数学人教A版必修4导学案2.3.3平面向量的坐标运算

2．3.3平面向量的坐标运算1．理解向量加法、减法、数乘的坐标运算法则，能熟练进行向量的坐标运算．2．会根据表示向量的有向线段的起点坐标和终点坐标求这个向量的坐标．3．能借助于向量坐标，用已知向量表示其他向量．平面向量的坐标运算设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的____a＋b＝__________减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的____a－b＝__________数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的________λa＝__________向量坐标公式一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝______________【做一做1－1】已知a＝(1,3)，b＝(－2,1)，则b－a等于()A．(－3,2) B．(3，－2) C．(－3，－2) D．(－2，－3)【做一做1－2】已知eq\o(MN,\s\up6(→))＝(－1,2)，则－3eq\o(MN,\s\up6(→))等于()A．(－3，－3) B．(－6,3) C．(3，－6) D．(－4，－1)【做一做1－3】已知a＝(3,1)，b＝(－2,5)，则a＋b等于()A．(－6,5) B．(1,6) C．(5，－4) D．(7,7)答案：和(x1＋x2，y1＋y2)差(x1－x2，y1－y2)相应坐标(λx1，λy1)(x2－x1，y2－y1)【做一做1－1】C【做一做1－2】C【做一做1－3】B平面向量坐标运算规律剖析：(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外解题过程中要注意方程思想的运用．(2)利用向量的坐标运算解题，主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解．(3)利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出待定系数．(4)向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，就可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算．题型一向量的坐标运算【例1】已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)．求：(1)a＋3b；(2)eq\f(1,2)a－eq\f(1,4)b.反思：向量的坐标表示实质上就是用实数表示向量，因此，向量的坐标运算就可以转化为实数的运算．题型二用已知向量表示其他向量【例2】若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，试用a，b表示c.分析：由于条件中只给出a，b，c的坐标，故可考虑从“数”的角度出发用a，b表示c.又a，b不共线，则一定存在实数x，y使c＝xa＋yb，然后用向量坐标建立x，y的方程组求解．反思：用两个已知向量a，b表示第三个向量c，一般用待定系数法，设c＝xa＋yb，利用相等向量的坐标分别相等，建立两个方程来解两个未知数x，y.题型三求点或向量的坐标【例3】已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且eq\o(CM,\s\up6(→))＝3eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，求点M，N及向量eq\o(MN,\s\up6(→))的坐标．分析：由A，B，C三点的坐标易求得eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))的坐标，再根据向量坐标的定义就可以求出点M，N的坐标．反思：在关于向量坐标运算中，求某点或向量坐标时，常用待定系数法，先设出坐标，再列方程(组)解得．本题中也可直接求出点M的坐标，如eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(CM,\s\up6(→))－eq\o(CO,\s\up6(→))＝3eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CO,\s\up6(→))＝(3,24)－(3,4)＝(0,20)．题型四易错辨析易错点忽略平行四边形顶点的不同排列顺序【例4】设平行四边形三个顶点坐标为A(0,0)，B(0，b)，C(a，c)．求第四个顶点D的坐标．错解：设第四个顶点的坐标为D(x，y)，如图所示，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝(a，c)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(x，y－b)，由eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))，得(a，c)＝(x，y－b)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝x，,c＝y－b.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a，,y＝b＋c，))即点D坐标为(a，b＋c)．错因分析：平行四边形四个顶点按逆时针顺序排列有三种可能，即ACDB，ACBD，ADCB.而错解中只考虑了ACDB一种情形，而疏漏了另两种情况．答案：【例1】解：(1)a＋3b＝(2,1)＋3(－3,4)＝(2,1)＋(－9,12)＝(－7,13)．(2)eq\f(1,2)a－eq\f(1,4)b＝eq\f(1,2)(2,1)－eq\f(1,4)(－3,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，1))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,4)，－\f(1,2))).【例2】解：设c＝xa＋yb，则(－1,2)＝(x，x)＋(y，－y)＝(x＋y，x－y)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝－1，,x－y＝2.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝－\f(3,2).))∴c＝eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b.【例3】解：∵A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，∴eq\o(CA,\s\up6(→))＝(1,8)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(6,3)，∴eq\o(CM,\s\up6(→))＝3eq\o(CA,\s\up6(→))＝(3,24)，eq\o(CN,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))＝(12,6)．设M(x，y)，则eq\o(CM,\s\up6(→))＝(x＋3，y＋4)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3＝3，,y＋4＝24，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝20.))∴点M的坐标为(0,20)．同理可求点N的坐标为(9,2)．∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝(9，－18)．【例4】正解：设第四个顶点坐标为D(x，y)．(1)当四个顶点按逆时针ACDB排列时，解法同错解．(2)当四个顶点按逆时针ACBD排列时，由eq\o(AC,\s\up6(→))＝(a，c)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(－x，b－y)，及eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，得(a，c)＝(－x，b－y)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－x，,c＝b－y.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－a，,y＝b－c.))则此时点D坐标为(－a，b－c)．(3)当四个顶点按逆时针ADCB排列时，由eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(a，c－b)，及eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，得(x，y)＝(a，c－b)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a，,y＝c－b.))则此时点D坐标为(a，c－b)．综上所述，第四个顶点D的坐标为(a，b＋c)或(－a，b－c)或(a，c－b)．1．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则用a，b表示c等于()A．3a＋b B．3a－b C．－a＋3b D．a＋2．在平行四边形ABCD中，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝()A．(－2，－4) B．(－3，－5) C．(3,5) D．(2,4)3．作用在原点的三个力F1＝(1,2)，F2＝(－2,3)，F3＝(－1，－4)，则它们的合力F的坐标为__________．4．已知A(3，－5)，B(－1,3)，点C在线段AB上，且＝，则点C的坐标是__________．5．已知点A(－1,2)，B(2,8)，及＝，＝，求点C，D和的坐标．答案：1．B设c＝xa＋yb，则(4,2)＝x(1,1)＋y(－1,1)，∴解得∴c＝3a－b.2．B＝－＝－＝(－)－＝－＝(1,3)－(4,8)＝(－3，－5)．3．(－2,1)F＝F1＋F2＋F3＝(1,2)＋(－2,3)＋(－1，－4)＝(－2,1)．4．(0,1)设C(x，y)，则＝(x－3，y＋5)，＝3(－1－x,3－y)＝(－3－3x,9－3y)．∵＝3，∴解得x