的力？ [解答]物体与板之间有正压力和摩擦力的作用．板对物体的支持大小等于物体的重力： Nm=mg=(N)，这也是板受物体的压力的大小，但压力方向相反．物体受板摩擦力做加速运动，摩擦力的大小为： fm=ma2(N)，这也是板受到的摩擦力的大小，摩擦力方向也相反．板受桌子的支持力大小等于其重力：这也是桌子受板的压力的大小，但方向相反．

NM=(m+M)g=(N)，板在桌子上滑动，所受摩擦力的大小为： fM= μkNM=．这也是桌子受到的摩擦力的大小，方向也相反．设物体在最大静摩擦力作用下和板一起做加速度为的运动，物体的运动方程为 f= μsmg=ma`，Nm 可得 a`= μsg．f 板的运动方程为a`F –f –μk(m+M)g=Ma` ，NM即 F=f+

a`2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创11/59Ma`+ μk(m+M)gfF=(

μs+

μk)(m+M)g

，f`

算得

F=(N)

．因此要将板从物体下面抽出，至少需要的力．．3如图所示：已知F=4N，m1=，m2=，两物体与水平面的的摩擦因素匀为．求质量为m2的物体的加速度及绳子对它的拉力．[ 解答]利用几何关系得两物体的加速度之间的关系为a2=2a1，而力的关系为 T1=2T2．对两物体列运动方程得a1T2- μm2g=m2a2，T1a2mT2F –T1m1g=m1a1． m12可以解得 m2的加速度为

–μf2 f1F??(m1?2m2)ga2?图-2m1/2?2m2=(m

·s)

，绳对它的拉力为T?m2(F??m1g/2)m1/2?2m2=(N)．111??它们串联起来时，总倔强系数k与k1和k2．满足关系关系式kk1k2；它们并联起来时，总倔强系数k=k1+k2．k1[解答]当力F将弹簧共拉长x时，有F=kx，其中为总倔强系数．两个弹簧分别拉长 x1和x2，产生的弹力分别为 F1=2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创12/59k1x1，F2=k2x2

．

(a)

于弹簧串联，所以

F=F1=F2

，x=x1+x2

，

k12 ．4

两根弹簧的倔强系数分别为

k1

和

k2．求证：k2

F F

(b)111FF1F2????k1k2，即：kk1k2．因此

kk2

于弹簧并联，所以

F=F1+F2

，x=x1=x2

，图因此

kx=k1x1+k2x2

， 即：k=k1+k2

．．5如图所示，质量为m的摆悬于架上，架固定于小车上，在下述各种情况中，求摆线的方向及线中的张力 T．小车沿水平线作匀速运动；?a 小车以加速度 1沿水平方向运动；小车自地从倾斜平面上滑下，斜面与水平面成 θ角；用与斜面平行的加速度b1把小车沿斜面往上推；以同样大小的加速度b2，将小车从斜面上推下来．[ 解答]小车沿水平方向做匀速直线运动时，摆在水平方向没有受到力的作用，摆线偏角为零，线中张力为 T=mg．Tmgma图小车在水平方向做加速运动时，重力和拉力的合力就是合外力．于tan

θ

=ma/mg

，

所以

θ

=arctan(a/g)

；2222T?(ma)?(mg)?ma?g

绳子张力等于摆所受的拉力

：．小车沿斜面自滑下时，摆仍然受到重力和拉力，合力沿斜面向下，所以 θ= θ；T=mgcosθ．根据题意作力的矢量图，将竖直虚线延长， 与水平辅2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创13/59助线相交，可得一直角三角形， θ角的对边 是mbcosθ，邻边是mg+mbsinθ，此可得：tan?? 因此角度为mbcos?mg?mbsin? ，??arctan 而张力为bcos?g?bsin? ；mb θmg θTT?(mb)2?(mg)2?2(mb)(mg)cos( π/2??)θT θmb mg θ5）与上一问相比，加速度的方向反向，只要将上一结果中的

b改为-b

就行了．Ol2

．6

如图所示：质量为

m=的小球，拴在长度

l=的轻绳子的一端，构成一个摆．摆动时，与竖直线的最大夹角为60°．求：小球通过竖直位置时的速度为多少？此时绳的张力多大？在θ [ 解答]小球在运动中受到重力和绳子的拉力，于小球沿圆弧运动， T所以合力方向沿着圆弧的切线方向，即F=-mgsin θ，负号表示角度 θ增加的方 θ 向为正方向． ma 小球的运动方程为 Olmg d2smθF?ma?m2θTdt

，其中s表示弧长．于dsd?mgv??ldtdt ，

s=R

θ

=l

θ，所以速度为

CB2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创14/59因此F?mdvdvd?mdv?m?vdtd?dtld? ，即 vdv=-glsin θdθ， 取积分?vB0vdv??gl?sin?d?60?00 ，12vB?glcos?2 得60? ，解得：vB?gl=(m·s-1)．22vBvBTB?mg?m?m?mgRl于：，所以TB=2mg=(N) ．式积分得12vC?glcos??C2 ，当θ=60o 时，vC=0，所以C=-lg/2 ，因此速度为vC?gl(2cos??1) ．切向加速度为 at=gsin θ；法向加速度为2vCan??g(2cos??1)R

．于TC–mgcosθ=man，所以张力为 TC=mgcosθman=mg(3cosθ–1)．当θ=60o 时，切向加速度为

+at?3g2=(m

·s-2)

，法向加速度为

an=0

，绳子的拉力 T=mg/2=(N) ．[ 注意]在学过机械能守恒定律之后，求解速率更方便．2 ．7小石块沿一弯曲光滑轨道上静止滑下 h高度时，2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创15/59它的速率多大？[ 解答]小石块在运动中受到重力和轨道的支持力，合力方向沿着曲线方向．设切线与竖直方向的夹角为 θ，则F=mgcos θ．小球的运动方程为d2sF?ma?m2dt ，s表示弧长．dsv?dt ，所以 于dsddsdvdvdsdv?()???vdt2dtdtdtdsdtds ，因此 vdv=gcosθds=gdh，h表示石下落的高度．2Nh

θ

mg

图12v?gh?C2

积分得

，当

h=0

时，v=0

，所以

C=0，因此速率为

v?2gh

．．8质量为m的物体，最初静止于x0，在力处的速度大小v=[2k(1/x –1/x0)/m]1/2 ．[ 证明]当物体在直线上运动时，根据牛顿第二定律得方程f??kx2(k为常数)作用下沿直线运动．证明物体在x利用v=dx/dt，可得kd2xf??2?ma?m2xdtd2xdvdxdvdv???vdt2dtdtdxdx ，因此方程变为2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创16/59mvdv?? 积分得kdxx2 ，12kmv??C2x ．利用初始条件，当 x=x0时，v=0，所以C=-k/x0，因此12kkmv??2xx0 ，v?2k11(?)mxx0． 证毕．即[ 讨论]可得方程：

此题中，力是位置的函数： f=f(x)mvdv=f(x)dx ，积分即可求解．

，利用变换12dxmv??k?xn ．如果

f(x)

=-k/xn

，则得

212mv??klnx?C2

当n=1时，可得x12mv?kln0x

，利用初始条件

x=x0

时，v=0

，所以C=lnx0

，因此

22kx0lnmx

．即12k1?nk1?nmv??x?CC??x01?nn?1如果n≠1，可得2．利用初始条件x=x0时，v=0，所以，12k11mv?(n?1?n?1)n?1xx0 ，因此 2v?v? 即．9一质量为m的小球以速率v0从地面开始竖直向上运动．在运动过程中，小球所受空气阻力大小与速率成正比，比例系数为k．求：小球速率随时间的变化关系v(t)；小球上升到最大高度所花的时间T．2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创17/59[ 解答]小球竖直上升时受到重力和空气阻力，两者方向向下，取向上的方向为下，根据牛顿第二定律得方程2k11(n?1?n?1)(n?1)mxx0 ． 当n=2 时，即证明了本题的结果．dvdt ，dvmd(mg?kv)dt??m??mg?kvkmg?kv ， 分离变量得f??mg?kv?mmln(mg?kv)?Ck积分得．mC?ln(mg?kv0)k当t=0时，v=v0，所以，mmg?kvmmg/k?vt??ln??lnkmg?kv0kmg/k?v0，因此t?? 小球速率随时间的变化关系为v?(v0?mgktmg)exp(?)?kmk ．当小球运动到最高点时 v=0，所需要的时间为T?kvmmg/k?v0mln?ln(1?0)kmg/kkmg ．[ 讨论]如果还要求位置与时间的关系，可用如下步骤：于v=dx/dt ，所以dx?[(v0? 即mgktmg)exp(?)?]dtkmk ，dx??m(v0?mg/k)ktmgdexp(?)?dtkmk ，积分得x??m(v0?mg/k)ktmgexp(?)?t?C`kmk ，C`?m(v0?mg/k)k，当t=0时，x=0，所以因此2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创18/59x?m(v0?mg/k)ktmg[1?exp(?)]?tkmk ．如果小球以 v0的初速度向下做直线运动，取向下的方向为正，则微分方程变为f?mg?kv?mdvdt ，用同样的步骤可以解得小球速率随时间的变化关系为v?mgmgkt?(?v0)exp(?)kkm ．这个公式可将上面公式中的 g改为-g得出．此可见：不论小球初速度如何，其最终速率趋于常数 vm=mg/k ．．10如图所示：光滑的水平桌面上放置一固定的圆环带，半径为R．一物体帖着环带内侧运动，物体与环带间的滑动摩擦因数为μk．设物体在某时刻经A点时速率为v0，求此后时刻 t物体的速率以及从 A点开始所经过的路程．[ 解答]物体做圆周运动的向心力是圆环带对物体的压力，即Av02N=mv/R ．物体所受的摩擦力为f=-μkN，负号表示力的方向与速度的方向相反．图根据牛顿第二定律得?kv2dvdvdt??2f???km?mv ．Rdt， 即：R?k1t??Cv积分得：R．1C??v0 ，当t=0 时，v=v0，所以2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创19/5922?03?0R????2?8?g ，转过的圈数为23?0R?n??2?16??g ．[ 注意]在圆盘上取一个细圆环， 其面积为ds=2πrdr，这样计算力矩等更简单。2 ．33一个轻质弹簧的倔强系数为 k= ·m-1．它的一端固定，另一端通过一条细线绕过定滑轮和一个质量为 m1=80g的物体相连，如图所示．定滑轮可看作均匀圆盘，它的半径为r= ，质量为 m=100g．先用手托住物体 m1，使弹簧处于其自然长度，然后松手．求物体 m1下降h= 时的速度多大？忽略滑轮轴上的摩擦，并认为绳在滑轮边上不打滑．[ 解答]根据机械能守恒定律可列方程 mm1gh?2111m1v2?I?2?kh2222 ，其中I=mr/2 ，ω=v/r ，可得2m1ghrm1

–kh2=m1v2+mv2/2 ，解得图hm1v?2m1gh?khm1?m/2=(m·s-1)

．2．34均质圆轮A的质量为M1，半径为R1，以角速度ω绕OA杆的A端转动，此时，将其放置在另一质量为 M2的均2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创20/59质圆轮B上，B轮的半径为 R2．B轮原来静止，但可绕其几何中心轴自转动．放置后， A轮的重量 B轮支持．略去轴承的摩擦与杆 OA的重量，并设两轮间的摩擦因素 为μ，问自A轮放在B轮上到两轮间没有相对滑动为止，需要经过多长时间？[

解答]

圆轮

A对

B的压力为

N=M1g

，O 两轮之间的摩擦力大小为

f=

μ

N=

μM1g，AR1摩擦力对A的力矩大小为 MA=fR1= μM1gR1，摩擦力对B的力矩大小为 MB=fR2= μM1gR2，设A和B的角加速度大小分别为βA和βB，转动惯量分别为IA和IB，B 根据转动定理得方程

MA=IA

βA，即 βA=MA/IA

．

R2

同理可得βB=MB/IB

．当两轮没有相对滑动时，

它们就具有相同的线速度

v，A的角速度为ωA=v/R1，B的角速度为ωB=v/R2．根据转动运动学的公式得 ωA–ω=-βAt，ωB=βBt，即 v/R1–ω=-βAt，v/R2=βBt，化得 v-ωR1=-βAR1t，v=βBR2t，将后式减前式得ωR1=(R1βA+R2βB)t，解得t??R1R1?A?R2?BR1MA/IA?R2MB/IB?R1?R1?M1gR1R2?M1gR2?112M1R12M2R222?R1?2?g?2?gM1/M22016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创21/59??R1 经过的时间为t??M2R12?g(M1?M2) ．[ 注意]在此题中，于A、B两轮不是绕着同一轴转动的，所以不能用角动量守恒定律．如果A轮的轮面放在 B轮的轮面之上，且两轮共轴，在求解同样的问题时，既可以用转动定律求解，也可以结合角动量守恒定律求解．当它们之间没有滑动时，角动量为 ω`，根据角动量守恒定律得ABIA

ω

=(IA+IB)

ω`，R1

因此得ω`=IA

ω/(IA+IB)

．

R2

设R1≦R2，那么A轮压在B轮上的面积为 S=πR12，压强为p=M1g/S=M1g/πR12．当A轮在B轮上产生滑动时，在A轮上取一半径为r、对应角为dθ面积元，其面积为dS=rdθdr，对B轮的压力为dN=pdS=prdrdθ，所受的摩擦力为df=μdN=μprdrdθ，其方向与半径垂直，摩擦力产生的力矩为 dM=rdf =μpr2drdθ，总力矩为M??2?0?R10?pr2drd?12?2 π?pR13??M1gR133．这是A轮所受的力矩，也是 B轮所受的力矩．根据转动2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创22/59定理得B轮的角加速度为 βB=M/IB．根据转动公式ω`= βBt，得时间为I?IB?`?A??BIA?IBM ?M1R12/2M2R22/2??22M1R1/2?M2R2/22?M1gR1/3，t?3M2R22R?1t?24?g(M1R12?M2R2)．即如果R1≧R2，那么A轮压在B轮上的面积为S=πR22，压强为p=M1g/S=M1g/πR22．同样在A轮上取一面积元，力矩的积分上限就是 R2．总力矩为ArBdrR1M???pr2dr?d?00R22?132?2 π?pR2??M1gR233，此求得时间就变为3M2R12R2?t?24?g(M1R12?M2R2)．t? 只有当R1=R2时，两个时间才是相同的：．35均质矩形薄板绕竖直边转动，初始角速度为ω0，转动时阻力．阻力垂直于板面，每一小面积所受阻力的大小与其面积及速乘积成正比，比例常数为k．试计算经过多少时间，薄板角速度减半．设薄板竖直边长为b，宽为a，薄板质量为m．[ 解答]在板上距离转轴为 r处取一长度为 b，宽度为dr的面积2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创23/593M2R1?3M2R2??4?g(M1?M2)4?g(M1?M2)．受到空气的度的平方的为原来的一

br

元，其面积为arOdS

图dS=bdr

．当板的角速度ω时，面积元的速率为

v=

ωr

，所受的阻力为df=kv2dS=k ω2r2bdr，阻力产生的力矩为 dM=rdf=k ω2r3bdr，因此合力矩为M??k?2br3dr?0a124k?ba4 ．板绕转轴的转动惯量为 I=ma2/3 ，其角加速度为M3k?2ba2?????I4m ，负号表示角加速度的方向与角速度的方向相反．于β=dω/dt，可得转动的微分方程d?3k?2ba2??dt4m，分离变量得3kba2d?dt??24m? ，积分得3kba21t??C4m? ．当t=0 时，ω= ω0，所以C=-1/ ω0，因此转动方程为3kba211t??4m??0 ．当ω= ω0/2时，解得时间为t?4m3kba2?0 ．2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创24/59．36一个质量为M，半径为R并以角速度ω旋转的飞轮，在某一瞬间突然有一片质量为 m的碎片从轮的边缘上飞出，如图所示．假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上．问它能上升多高？求余下部分的角速度、角动量和转动动能．

[

解答

]

碎片上抛的初速度为

v0=

ωR，根据匀变速直线运动公式

v2–

v02=-2gh

，可得碎片上升的高度为

h=v02/2g=

ω2R2/2g．余下部分的角速度仍为ω，但是转动惯量只有122，所以角动量为 L=I ω=R(M/2 –m)ω．2I?2MR?mR 图转动动能为．37两滑冰运动员，在相距的两平行线上相向而行，两人质量分别为mA=60kg，mB=70kg，它们速率分别为vA=7m·s-1，vB=6m·s-1，当两者最接近时，便函拉起手来，开始绕质心作圆周运动，并保持二者的距离为．求该瞬时：系统对通过质心的竖直轴的总角动量；mA 系统的角速度；2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创25/59vArArEk?121MI??(?m)?2R2222 ．rB vBmB 两人拉手前、后的总动能．这一过程中能量是否守恒？

[

解答]

设质心距

A的平行线为

rA，距

B的平行线为

rB，则有

rA+rB=r

，根据质心的概念可得 mArA=mBrB，解方程组得rA?mBmArrB?rmA?mB，mA?mB．两运动员绕质心的角动量的方向相同，他们的总角动量为L?mAvArA?mBvBrB

mAmB?r(vA?vB)mA?mB=630(kg

·m2·s-1)

．根据角动量守恒定律得

L=(IA+IB)

ω，其中

IA

和

IB

分别是两绕质心的转动惯量

IA=mArA2和IB=mBrB2．

角速度为ω=L/(IA

+IB)

=(rad

·s-1)

．两人拉手前的总动能就是平动动能Ek1?1122mAvA?mBvB22=2730(J)

；拉手后的总动能是绕质心的转动动能：Ek2?11IA?2?IB?222=2730(J) ，可见：这一过程能量是守恒的．[ 讨论]角动量．根据上面的推导过程可得两人绕质心的总转动惯量为mAmBmAmB?r2I?mr?mr?r(rA?rB)mA?mBmA?mB，2AA2BB 角速度为2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创26/59可见：角速度与两人的质量无关，只与它们的相对速度和平行线的距离有关．损失的能量．两人的转动动能为LvA?vB?Ir1mAmB212?(v?v)ABEk2?(IA?IB)?2mA?mB2 ，因此动能的变化量为E=Ek2 –Ek1?1mAmB1122(vA?vB)2?(mAvA?mBvB)2mA?mB22(mAvA?mBvB)2?E??2(mA?mB)，简化得负号表示能量减少．可见：如果mAvA≠mBvB，则 E≠0，即能量不守恒．在本题中，于 mAvA=mBvB，所以能量是守恒的．．38一均匀细棒长为l，质量为m，以与棒长方向相垂直的速度v0，在光滑水平面内平动时，与前方一固定的光滑支点O发生完全非弹性碰撞，碰撞点位于离棒中心一方l/4处，如图所示，求棒在碰撞后的瞬时绕过 O点垂直于棒所在平面的轴转动的角速度

ω0．[

解答]

以

O点为转动轴，棒的质心到轴的距离为

l/4

，在碰撞之前，棒对转轴的角动

l/4O

量为

mv0l/4．在碰撞之后瞬间，棒绕轴的角动量为

Iω0．

l/4lv0

图棒绕质心的转动惯量为

Ic

=ml2/12，根据平行轴定理，棒绕O点为转动惯量为2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创27/59I?Ic?md2117?ml2?m(l)2?ml212448

．根据角动量守恒定律得

mv0l/4=I

ω0，所以角速度为?0?mv0l/I?1412v07l

．第三章 狭义相对论．1地球虽有自转，但仍可看成一较好的惯性参考系，设在地球赤道和地球某一极上分别放置两个性质完全相同的钟，且这两只钟从地球诞生的那一天便存在．如果地球从形成到现在是50亿年，请问那两只钟指示的时间差是多少？[解答]地球的半径约为R=6400千米=×106(m)，自转一圈的时间是T=24×60×60(s)=×104(s)，赤道上钟的线速度为v=2πR/T=×102(m·s-1)．将地球看成一个良好的参考系，在南极上看赤道上的钟做匀速直线运动，在赤道上看南极的钟做反向的匀速直线运动．南极和赤道上的钟分别用 A和S，赤道参考系取为 S`．A钟指示示了B钟的运动时间，因此又指示钟指示S`系中的本征时，同时指示了

B表示，南极参考系取为S系中的本征时，同时指S`系的运动时．同理， BA钟的反向运动时间，因此又指示

S系的运动时．方法一：以 S系为准．在 S系中，A钟指示B钟的运动2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创28/59时间，即运动时 t=50×108×365×24×60×60=×1016(s)．B 钟在

S`中的位置不变的，指示着本征时

t`

．A

钟的运动时

t和

B钟的本征时

t`

之间的关系为?t??t`1?(v/c)2 ，可求得B钟的本征时为1v?t`??t1?(v/c)2?[1?()2]?t ，2c 因此时间差为 ?t??t`?1v2()?t= ×105(s)．2c在南极上看，赤道上的钟变慢了．方法二：以S`系为准．在 S`系中，B钟指示A钟的反向运动时间，即运动时 t`=50×108×365×24×60×60=×1016(s)．A 钟在

S中的位置不变的，指示着本征时

t．B钟的运动时

t`

和A钟的本征时

t之间的关系为?t`??t1?(v/c)2 ，可求得A钟的本征时为1v?t??t`1?(v/c)2?[1?()2]?t` ，2c 因此时间差为t?(2)?t`??1v2c?t=×`105(s)．在赤道上看，南极上的钟变慢了．[ 注意]解此题时，先要确定参考系，还要确定运动时和本征时，才能正确引用公式．2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创29/59有人直接应用公式计算时间差1?(v/c)1v1v?[1?()2]?t`??t`?()2?t` ，2c2c 于地球速度远小于光速， 所以计算结果差不多， 但是关系没有搞清．从公式可知：此人以 S系为准来对比两钟的时间， t`是B钟的本征时， t是A钟的运动时，而题中的本征时是未知的．也有人用下面公式计算时间差，也是同样的问题．?t??t`??t`2??t`?t`??t??t1?(v/c)2??t1v1v?[1?()2]?t??t?()2?t2c2c．2一个“光钟”两个相距为L0的平面镜A和B构成，对于这个光钟为静止的参考系来说，一个“滴答”的时间是光从镜面 A到镜面 B再回到原处的时间，其值为 ?0?个以速度v行驶的火车上，使两镜面都与v垂直，两镜面中心的连线与v平行，在铁轨参考系中观察，火车上钟的一个“滴答”η与η0的关系怎样？[ 解答]不论两个“光钟”放在什么地方， η0都是在相对静止的参考系中所计的时间，称为本征时．在铁轨参考系中观察，火车上钟的一个“滴答”的时间 η是运动时，所以它们的关系为2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创30/59???2L0

．若将这个光钟横放在一

c???01?(v/c)2

．3 ．3

在惯性系

S中同一地点发生的两事件

A和

B，B晚于A4s；在另一惯性系S`中观察，B晚于A5s发生，求S`系中A和B两事件的空间距离？[

解答]

在

S系中的两事件

A和

B在同一地点发生，时间差 t=4s在同一地点，?t`? 即

是本征时，而 S`系中观察 A和B两事件肯定不t`=5s 是运动时，根据时间膨胀公式5??t1?(v/c)422 ，，1?(v/c)

可以求两系统的相对速度为

v=3c/5

．在S`系中

A和

B两事件的空间距离为

l

=v

t`

=3c=9

×108(m)．3 ．4

一根直杆在

S系中观察，其静止长度为

l，与

x轴的夹角为θ，S`系沿

S系的

x轴正向以速度

v运动，问

S`系中观察到杆子与 x`轴的夹角若何？[ 解答]直杆在S系中的长度是本征长度，两个方向上的长度分别为

lx=lcos

θ和

ly=lsin

θ．在S`系中观察直杆在

y方向上的长度不变，即

l`y

=ly

；在

x

方向上的长度是运动长度，根据尺缩效应得`lx?lx1?(v/c)2

，因此tan?`?`ly`lx?tan?1?(v/c)2 ，2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创31/592?1/2 可得夹角为?`?arctan{[1?(v/c)]tan?} ．3 ．5S系中观察到两事件同时发生在 x轴上，其间距为1m，S`系中观察到这两个事件间距离是 2m，求在 S`系中这两个事件的时间间隔．[ 解答]根据洛仑兹变换，得两个事件的空间和时间间隔公式?x`??t`??x?v?t1?(v/c)1?(v/c)2 ，?t??xv/c22 ．题意得： t=0 ， x=1m， x`=2m．因此?x`??t`??x1?(v/c)??xv/c21?(v/c)22 ，．之上式得它们的相对速度为v?c1?(?x/?x`)2 ．将之下式除以之上式得?t`v??2

，

?x`c

所以?t`??1?x`?x221?()2??(?x`)?(?x)=-

×10-8(s)

．cc?x`[

注意]在

S`系中观察到两事件不是同时发生的，所以间隔

x`=2m

可以大于间隔

x=1m

．如果在S`

系中观察到两事件也是同时发生的，那么

x`

就表示运动长度，就不可能大于本征长度

x，这时可以用长度收缩公式?x`??x1?(v/c) ，计算它们的相对速度．2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创32/59．6一短跑运动员，在地球上以10s的时间跑完了100m的距离，在对地飞行速度为的飞船上观察，结果如何？[ 解答]以地球为 S系，则 t=10s ， x=100m．根据洛仑兹坐标和时间变换公式2x`?x?vt1?(v/c)2 和t`?t?vx/c21?(v/c)2 ，飞船上观察运动员的运动距离为?x`??x?v?t1?(v/c)2?100??101??≈-4×109(m)．运动员运动的时间为?t`??t?v?x/c21?(v/c)210??100/c ≈(s)．在飞船上看，地球以的速度后退，后退时间约为；运动员的速度远小于地球后退的速度，所以运动员跑步的距离约为地球后退的距离，即 4×109m．．7已知S`系以的速度沿S系x轴正向运动，在S系中测得两事件的时空坐标为x1=20m，x2=40m，t1=4s，t2=8s ．求S`系中测得的这两件事的时间和空间间隔．[ 解答]根据洛仑兹变换可得 S`系的时间间隔为t?t?`2`1t2?t1?v(x2?x1)/c21?(v/c)2?8?4?(40?20)/c(s)．空间间隔为`x2?x1`?x2?x1?v(t2?t1)1?(v/c)2?40?20??(8?4) ≈-109(m)．3 ．8S系中有一直杆沿 x轴方向装置且以的速度沿 x轴2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创33/59正方向运动，S系中的观察者测得杆长 10m，另有一观察以的速度沿S系x轴负向运动，问该观察者测得的杆长若何？[ 解答]在S系中的观测的杆长 l=10m 是运动长度，相对杆静止的参考系为 S`，其长度是本征长度， 根据尺缩效应?l??l`1?(v10/c) ，可得杆的本征长度为2?l`??l1?(v10/c)2?101?=(m) ．另一参考系设为 S``系，相对S系的速度为 v20=-．在S``系观察S`系的速度为v12??(?)v10?v20?= ．21?(?)1?v10v20/c 在S``系观察S`系中的杆的长度是另一运动长度?l``??l`1?(v12/c)2=(m) ．[ 注意]在涉及多个参考系和多个速度的时候，用双下标能够比较容易地区别不同的速度，例如用 v10表示S`相对S系的速度，用v12表示S`系相对S``系的速度，因此，尺缩的公式也要做相应的改变，计算就不会混淆．．9一飞船和慧星相对于地面分别以和速度相向运动，在地面上观察，5s后两者将相撞，问在飞船上观察，二者将经历多长时间间隔后相撞？[ 解答]两者相撞的时间间隔 t=5s是运动着的对象—飞船和慧星—发生碰撞的时间间隔，因此是运动时．在飞船上观察的碰撞时间间隔 t`是以速度v=运动的系统的本征2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创34/59时，根据时间膨胀公式?t??t`1?(v/c)22 ，可得时间间隔为?t`??t1?(v/c)=4(s)．．10在太阳参考系中观察，一束星光垂直射向地面，速率为c，而地球以速率u垂直于光线运动．求在地面上测量，这束星光的大小与方向如何．y`[ 解答]方法一：用速度变换．取太阳系为 S系，地球为S`系．在S`yS

系中看地球以

v=u

运动，看星光的速度为

v=ux`

地球

ux=0

，uy=c

．Suy`星 光

星光在x

S`系中的速度分量为ux???u1?uxv/c2O

cθ`u?v-u`太阳

xu?`yuy1?v2/c21?uxv/c2?c1?u/c?c?u

``2`22222

星光在

S`系中的速度为 u?ux?uy?c，即光速是不变的．星光在S`系中与y`轴的夹角，即垂直地面的夹角为?`?arctanuu?arctan ．22u`yc?u 方法二：用基本原理．根据光速不变原理，在地球的

S`系中，光速也为

c，当地球以速度

v=u

沿

x轴运动时，根据速度变换公式可得星光的速度沿

x`

轴的分量为

uy`=-u

，所以星光速度沿

y`

轴的分量为`2u`y?c2?ux/?c2?u2

，从而可求出星光速度垂直地面的夹角为2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创35/59`uxu ．?`?arctan`?arctan22uyc?u[ 注意]解题时，要确定不同的参考系，通常将已知两个物体速度的系统作为 S系，另外一个相对静止的系统作为 S`系，而所讨论的对象在不同的参考系中的速度是不同的．．11一粒子动能等于其非相对论动能二倍时，其速度为多少？其动量是按非相对论算得的二倍时，其速度是多少？[

解答]

粒子的非相对论动能为

Ek=m0v2/2

，相对论动能为

E`k=mc2

–m0c2，

其中

m为运动质量m?m01?(v/c)2

．根据题意得m0c21?(v/c)2?m0c2?m0v2 ，1?x

设x=(v/c)2平方得1=(1

，方程可简化为–x2)(1 -x)

1?1?x，或，化简得

x(x2

1?(1?x)?1x–x -1)

，=0．于

x不等于

0，所以：

x2

–

x-1=0

．解得x?1?5 ，2取正根得速率为v?c1?5= ．2m0v1?(v/c)2 粒子的非相对论动量为： p=m0v，相对论动量为： p`?mv?根据题意得方程：，m0v1?(v/c)2?2m0v ．很容易解得速率为： v?3c=．23 ．12．某快速运动的粒子，其动能为× 10-16J，该粒子静止时的总能量为× 10-17J，若该粒子的固有寿命为×2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创36/5910-6s，求其能通过的距离．[ 解答]在相对论能量关系 E=E0+Ek 中，静止能量 E0已知，且E0=m0c2，总能量为E?mc?所以2m0c21?(v/c)2?E01?(v/c)2，11?(v/c)2?E0?Ek，E0此得粒子的运动时为?t?还可得1?(v/c)2? 解得速率为E?Ek ．??t`02E01?(v/c)?t`E0 ，E0?Ekv?c1?(E02) ．E0?EkE0?Ek2)?1?3?108??10?6(1?30)2?1=(m) ．E0粒子能够通过的距离为 ?l?v?t?c?t`(2E0v3 ．13试证相对论能量和速度满足如此关系式：?1?2．cE[ 证明]v?c1?(E02)

根据上题的过程已得，将E=E0+Ek

代入公式立可得证．E0?Ek3 ．14静止质子和中子的质量分别为 mp=×10-27kg，mn=×10-27kg，质子和中子结合变成氘核，其静止质量为m0=×10-27kg，求结合过程中所释放出的能量．[ 解答]在结合过程中，质量亏损为 m=mp+mn-m0×10-30(kg)，取c=3×108(m·s-1)，可得释放出的能量为E= mc2=×10-13(J)．如果取c=×108(m·s-1)，2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创37/59可得释放出的能量为 E=×10-13(J)．第四章 机械振动4 ．1一物体沿x轴做简谐振动，振幅A=，周期T=2s．当t=0 时，物体的位移 x= ，且向x轴正向运动．求：此简谐振动的表达式；t=T/4 时物体的位置、速度和加速度；物体从x=- ，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．[

解答]

设物体的简谐振动方程为

x=Acos(

ωt+

θ)

，其中所以

A=，角频率ω=2cosθ= ，因此θ=

π/T=±π/3

π．当t=0．物体的速度为

时，x=v=dx/dt

，=-

ωAsin(

ωt+

θ)

．当t=0时，v=-谐振动的表达式为：

ωAsinθ，于v>0，所以x=( πt –π/3)．

sin

θ

简当/6=(m)

t=T/4 时物体的位置为 ;x=(．速度为；v=-πAsin(π/2

π/2 –π/3)= π–π/3)=- πsinπ/6=-(m ·s-1)．加速度为： a=dv/dt=- ω2Acos(ωt+ θ)=- π2Acos(πt- π/3)= -π2cosπ/6=-(m·s-2)．方法一：求时间差．当 x=- 时，可得 cos(πt1- π/3)=- ，因此πt1- π/3= ±2π/3．于物体向

x轴负方向运动，即v0

，因此πt1-

π/3=2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创38/592π/3

，得

t1=1s

．当物体从

x=-处第一次回到平衡位置时，

x=0，v>0，因此

cos(

πt2-

π/3)=0

，可得

πt2-

π/3=-π/2

或3π/2

等．于

t2>0

，所以πt2-

π/3=3

π/2，可得

t2=11/6=(s)

．所需要的时间为： t=t2-t1=(s)方法二：反向运动．物体从 x=-第一次回到平衡位置所需的时间就是它从

．，向x轴负方向运动x=，即从起点向轴正方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．在平衡位置时，x=0，v

[

注意

]

根据振动方程

x=Acos(

ωt+

θ)

，当

t=0

时，可得θ

=

±arccos(x0/A)

，，初位相的取值速度决定．于v=dx/dt=-ωAsin(ωt+θ)，当t=0时，v=-ωAsinθ，当v>0时，sinθs-1)

．

vm??2E/m=

±(m·4 ．15

两个频率和振幅都相同的简谐振动的

x-t

曲线如图所示，求：

两个简谐振动的位相差；两个简谐振动的合成振动的振动方程．个简谐振动的振幅为： A=5(cm) ，5

x/cm[ 解答]周期为：T=4(s)

两，圆频率为：ω

=2

π/T=

π/2

，x1x2 它们的振动方程分别为：2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创39/59x1=Acos

ωt=5cos

πt/2

，

1230x2=Asin

ωt=5sin

πt/2=5cos(

π/2-

πt/2)即

x2

=5cos(

πt/2

- π/2)

．-5

位相差为：

θ

=θ2-πt/2

θ1=-π/2．图= 5(cosπt/2?cos

于x=x1+x2=5cosπt/2 +5sinπ/4+5sinπt/2?sin π/4)/sin/4合振动方程为：x?52cos(4 ．16

已知两个同方向简谐振动如下：

x1?(10t??)

，x2?(10t??)

．求它们的合成振动的振幅和初位相；

另有一同方向简谐振动x3=(10t+θ)，问θ为何值时，x1+x3的振幅为最大？θ为何值时，x2+x3的振幅为最小？用旋转矢量图示法表示和两种情况下的结果． x以米计，以秒计．[ 解答]根据公式，合振动的振幅为：A?初位相为：??arctan2A12?A2?2A1A2cos(?1??2)= ×10-2(m)．t/s4?t?)(cm)

．243515?A1sin?1?A2sin?2= °．A1cos?1?A2cos?2 要使x1+x3的振幅最大，则：cos(θ–θ1)=1，因此θ–θ1=0，所以：θ= θ1=π．要使x2+x3 的振幅最小，则 cos(θ–θ2)=-1 ，因此θ–θ2= π，所以θ= π+ θ2= π．如图所示．AA1A3A2x3x

θ

OA3

θ22016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创40/59A2 θ1θ θ2x1Oxx2xA1 θ1x3x1Ox2x．17质量为的质点同时参与互相垂直的两个振动：x?(?t?) ，36?y?(t?) ．式中 x和y以米(m)计，t 以秒(s)计．求运动的轨道方程；画出合成振动的轨迹；求质点在任一位置所受的力．??x2y22xy[解答]根据公式：2?2?cos???sin2??，A1A2A1A2其中位相差为：θ=θ2–θ1=-π/2，x2y2??1．所以质点运动的轨道方程为：合振动的轨迹是椭圆．两个振动的圆频率是相同的 ω= π/3，质点在 x方向所受的力为?d2x2??m?(?t?) ，Fx?max?m26dt即 Fx=(πt/3+/6)(N)．在y方向所受的力为y F x b= F θ Fy O a= x d2yπFy?may?m2??m?(?t?)，3dt

即

Fy=(

πt/3-

π/3)(N)

．???22

用矢量表示就是

F?Fxi+Fyj

，其大小为

F?Fx?Fy，与x轴的夹角为θ

=arctan(Fy/Fx)

．2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创41/59．18将频率为384Hz的标准音叉振动和一待测频率的音叉振动合成，测得拍频为，在待测音叉的一端加上一小块物体，则拍频将减小，求待测音叉的固有频率．ν`2

ν`1[

解答]

标准音叉的频率为

v0=384(Hz)

，ν ν 拍频为

v=(Hz)

，

ν2

ν0

ν1

待测音叉的固有频率可能是

v1=v0-

v=381(Hz)，ν

也可能是

v2=v0+

v=387(Hz)

．2在待测音叉上加一小块物体时，相当于弹簧振子增加了质量，于ω=k/m，可知其频率将减小．如果待测音叉的固有频率v1，加一小块物体后，其频率 v`1将更低，与标准音叉的拍频将增加；实际上拍频是减小的，所以待测音叉的固有频率v2，即387Hz．．19示波器的电子束受到两个互相垂直的电场作用．电子在两个方向上的位移分别为 x=Acosωt 和y=Acos(

ωt+

θ)

．求在θ

=0

，θ

=30o

，及θ

=90o

这三种情况下，电子在荧光屏上的轨迹方程．x2y22xy[ 解答]根据公式2?2?cos???sin2??A1A2A1A2 其中Δθ= θ2–θ1=-π/2

，，而θ1=0，θ2=

θ．Oyxx2y22xy 当 θ= θ=0 时，可得2?2?2?0，质点运动的轨道方程为y=x，轨迹是一条直线．2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创42/59当Δθ= θ=30o 时，可得质点的轨道方程y O

xxy2xy31???，222AAA242

即

x2?y2?3xy?A，轨迹是倾斜的椭圆．

/4

当

θ

=

θ

=90o

时，可得22y

即

x2+y2=A2

，质点运动的轨迹为圆．．20三个同方向、同频率的简谐振动为xy??1 ，A2A222Ox ??5?x1?(314t?) ，x2?(314t?) ，x3?(314t?) ．求：合振动的圆频率、振幅、初相及振动表达式；合振动初始位置运动到x?[解答]合振动的圆频率为：ω=314100π(rad?s-1)．设A0=，根据公式得：Ax=A1cos θ1+A2cosθ2+A3cosθ3=0，Ay=A1sin θ1+A2sinθ2+A3sinθ3=2A0=(m)振幅为：A?合振动的方程为： x=(100 πt+ π/2)．

，．A所需最短时间22Ax2?Ay= (m)，初位相为： θ=arctan(Ay/Ax) =π/2．当x?2A/2时，可得：cos(100?t??/2)?2/2，解得：100πt+ π/2= π/4或7π/4．于t>0 ，所以只能取第二个解，可得所需最短时间为t= ．第五章 机械波5 ．1已知一波的波动方程为 y=5×10-2sin(10 πt –)2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创43/59．求波长、频率、波速及传播方向；说明

x=0

时波动方程的意义，并作图表示．

[

解答与标准波动方程

y?Acos(?t?2?x?)

比较得：

2π/

λy/cm=

，

5

因此波长为：λ

=(m)

；圆频率为：ω

=10π，

-1t/s

频率为：

v=

ω/2

π

=5(Hz)

；波速为：

u=/T=λv=(m·s)．0且传播方向为x轴正方向．当x=0时波动方程就成为该处质点的振动方程：-2-2y=5 ×10sin10πt=5 ×10cos(10πt –π/2)，振动曲线如图．5 ．2一平面简谐波在媒质中以速度为轴正向传播，已知波线上 A点的振动方程为

u= ·s-1 沿xyA?(4?t?振动方程．[ 解答]y?[4?(t??2)(m)

简谐波的波动方程为：．试求：简谐波的波动方程；

y?Acos[?(t?x=-处质点

即P处的x?xA)??] ；ux??)?]=-处质点P点的振动方程为：

[4π(ty=[4

–5x)πt+

+π

π/2]．在x=+ π/2]=(4πt-

π/2)

．?25 ．3 已知平面波波源的振动表达式为y0??10sin?2t(m) ．求距波源 5m处质点的振动方程和该质点与波源的位相差．设波速为 2m·s-1．2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创44/59?2[

解答

]

振动方程为：

y??10sin?x(t?)

?(?t?5?)

，2u24位相差为

θ

=5

π/4(rad)

．．4有一沿x轴正向传播的平面波，其波速为u=1m·s-1，波长λ=，振幅A=．若以坐标原点恰在平衡位置而向负方向运动时作为开始时刻，试求：此平面波的波动方程；与波源相距 x=处质点的振动方程，该点初相是多少？[解答]设原点的振动方程为： y0=Acos(ωt+ θ)，其中A．于u=λ/T，所以质点振动的周期为：T=λ/u=(s)，圆频率为：ω=2π/T=50π．当t=0时，y0=0，因此cosθ=0；于质点速度小于零，所以θ=π/2．原点的振动方程为：y0=(50πt+π/2)，平面波的波动方程为：x?y?[50?(t?)?]=[50 π(t –x)+ π/2)．u2 与波源相距 x= 处质点的振动方程为：y= πt．该点初相θ=0．．5一列简谐波沿x轴正向传播，在t1=0s，t2=时刻的波形如图所示．试求：P点的振动表达式；波动方程；y/m

画出

O点的振动曲线．t=0t2=1[

解答]

设

P点的振动方程为yP=Acos(

ωt+

θ)，

x/m

其中

A=

．2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创45/59PO 在 t= 内，波向右传播了x=/3=(m)

，所以波速为

u=

x/

t=(m

·s-1)

．波长为：λ=4

x=(m)，图

周期为：T=

λ/u=1(s)

，圆频率为：ω=2π/T=2 π．当t=0时，yP=0，因此cosθ=0；于波沿x轴正向传播，所以 P点在此时向上运动，速度大于零，所以

θ

=-

π/2

．P 点的振动表达式为：

y