全等三角形的复习提纲及试题集

..第19章全等三角形全章考点复习指导一、［知识点解析］1、判断正确或错误的句子叫做命题．正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．2、命题是由题设、结论两局部组成的．题设是事项；结论是由事项推出的事项．常可写成"如果……，那么……〞的形式．用"如果〞开场的局部就是题设，而用"那么〞开场的局部就是结论．3、直角三角形的两个锐角互余．4、三角形全等的判定：方法1：如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为S.A.S.〔或边角边〕．方法2：如果两个三角形有两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为A.S.A.〔或角边角〕方法3：如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为A.A.S.〔或角角边〕．方法4：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为〔或边边边〕.方法5〔只能用于直角三角形〕：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等．简记为H.L.〔或斜边、直角边〕．［课堂精讲］一、边角边、角边角1．如果两个三角形有两边及其夹角分别对应________，那么这两个三角形________，简记为________．2．如果两个三角形的两个角及其_______对应相等，那么这两个三角形_____，简记_______．测试点1边角边〔SAS〕判定三角形全等1．如图1所示，甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是______．(1)(2)2．在△ABC和△A1B1C1中，AB=A1B1，∠A=∠A1，要使△ABC≌△A1B1C3．如图2所示，∠1=∠2，AB=AC，求证：BD=CD．〔要求：写出证明过程中的重要依据〕测试点2角边角〔ASA〕判定三角形全等4．如图3所示，在△AOB和△COD中，AC与BD交于点O，AB∥CD，补充一个条件________，得出△AOB≌△COD，理由分别是_________．(3)(4)5．以下说法错误的选项是〔〕A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等B．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等C．腰和顶角对应相等的两个等腰三角形全等D．等腰三角形的顶角平分线把这个等腰三角形分成的两个三角形全等6．如图4所示，MB=DN，∠MBA=∠NDC，以下不能判定△ABM≌△CDN的条件是〔〕A．∠M=∠NB．AB=CDC．AM=D．AM∥7．以下各组条件中，不能判定△ABC≌△A′B′C′的是〔〕A．AC=A′C′，BC=B′C′，∠C=∠C′B．∠A=∠A′，BC=B′C′，AC=A′C′C．AC=A′C′，AB=A′B′，∠A=∠A′D．AC=A′C′，∠A=∠A′，∠C=∠C′［精典练习］1．如图5所示，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充一个条件后，仍无法判断△ABE≌△ACD的是〔〕A．AD=AEB．∠AEB=∠ADCC．BE=CDD．AB=AC(5)(6)(7)2．如图6所示，△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=1，将△ABC绕顶点A旋转180°后，点C落在C′处，那么CC′的长为〔〕A．4B．4C．2D．23．如图7所示，∠1=∠2，AC=AD，增加以下条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E，其中能使△ABC≌△AED的条件有〔〕A．4个B．3个C．2个D．1个(8)(9)(10)4.如图8所示，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线L的距离分别是1和2，那么正方形的边长是________．5．如图9所示，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A′OB′，假设点A的坐标为〔a，b〕，那么点A′的坐标为________．6．如图10所示，P是正三角形ABC的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，假设将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，那么点P与点P′之间的距离为_______，∠APB=________．7．如下图，AC和BD相交于点E，AB∥CD，BE=DE，求证：AB=CD．8．如下图，点E为正方形ABCD的边AD上一点，连结BE，过点A作AH⊥BE，垂足为H，延长AH交CD于F，求证：DE=CF．9．如下图，AB与CD相交于O，AC∥DB，OC=OD，E、F为AB上两点，且AE=BF，求证：CE=DF．证明：因为AE=BF，所以AO-AE=BO-BF，即OE=OF．在△OEC和△OFD中，所以△OEC≌△OFD〔SAS〕．所以CE=DF．上述证明过程中，错在哪一步，说明产生错误的原因，并写出正确的证明过程．◆拓展创新如下图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足为E、F．〔1〕过A的直线与BC不相交时，有EF=BE+CF.如图〔1〕．〔2〕如图〔2〕，过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，你能得出什么结论？并给出证明．参考答案1．相等，全等，SAS2．夹边，全等，ASA1．乙2．AC=AC3．由得△ABD≌△ACD，所以BD=CD．4．OA=OC或OB=OD或AB=CD，理由略5．B6．C7．B1．B2．B3．B4．5．〔-b，a〕6．6，150°7．AAS可证8．先证△ABE≌△DAF得AE=DF，因为由正方形ABCD得AD=DC，所以得ED=FC9．①中AO=BO不是条件，需先证明△AOC≌△BOD，证明过程略拓展创新EF=BE-CF，证△ABE≌△CAF，可得AE=CF，BE=AF，所以EF=AF-CF=BE-CF．［课堂精讲］二、1．如果两个三角形三条边对应______，那么这两个三角形________，简记_______．2．如果两个直角三角形的一条直角边及斜边______，那么这两个三角形全等，简记为_______．测试点1边边边〔SSS〕判定三角形全等1．如图2所示中，F、C在线段BE上，假设BC=FE，AB=DE，要利用SSS证明△ABC≌△DEF，补充一条边相等的条件是________．(1)(2)(3)2．在以下条件中，能判定△ABC≌△A′B′C′的是〔〕A．AB=A′B′，BC=B′C′，两个三角形周长相等;B．∠C=∠A′，∠C=∠C′，AC=B′C′;C．AB=A′B′，BC=B′C′，∠A=∠A′;D．∠A=∠A′，∠B=∠B′.3．如图2所示，△ABC中，BC边与线段DE相等，以D、E为两个端点，作与△ABC全等的三角形，这样的三角形最多可以画出______个，并画出所有的图形．测试点2斜边与直角边〔HL〕判定三角形全等4．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，以下四组条件：①AB=A′B′，CB=C′B′；②AC=A′C′，CB=C′B′；③∠A=∠A′，∠B=∠B′；④∠A=∠A′，BC=A′C′，可以用来判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的有〔〕A．1组B．2组C．3组D．4组5．如图3所示，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE与CD相交于O，且∠1=∠2，那么以下结论正确个数为〔〕①∠B=∠C；②△ADO≌△AEO；③△BOD≌△COE〔ASA〕；④图中有四组三角形全等．A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图4所示，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC的理由是〔〕A．SASB．ASAC．SSSD．HL(4)(5)7．如图5所示，我们可以用三角板来平分一个任意的锐角，在△AOB的两边上分别取OM=ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，OP就是∠AOB的平分线，说明其中的道理．1．如图6所示，将两根钢条AA′，BB′的中点O连结在一起，使AA′，BB′可以绕着O自由转动，就做成一个测量工件，那么A′B′的长等于槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是〔〕A．边角边B．角边角C．边边边D．角角边(6)(7)(8)2．如图7所示，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影局部的面积是矩形ABCD的面积是〔〕A．B．C．D．3．如图8所示，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，那么以下结论错误的选项是〔〕A．△ABC≌△DEFB．∠DEF=90°C．AC=DFD．EC=CF4．如图9所示，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=；③AC=DN．其中，正确结论的个数是〔〕A．3个B．2个C．1个D．0个(9)(10)(11)5．如图10所示，AB=CD，AD、BC相交于点O，要使△ABO≌△DCO，应添加条件为_______〔添加一个即可〕．6．如图11所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出以下结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△A≌△ABM；④CD=DN，其中正确的结论是______．〔填序号〕7．如下图，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于E，由这些条件你能推出哪些结论？不添加辅助线和字母，不写推理过程，只写出四个你认为正确的结论．8．如下图，在△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，BD=BE．〔1〕请你再添加一个条件，使得△BEA≌△BDC，并给出证明.你添加的条件是:__________________;证明:〔2〕根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形_________．9．如图〔1〕所示，A、E、F、C在同一条直线上，AE=CF，过E、F作DE⊥AC，BF⊥AC，假设AB=CD，求证：〔1〕BD与EF互相平分．〔2〕假设将△ABF的边AF沿CA方向移动，如图〔2〕所示，其余条件不变，上述结论是否成立？假设成立，请予证明．◆拓展创新如下图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CO为中线，现将一直角三角板的直角顶点放在O点并旋转，假设三角板的两直角边分别交AC、CB的延长线G、H．〔1〕试写出图中除AC=BC，OA=OB=OC外的相等线段．〔2〕任选一组给予证明．参考答案回忆探索1．相等，全等，SSS2．对应相等，HL课堂测控1．AC=DF2．A3．4，图形略4．B5．D6．B7．在Rt△OMP与Rt△ONP中有OM=ON，OP=OP，即Rt△OMP≌Rt△ONP．所以∠AOP=∠BOP，即OP平分∠AOB．课后测控1．A2．B3．D4．B5．AB∥CD等6．①②③7．∠DAC=∠BAC，∠ACD=∠ACB，∠ADC=∠ABC，∠ADB=∠ABD等．8．〔1〕AB=BC等，证明略〔2〕△ADF≌△CEF9．〔1〕先证Rt△ABF≌Rt△CDE，再证△EMD≌△FMB即可〔2〕成立，证明方法与〔1〕一样拓展创新〔1〕CG=BH，AG=CH，OG=OH〔2〕证明略.［方法指导］：一.考察性质图1例1(08)：如图1，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，那么∠AEB＝________度.120图1解析:∵△OAD≌△OBC,∴∠D=∠C＝25°,∴∠EAC=∠O+∠D=70°+25°=95°,∴∠AEB=∠C+∠EAC=25°+95°=120°.故填120.评注:此题主要考察的知识点是全等三角形的对应角相等和三角形的外角等于与它不相邻的两个角的和.二.考察判定例2(08省)：如图2，三点在同一条直线上，，，．求证：．ADBCE图1图2分析:欲证,两三角形有一边,不妨证明夹此边的两角,∠B=∠ADBCE图1图2对应相等,证明：∵AC∥DE，，．又∵∠ACD=∠B.，．又∵AC=CE.，．评注:判定两个三角形全等的方法很多,从中选择最优方法是解题关键，此题只有一对对应边相等,我们很容易想到用ASA或AAS,然后再排除ASA.三.全等三角形探究题图①图②例3(08)复习"全等三角形〞的知识时，教师布置了一道作业题："如图①，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，那么BQ图①图②小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现"BQ=CP〞仍然成立，请你就图②给出证明．分析:模仿图①的证明可以完成图②的证明,仍然是证明BQ=CP所在的△AQB≌△APC,应用SAS定理到达目的.证明：，．即．在和中，．．考察同学们从具体、特殊的情形出发去探究运动变化过程中的规律的能力，试题的设计层层递进，为发现规律、证明结论设计了可借鉴的过程，通过提供的思想方法，去解决类似相关问题，考察了同学们的后续学习的能力．［创新题型］一、探索开放题例1．如图1，在△ＡＢＣ中，点Ｄ在ＡＢ上，点Ｅ在ＢＣ上，ＢＤ＝ＢＥ．〔1〕请你再添加一个条件，使得△ＢＥＡ≌△ＢＤＣ，并给出证明．你添加的条件是：___________．证明：〔2〕根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形：______________．〔只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程〕．分析：〔1〕本小题是探索条件类，只要根据结论添加即可，此题一边，还有隐含的条件一对公共角，这样按照全等的条件再添加一边或一角就行了．〔2〕本小题是探索结论类，只要根据你添加的条件任写一对全等的三角形即可．点评：此题是添加条件写结论的全开放型的创新题，这种类型的题目开放程度非常高，能激起同学们的挑战的欲望和创新热情，实属好题．二、条件组合题例2．如图2，在△ABC和△DEF中，D、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设，余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明．①AB＝DE，②AC＝DF，③∠ABC＝∠DEF，④BE＝CF．：求证：图2图2分析：根据三角形全等的条件和三角形全等的特征，此题有以下两种组合方式：组合一：条件：①②④，组合二：条件：①③④，结论：②，特别要注意假设以①②③或②③④为条件组合，此时属于SSA的对应关系，那么不能证明△ABC≌△DEF，也得不到相关结论．点评：这种题型是近几年来的中考题的新亮点，它通过"一题多变〞与"一题多解〞来考察学生的发散思维能力．三、猜测验证题例3如图3，为等边三角形，、、分别在边、、上，且也是等边三角形．〔1〕除相等的边以外，请你猜测还有哪些相等线段，并证明你的猜测是正确的；〔2〕你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程．图3分析：〔1〕猜测：AF=BD=CE，AE=BF=CD图3由条件，只要证明：△AFE≌△BDF≌△CED即可．〔2〕这些线段可以看成是经过平移、旋转而得到的，如AE与BF绕着A点顺时针旋转600，再沿着AB方向平移使A点至F即可得BF，其余类同．点评：此题是一道具有挑战性的探索、猜测、验证、证明的试题，它与几何中图形的全等、图形的变换融合在一起，只要同学们认真观察、认真判断，问题就不难得到解决．四、拼图证明题例4．一矩形纸片沿对角线剪开，得到两三角形纸片，再将这两三角形纸片摆成如下右图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上．〔1〕求证AB⊥ED；〔2〕假设PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明．分析：〔1〕由的剪、拼图过程〔将长方形沿对角线剪开〕，显然有△ABC≌△DEF，故∠A=∠D；又∠ANP=∠DNC，因而不难得到∠APN=∠D=900，即AB⊥ED．〔2〕假设在增加PB=BC这个条件，再认真观察图形，就不难得到△PNA≌△D、△PEM≌△FMB．点评：此题的意图是让同学们在剪、拼图形的背景下，积极参与图形的变化过程，并在图形的变化过程中来探究图形之间的关系，用来考察学生的创新精神与能力．五、操作应用题Ａ•Ａ••••••••Ｂ工具设计一种测量方案.要求:(1)画出你设计的测量平面图；(2)简述测量方法，并写出测量的数据(长度用…表示；角度用…表示)；(3)根据你测量的数据,计算A、B两棵树间的距离.分析：此题的测量方法很多，这里用全等知识来解决，方案如图5，步骤为：BACDO图BACDO图5〔2〕在OA的延长线上取一点C，使OC=OA；在BO的延长线上取一点D，使OD=OB；〔3〕测得DC=a，那么AB=a．点评：此题是一道全开放式的设计方案题，它的解题策略非常多，可以利用三角函数、三角形中位线定理、全等三角形、三角形相似等许多知识，此题来源于课本、来源于生活，可以激发学生"学有用的数学〞，更激发学生的学习热情和创新热情以及求知欲望．［错题分析］：，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，ABDABDEFC错解：把BE、CF当成三角形的边，即在ΔABF和ΔDCE中∵AB=DC∠B=∠CBE=CF∴ΔABF≌ΔDCE∴AF=DE错因分析：没有认真地结合图形来分析条件，错把三角形边上的一局部当作边来参与证明，这是不符合"边角边〞公理的条件的。正解：∵BE=CF∴BE+EF=CF+EF即BF=CE在ΔABF和ΔDCE中：AB=DC∠B=∠CBF=CE∴ΔABF≌ΔDCE〔SAS〕∴AF=DE［精典练习］：填空题：1、旋转不改变图形的形状与大小。2、假设一直角形的一直角边长是60㎝，且其中一角是30°，那么另一直角边长是8㎝或2㎝。3、直角三角形两边分别是6㎝、8㎝，那么第三边长为：10㎝或2㎝。二、选择题：AECB如图，AB⊥BD，CD⊥BDAECBD那么∠C的度数为：〔C〕DA、20°B、30°C、40°D、50°2、如图假设ΔABC≌ΔEDF，∠A=50°，∠C=30°，那么∠D=〔D〕AABCDEFA、30°B、50°C、60°D、100°二1、一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题．2、如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．3、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．〔简写成"等角对等边〞〕4、如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.〔勾股定理的逆定理〕5、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上.6、线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。［课堂精讲］一、测试点1互逆命题1．命题："对顶角相等〞的题设是________，结论是________，它的逆命题是________，这个命题是______〔填"真、假〞〕命题．2．以下命题的逆命题，是真命题的是〔〕A．末位数是5的整数能被5整除;B．有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等;C．矩形是既对称图形，又是中心对称图形;D．两点确定一条线3．如下图，从以下条件：①BC=B′C′；②AC=A′C；③∠A′CA=∠B′CB；④AB=A′B′中取三个为题设，余下一个为结论，请你写出一个正确的命题．测试点2互逆定理4．定理"两直线平行，同位角相等〞的逆命题是_________，它是_____命题〔填"真、假〞〕．5．请写出下面定理的逆定理，并证明它的正确性．菱形的对角线互相垂直平分．1．命题"等腰三角形的两腰上的高相等〞的逆命题是_______．2．有以下命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②两点之间，线段最短；③相等的角是对顶角；④两个锐角的和是锐角；⑤同角或等角的补角相等，其中正确命题的个数是〔〕．A．2个B．3个C．4个D．5个◆拓展创新如下图，AB、CD相交于E，现给出如下三个论断：①∠A=∠C；②AD=CB；③AE=CE．请你选择其中两个论断作条件，另外一个论断为结论，构造一个命题．〔1〕在构成的所有命题中，真命题有_______个．〔2〕在构成中的真命题中，请选择一个加以证明．参考答案1．如果两个角是对顶角，这两个角相等，相等的两个角是对顶角，假2．B3．在△ABC和△A′CB′中，BC=B′C，AC=A′C，∠ACA′=∠B′CB，那么AB=A′B′．4．同位角相等两直线平行，真5．对角线互为垂直平分的四边形是菱形，证明略1．两边上的高相等的三角形是等腰三角形2．A〔1〕2〔2〕选择的真命题：①②③证△ADE≌△CBE〔SAS〕．①③②证△ADE≌△CBE〔ASA〕［课堂精讲］二、测试点1角平分线的性质1．如图1所示，BC⊥AC于C，BD⊥AD于点D，请你填写一个适当的条件：____________，使BC=BD.(1)(2)(3)2．如图2所示，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，BC=8cm，BD=5cm，那么DE的长为〔〕A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm3．如图3所示，方格纸中的每个小方格都是一样的正方形，将∠AOB画在方格纸上，请在小方格的顶点上标出一个点P，使点P落在∠AOB的平分线上．测试点2线段垂直平分线的性质4．如图4所示，△ABC中，AB=8，DE垂直平分BC，假设△AEC周长为13，那么AC=______．(4)(5)(6)5．如图5所示的图形中，AC=AD，BC=BD，那么〔〕A．CD垂直平分ABB．AB垂直平分CDC．CD平分∠ACBD．∠ACB=∠ADB=90°6．如图6所示，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AC，∠A=50°，那么∠DCB的度数是〔〕A．15°B．30°C．50°D．65°7．如下图，：∠AOB，点M、N．求作：点P，使点P在∠AOB的平分线上，且PM=PN〔要求：用尺规作图，保存作图痕迹，不写作法〕．◆课后测控1．如图7所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于D，AD=2.2cm，AC=3.7cm，那么D点到AB边的距离是______cm．(7)(8)(9)2．如图8所示，△ABC中，AB=7，BC=10，AC的垂直平分线交BC于D，交AC于E，那么△ABD的周长为________．3．如图9所示