(完整版)吉林大学高职高专《高等数学》第01章

《高等数学》

（2017年版）1主编高职高专规划教材委员会出版社吉林大学出版社2课程目录第一章函数第二章极限与连续第三章导数与连续第四章中值定理与导数的应用第五章不定积分第六章定积分第七章定积分的应用第八章常微分方程第九章向量代数与空间解析几何第十章多元函数微分学第十一章二重积分第十二章无穷级数第一章函数第一节函数的基本概念第二节函数的性质第三节反函数与复合函数第四节初等函数3

预备知识

集合、区间和邻域一、函数的定义二、函数的表示法三、函数的定义域第一节函数的基本概念4预备知识

集合、区间、邻域

1）集合具有某种特定性质的事物的总体；

集合中的每个事物称为集合的元素（元），元素a属于集合A:元素a不属于集合A:记作记作集合定义

不是有限集的集合称为无限集

一个集合若含有有限个元素，称为有限集5集合的表示法：列举法描述法常见的数集N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集它们间关系:不含任何元素的集合称为空集.6集合间的关系:规定空集为任何集合的子集.7基本运算设A、B是两集合则交“AB”

{xxA且xB}并“AB”

{xxA或xB}差“A-B”

{xxA且xB}其运算律：（1）AB=BAAB=BA（2）（AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)8（4）（3）（AB)C=(AC)(BC)（AB)C=(AC)(BC)AA=A,AA=A（5）

A=A,A=9

2）区间---9种类型的区间1011

3)邻域（可选讲）邻域:12一、函数的定义常量与变量:

研究过程中可以改变的量称为变量,注意通常用字母a,b,c等表示常量,研究过程中不可以改变的量称为常量.常量与变量的表示方法：用字母x,y,t等表示变量.1314函数的定义注意：

当两个函数的定义域和对应法则都相等时，两者才是同一个函数。15函数的常用表示法有以下三种：（1）表格法将自变量的值与对应的函数值列成表格的方法.（2）图形法在坐标系中用图形来表示函数关系的方法.（3）公式法（解析法）将自变量和因变量之间的关系用数学表达式（又称为解析表达式）来表示的方法.二、函数的表示法16｛

例

绝对值函数其定义域：D=(－∞,+∞),值域［0,+∞),它的图形如图所示．

图1-11【例，分段函数】17｛0,x=01,x＞0-1

,

x<0例符号函数y=sgnx=

其定义域D=(－∞,+∞),值域{－1,0,1}.对任一实数x,总有x=sgnx·x，它的图形如图所示．

有些函数,对于自变量的不同取值范围，有不同的对应法则,这种函数称为分段函数.0,x=01,x＞0【例，分段函数】（教材P2）｛1819【例，分段函数】(教材P3)

20122122三、函数的定义域2324教材P5习题1-11、2、第二节函数的性质一、函数的奇偶性二、函数的单调性三、函数的有界性四、函数的周期性25偶函数yxox-x一、奇偶性26奇函数yxox-x2728教材P6xyo二、单调性29xyo30三、有界性31四、周期性3233【例4】f(x)=sinx和f(x)=cosx（1）正弦函数y=sinx，其定义域为(－∞,+∞)，值域为［－1,1］，它是奇函数及以2π为周期的周期函数（见图）.34

（2）余弦函数y=cosx，其定义域为(－∞,+∞)，值域为［－1,1］，它是偶函数及以2π为周期的周期函数（见图）.3536教材P8习题1-21、2、3、4第三节反函数和复合函数一、反函数二、复合函数（教材P13）37

凡未作特别说明，本教材提到的“函数”都是指单值函数一、反函数3839注：

函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数4041

(3)

求函数y=（ex－e－x）/2的反函数.解:记u=ex，则y=（u－u－1）/2，由此得u2－2yu－1=0，解得u=y±y2+1,因u>0，故u=y+y2+1，即ex=y+

y2+1，所以x=ln(y+y2+1)，因此函数y=（ex－e－x）/2的反函数为y=ln(x+x2+1).【接上例】√√√√√4344二、复合函数（教材P13）45复合函数进一步的解释：则设有函数链称为由①,②确定的复合函数

,①②u

称为中间变量.注意:构成复合函数的条件不可少.例如,

函数链:函数但函数链不能构成复合函数.可有复合46两个以上函数也可构成复合函数.例如,可构成复合函数:47第四节初等函数基本初等函数（教材P10表1-1）(5类)48幂函数1.

幂函数y=xα（α∈R），其定义域由α的取值决定.当α=1,2，3，12,－1时是最常用的幂函数（见图）.幂函数50指数函数2.

指数函数y=ax(a为常数,且a>0,a≠1)，其定义域为(－∞,+∞).当a>1时,指数函数y=ax单调增加；当0<a<1时，指数函数y=ax单调减少，如图所示.其中最为常用的是以e（e是无理数，它的值是2.718281828…）为底数的指数函数y=ex.指数函数52对数函数3.

指数函数y=ax的反函数称为对数函数，记为y=logax（a为常数，且a>0，a≠1），其定义域为(0,+∞).当a>1时，对数函数y=logax单调增加；当0<a<1时，对数函数y=logax单调减少，如图所示.其中以e为底的对数函数称为自然对数函数，记为y=lnx.对数函数544）三角函数正弦函数55余弦函数56正切函数57余切函数58（5）反三角函数

三角函数的反函数称为反三角函数，由于三角函数y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx不是单调的，为了得到它们的反函数，需对这些函数限定在某个单调区间内来讨论.常用的反三角函数有：①反正弦函数y=arcsinx，定义域为[－1,1]，值域为[－π/2,π/2]（见图）

②反余弦函数y=arccosx，定义域为[－1,1]，值域为[0,π]（见图）.

③反正切函数y=arctanx,定义域为(－∞，+∞)，值域为[－π/2,π/2]（见图）.④反余切函数y=arccotx,定义域为(－∞，+∞)，值域为[0,π]（见图）.初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数

.例如,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.可表为故为初等函数.63非初等函数