2022年中考数学：勾股定理（一）

2022年中考数学专题：勾股定理（一）

1.在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股

定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为〃无字证

明实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式

和规律，它体现的数学思想是（）

A.统计思想B.分类思想C.数形结合思想D.函数思想

2.如图，在AABC中，/.BAC=90°,AB=AC=S，点。在AC上，且2D=2,

点E是AB上的动点，连结OE,点F,G分别是BC和DE的中点,

连结AG,FG,当4G=FG时，线段DE长为（）

A.V13B.逑C.恒D.4

22

3.如图，4（8,0）,C（-2.0）,以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴

正半轴于点B,则点B的坐标为（）

A.(0,5)B.(5,0)C.(6,0)D.(0,6)

4.如图，在菱形ABCD中，乙4=60。，点E,F分别在边AB,BC上,

AE=BF=2,ADEF的周长为,则AD的长为()

C.V3+1D.2V3-1

715-10,BC=8,按下列步骤作图:

步骤1:以点A为圆心，小于AC的长为半径作弧分别交AC、AB于点

D、E.

步骤2：分别以点D、E为圆心,大于\DE的长为半径作弧，两弧交于

点M.

步骤3：作射线4M交BC于点F.则AF的长为()

A.6B.3V5C.4V3D.6V2

6.如图，在RJACB中，^-ACB=90°,AC=6,BC=8,若以4c为直径

的。。交AB于点D,则CD的长为（)

12R13

A.B上D.5

T-Tc,5

7.如图，在Rt“ABC中,乙4c8=90。,以该三角形的三条边为边向形外作正

方形，正方形的顶点E,F,GH,M,N都在同一个圆上.记

Si

该圆面积为Si,AABC面积为S2,则的值是（)

s2

B.3TTC.57rD.—

22

8.如图，Rt4ABe中，"CB=90°AC=2yf3,BC=3.点P为AABC内

一点，且满足PA2+PC2=AC2.当PB的长度最小时,4ACP的面积是（

)

。・苧.苧

B.3V3D

9.如图，每一小格的长度为1,点4,B都在格点上，若BCW,则4c

的长为（）

g........................

A.V13B.i/HC.2V13D.3V13

3

10.如图，。。是RtdABC的外接圆，0E14B交。。于点E，垂足为点D,

AE,CB的延长线交于点F.若。。=3,AB=8,则FC的长是（

11.如图，在EL48CD中，对角线AC,BD交于点。，AB1AC,AH1BD

于点H,若4B=2,BC=2次，则AH的长为.

12.在边长为4的正方形4BCD中，连接对角线AC、BD,点P是正方形边上或

对角线上的一点，若PB=3PC,则PC=.

13.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六

尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比

宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈.问门高、宽各是多少？（1丈=10

尺，1尺=10寸）如图，设门高AB为x尺,根据题意，可列方程为.

D

14.如图，AB是。。的弦，C是*B的中点，℃交AB于点D.若4B=

8cm,CD=2cm,贝ljO0的半径为cm.

15.如图，在内4ABe中，乙4cB=90。，4?=8,BC=6,点、P是平面内一个动

点，且4尸=3,Q为8P的中点，在P点运动过程中，设线段CQ的长度为

m,则小的取值范围是.

16.如图，在矩形A8CD中，48=6,40=8,将此矩形折叠，使点。与点力重

合，点。落在点。处，折痕为EF,则的长为，。。的长为

D'

D

BE

17.已知菱形48CD的面积为2b，点E是一边BC上的中点，点P是对角线BD

上的动点.连接AE,若AE平分ABAC,则线段PE与PC的和的最小值

为—，最大值为—.

18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，AABC的顶点A,C均落在

格点上，点B在网格线上.

(I)线段"的长等于—;

(II)以48为直径的半圆的圆心为0,在线段AB上有一点P,满足

AP=AC.请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P,并简要说

明点P的位置是如何找到的(不要求证明)—.

19.如图，正方形ABCD的边长为4,对角线AC,BD相交于点。，点E,

F分别在BC,CD的延长线上，且CE=2,DF=1,G为EF的中点,

连接0E,交CD于点H,连接GH,则GH的长为.

20.如图，四边形力BDC中，AC=BC,/.ACB=90°,力。1BD于点。.若8。=2,

CD=4或,则线段4B的长为

21.如图，圆0中两条互相垂直的弦AB,CD交于点E.

(1)M是CD的中点，0M=3,CD=12,求圆。的半径长;

(2)点F在CD上，且CE=EF,求证：AF1BD.

22.(1)阅读理解

我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周

髀算经》中.汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的

“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”.

根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；

(2)问题解决

勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE

的中心。，作FGLHP,将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正

方形恰好能拼成以为边的正方形.若AC=12,8c=5,求EF的值；

(3)拓展探究

如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直

角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形.设

大正方形N的边长为定值n,小正方形A,B,C,。的边长分别为a,b,

c,d.

已知41=42=43=a,当角戊(0。＜。＜90。)变化时，探究b与c的关系式，

并写出该关系式及解答过程(b与c的关系式用含n的式子表示).

23.研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题.

（1）阅读材料

立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相

交所成的角.

例如，正方体ABCD-AB7/D，（图1），因为在平面AA'C'C中，CC//AA',

AA'与AB相交于点A，所以直线AB与AA'所成的^BAA'就是既不相交

也不平行的两条直线AB与CC所成的角.

解决问题

如图1,已知正方体ABCD-A'B'C'D',求既不相交也不平行的两直线BA'与

AC所成角的大小.

图2

（2）如图2,M,N是正方体相邻两个面上的点；

①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个

图形是；

②在所选正确展开图中，若点M到AB,BC的距离分别是2和5,点N到

BD,BC的距离分别是4和3,P是4B上一动点，求PM+PN的最小

24.如图①，E、F是等腰RPABC的斜边BC上的两动点，NEAF=45。，

CD1BC且CD=BE.

(1)求证：AABE=AACD；

(2)求证：EF2=BE2+CF2；

(3)如图②，作AHLBC,垂足为H,设/.EAH=a,乙FAH=B，不

妨设AB=V2,请利用(2)的结论证明：当a+口=45。时，tan(a+夕)=

tana+tan/?4

1-tanatan/?蚊".

图①

25.已知：如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点。，^BOC=120°,

AB=2.

(1)求矩形对角线的长；

(2)过。作0E140于点E,连结BE.记^ABE=a,求tana的值.

26.在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短?

(1)如图①，圆锥的母线长为12cm,B为母线0C的中点，点A在底

面圆周上，AC的长为4ncm.在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁

从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长(结果保留根号).

(2)图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成.。是圆锥的顶点,

点A在圆柱的底面圆周上，设圆锥的母线长为/,圆柱的高为h.

①蚂蚁从点A爬行到点。的最短路径的长为__(用含1,八的

代数式表示).

②设AD的长为a,点、B在母线0C上，OB=b.圆柱的侧面展开图如

图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写

出求最短路径的长的思路.

③

27.如图1,在AABC中,乙4cB=90。，4C=BC,点。是AB边上一点(含

端点A、B),过点B作BE垂直于射线CD,垂足为E,点F在射线

CD上，且EF=BE,连接力尸、BF.

(1)求证：AABF-ACBE；

(2)如图2,连接AE,点P、M、N分别为线段AC.AE.EF的

中点，连接PM,MN、PN.求"MN的度数及器的值；

(3)在(2)的条件下，若8c=奁，直接写出APMN面积的最大值.

28.课本再现

(1)在证明〃三角形内角和定理''时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图

1即可证明，其中与相等的角是—；

类比迁移

(2)如图2,在四边形ABCD中，AABC与^ADC互余，小明发现四边形

ABCD中这对互余的角可类比(1)中思路进行拼合：先作/-CDF=Z.ABC,

再过点C作CELDF于点E,连接AE,发现AD,DE,AE之间的

数量关系是—;

方法运用

(3)如图3,在四边形ABCD中，连接AC,4BAC=90。，点。是AACD

两边垂直平分线的交点，连接。4,^OAC=AABC.

①求证：/-ABC+/.ADC=90°；

②连接BD,如图4,已知AD=m,DC=n,桀=2,求BO的长(用

含m,n的式子表示).

图3图4

29.如图，在AABC中，AD1BC,垂足为D,BD=CD,延长BC至E,

使得CE=CA,连接AE.

(1)求证：乙B=乙4cB；

(2)若4B=5,4。=4,求AABE的周长和面积.

30.如图，在正方形4BCD中，E,F为边4B上的两个三等分点，点4关于DE

的对称点为A',44'的延长线交BC于点G.

(1)求证：DE//A'F；

(2)求4G48的大小;

(3)求证：A'C=2A'B.

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参考答案

1.C

[※解析※]

掌握几种数学思想所包含的意义即可解决问题.

解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证

明”，它体现的数学思想是数形结合思想，

2.A

[※解析※]

分别过点G,F作AB的垂线，垂足为M,N,过点G作GP1FN于点P,

由中位线定理及勾股定理可分别表示出线段4G和FG的长，建立等式可求出

结论.

解：如图，分别过点G,F作48的垂线，垂足为M,N,过点G作GP1FN

于点P,

:.GM=PN,GP=MN,

■：Z.BAC=90°,AB=AC=5,

•••CAA.AB,

又••,点G和点F分别是线段DE和BC的中点,

・•.GM和FN分别是44DE和2MBe的中位线，

GM=-AD=1,AM=-AE,

22

FN=-AC=-,AN=-AB=-,

2222

MN=AN-AM=---AE,

22

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3

.%PN=19FP=耳,

设AE=m,

151

・•・AM=-mGP=MN=三一-m

29229

在Rt』AGM中，AG2=(^m)2+l2,

在Rt4GPF中'GF?=(|一如)2+(|)2,

"AG=GF,

(泗2+/=(|_刎2+(|)2,

解得m=3,即AE=3,

在Rt“ADE中，DE=-A"+AE2=V13.

3.D

[※解析※]

先根据题意得出勿=8,0(=2,再根据勾股定理计算即可

解：由题意可知：AOAB

'：4(8,0),C(-2,0)

：.OA=8,0(=2

：.AC=AB=10

在RtXOAB中，OB=\lAB2-OA2=V102-82=6

."(0,6)

4.C

[※解析※]

连BD,作垂足为H,先证明4ABD是等边三角形，再根据S4S判

定AADE=ABDF,得至I」4DEF是等边三角形，根据周长求出边长DE=遍,

设AH=x,则HE=2-x,DH=6x,在R^DHE中，根据勾股定理列方程求

出招进而得到4O=2x的值.

解:如图，连结BD,作垂足为H,

••・四边形4BCD是菱形，

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AB=AD,AD//BC,

v乙4=60°,

ZL4BD是等边三角形，Z.ABC=180°-Z./1=120°,

・•・AD=BD,Z.ABD=Z.A=(ADB=60°,

:.Z.DBC=Z.ABC-乙ABD=120°-60°=60°,

vAE=BF,

・・"DE会/BDF(SAS),

・・乙

•DE=DFyFDB=Z-ADE,

・•・乙EDF=乙EDB+乙FDB=乙EDB4-Z.ADE=乙ADB=60°,

・••4DE尸是等边三角形，

•••4DEF的周长是3遍，

•••DE=V6,

设AH=x,则HE=2-x,

"AD=BD,DH1AB,

•••^ADH=-^ADB=30°,

・•・AD=2%,DH=V3x,

在Rt』DHE中，DH2+HE2=DE2,

・・・(V3x)2+(2-x)2=(V6)2,

解得：％=字(负值舍去)，

・•・AD=2%=1+V3,

D

5.B

[※解析※]

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根据基本作图得到"■平分々AC,过F点作FH14B于H,如图，根据角平

分线的性质得到FH=FC,再根据勾股定理计算出4c=6,设CF=x,则

FH=x,用等面积法得到10-x+Tx6y=gx6x8,解得％=3,最后利

用勾股定理计算HF的长.

由作法得4F平分MAC,

过F点作FH14B于H,如图，

•••AF平分ZBAC,FHLAB,FCVAC,

FH=FC,

在。4BC中，vZC=90°,AB=10,BC=8,

AC=7AB2-BC?=6,

设CF=x,则FH=x,

^AABF+^AACF=^AABC

1xl0-x+|x6x=1x6x8,解得x=3,

在Rt』ACF中'A?=V/1C2+CF2=V62+32=3V5.

6.C

[※解析※]

由圆周角定理得到CDLAB,然后根据勾股定理先求得AB的长度；再用等面

积法来求CD的长度即可.

■:以AC为直径的。。交4B于点D,

^ADC=90°,即CDLAB.

在Rt」ACB中，乙ACB=90°,AC=6,BC=8,

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则由勾股定理得到：AB=y/AC2+BC2=V62+82=10.

■•■-AC-BC=-AB-CD,BP-x6x8=-xlOCD.

22'22

故CD=g.

7.C

[※解析※]

设RPABC的三边长为。，b,c,其中c为斜边，设。。的半径为r,根据

图形找出a,b,c,r的关系，用含c的式子表示S】和52,即可求出比值.

解：如图，

则a2+b2=c2,①

取AB的中点为0,

•••2L4BC是直角三角形，

:.OA=OB=OC,

•••圆心在MN和HG的垂直平分线上，

。为圆心，

连接OC,OG,OE,作OD1AC,则OG,OE为半径,

由勾股定理得：

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N=(a+§2+G)2=c2+G)2,②

由①②得a=b,

2

・，%2=一Cr,

2

57

，Sc]—~TCC,

•••S=-ab=­y

2z24

8.D

[※解析※]

取4c中点0,连接OP,BO,根据勾股定理的逆定理可求4Ape为直角，

可得点P在以AC为直径的圆上运动，由三角形的三边关系可得BP>BO-

0P,当点P在线段8。上时，BP有最小值，由锐角三角函数可求NBOC的度

数，即可求解.

解：取4c中点0,连接OP,B0,

vPA2+PC2=AC2,

：."PC=90°,

二点P在以4c为直径的圆上运动，

在4BP。中，BP》BO-OP,

二当点P在线段BO上时，BP有最小值,

•••点。是4c的中点，LAPC=90°,

PO-AO=CO=V3,

tanZ-BOC=—=V3>

Z.BOC=60°,

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.../COP是等边三角形，

,,SMOP=70C=-x3=—9

v0A=0C,

・•・44CP的面积=2S"OP=苧，

9.B

[※解析※]

根据勾股定理先求出AB的长，由图可知AC=AB-BC,然后代入数据计算

即可.

解：由图可得，

AB=V62+42=-36+16=V52=2713,

vBC=源，

3

11•AC=AB-BC=2V13--=—,

33

10.A

[※解析※]

先根据已知条件推出。。〃"，。。是zMBC的中位线，OE是三角形4%的

中位线，再根据勾股定理求出圆的半径，根据中位线定理即可求出FC的长.

解：由题知，立为直径，

•••乙ABC=90°,

vOE1AB,

・•・OD//BC,

・・•OA=OC,

・•・OD为三角形4BC的中位线，

11

・・・AD=-AB=±x8=4,

22

又•・・OD=3,

・•・OA=y/AD2+OD2=V424-32=5,

.•・OE=OA=5,

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•••OE〃CF,点。是AC中点，

•••0E是三角形4CF的中位线，

•••CF=20E=2x5=10,

1.出

3

[※解析※]

根据勾股定理可求出"1和OB的长，又AH1OB,可根据等面积法求出力H的

长.

解：如图，

vAB1AC,AB=2,BC=2\[3,

AC=J(2回2-22=2五,

在回ABCD中，OA=OC,OB=OD,

OA=OC=V2>

在Rt40AB中，

OB=上+(a2=逐,

又4HlBD,

.-.^OB-AH=^OA-AB,即三x巡•AH=3x2x近,

解得AH=苧.

12.1或或或今场

4

[※解析※]

按P在正方形的边上和对角线上分别画出图形，再逐个求解即可.

解：如图1,•••四边形ABC。是正方形，AB=4,

B

图1

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AC1BD,AC=BD,OB=0D,AB=BC=AD=CD=4,/.ABC=乙BCD=90°,

在Rt^ABC中，由勾股定理得：AC=7AB2+BC2=V42+42=4vL

OB=2A/2,

vPB=3PC,

・,・设PC=x,则PB=3%,

有三种情况：

①点P在BC上时，如图2,

AD

W

B图2PC

"AD=4,PB=3PC,

•••PC=1；

②点P在AC上时，如图3,

AD

/

B图3c

在Rt“BPO中，由勾股定理得：BP2=BO2+OP2,

(3x)2=(2企/+(2V2-%)2,

解得：x=梃空(负数舍去)9

4

即PC=*玛

4

③点P在CD上时，如图4,

AD

BC

图4

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在RPBPC中，由勾股定理得：BC2+PC2=BP2,

42+x2=(3x)2,

解得：丫=或(负数舍去)，

即PC=6

综上，PC的长是1或&或W空.

4

13.(x—6.8)2+x2=102

[※解析※]

用勾股定理列出关于％的一元二次方程，此题得解.

解：设门高AB为x尺，则门的宽为(x-6.8)尺，4c=1丈=10尺,

依题意得：AB2+BC2=AC2,

即（x-6.8）2+/=102.

14.5

[※解析※]

先根据圆心角、弧、弦的关系和垂径定理得出各线段之间的关系，再根据勾

股定理求解出半径即可.

解：如图，连接。力，

是AB的中点，

二。是弦AB的中点，

OC1AB,AD==BD==4,

vOA==OC,CD==2,

・•・OD==OC—CD==OA—CD,

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在RtA)AD中，

0A2==AD2+0D2,即。42==16+(04-2)2,

解得。4==5,

15.

[※解析※]

作的中点M连接6MQM,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

以及三角形的中位线定理求得QV和CM的长，然后在△CQM中根据三边关系

即可求解.

解：如图，取4B的中点M,连接QM,CM,

在Rt4ABe中，N4CB=90°,AC=8,BC=6,

.-.AB=10,

■:点M是AB的中点，

AM=BM=CM=^AB=5,

■:点Q是PB的中点，点M是48的中点，

二QM是41PB的中位线，

13

...QM="P=：,

在4CMQ中，CM—MQ<CQ<CM+MQ,

,・,点C,点M是定点，点Q是动点，且点Q以点M为圆心，QM长为半径的

圆上运动，

.•・当点C,M,Q三点共线，且点Q在线段CM上时，m取得最小值

当点C,M,Q三点共线，且点Q在射线CM上时，m取得最大值枭

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综上，山的取值范围为：

16.6

[※解析※]

根据折叠的性质即可求得AD'=CD=6；连接AC,根据勾股定理求得AC=

10,证得ABAED'AF(AAS),D'F=BE,根据勾股定理列出关于线段BE

的方程，解方程求得BE的长，即可求出第，然后根据相似三角形的性质即

可求得DD'.

•••四边形力BCD是矩形，

・•・CD=AB=6,

・・・ADf=CD,

・•・AD)=6；

连接AC,

-AB=6,BC=AD=8,Z.ABC=90°,

AC=y/AB2+BC2=V62+82=10,

v^BAF=AD'AE=90°,

/.BAE=£.D'AF,

在ZlS/lE1^AD%F中

'乙BAE=Z.D'AF

乙B=AAD'F=90°,

AB=AD'

ABAE=△D'AF^AAS),

:.D'F=BE,4AEB=4AFD',

Z.AEC=4D'FD,

由题意知：AE=EC；

设BE=x,则AE=EC=S—x,

由勾股定理得：

(8-x)2=62+X2,

解得：“％

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7795

•••―，4E=8—Z=Z

BE_7

AE-25

D，F_7_

AE—25

・・•NAO'F=Z.DfAF=90°,

・•・D'F//AE,

・・•DF//EC,

D，F__7

AE~25

...D..D...r..-DfF,——7

"AC~AE~25

17.V3;2+V7

[※解析※]

根据点E是一边BC上的中点及4E平分ZB4C判定44"是等边三角形，根

据菱形ABCD的面积求出菱形的边长；求PE+PC的最小值，点E和点C是

定点，点P是线段BD上动点，由轴对称最值问题，可求出最小值；求和的

最大值，观察图形可知，当PE和PC的长度最大时，和最大，即点P和点D

重合时，PE+PC的值最大.

解：根据图形可画出图形，如图所示，

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过点B作BF"AC交4E的延长线于点F,

・•・乙F=Z.CAE,Z.EBF=乙ACE,

•・•点E是8C的中点,

^AACE=AFBE(AAS)f

：.BF=AC,

・・・4E平分Z.BAC,

・•・Z-BAE=Z-CAE,

:.乙BAE=乙F,

・•・AB=BF=AC,

在菱形ABCD中，AB=BC,

AB=BC=AC,即44BC是等边三角形；

•••乙ABC=60°,

设力B=a,则BD=y/3a,

二菱形4BCD的面积=\AC-BD=2V3,即i-a-V3a=2V3,

•••a=2,BPAB=BC=CD=2；

••・四边形4BCD是菱形，

.•.点A和点。关于BD对称，

：.PE+PC=AP+EP,

当点A,P,E三点共线时，4P+EP的和最小，此时AE=g;

点P和点。重合时，PE+PC的值最大，此时PC=DC=2,

过点。作DG1.BC交BC的延长线于点G,连接DE,

参考答案由系统自动生成，请仔细校对后酌情使用

-AB//CD,^ABC=60°,

・・・Z.DCG=60°,

CG=1,DG=V3,

・•・EG-2,

DE=y/EG2+DG2=上+（遮/=V7，

止匕时PE+PC=2+V7;

即线段PE与PC的和的最小值为遮；最大值为2+夕.

18.(I)V5;

(II)见解析

[※解析※]

(I)用勾股定理即可求出结果.

(II)取BC与网格线的交点。，连接。£(延长。。交。。于点E,连接AE交

BC于点G,连接BE,延长AC交BE的延长线于F,连接FG延长FG交AB

于点P,点P即为所求.

解：(I)AC=V22+I2=V5.

(II)如图，取BC与网格线的交点D,连接。。延长。。交。。于点E,连

接AE交BC于点G,连接BE,延长AC交8E的延长线于F,连接FG延长

FG交4B于点P,点P即为所求.

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19.史

2

[※解析※]

先作辅助线构造直角三角形，求出阳和，区的长，再求出的长，最后利用

勾股定理求解即可.

解:如图，作OKLBC,垂足为点K,

•••正方形边长为4,

.•.悌2,KG2

：.KOCE,

是△。屣'的中位线

，CH=^0K=1,

作G匕切，垂足为点机

点为"中点，

...的/是AR下的中位线，

/.GM=^CE=1,MC=^FC=^(CD+DF)=1x(4+1)=|,

c4

；・MH=MC-HC

22

在RtAMHG中,GH=VMH2+MG2=J(|)2+l2=当，

20.2V26

[※解析※]

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过点c作CELCD交4。于E,推出4ACE=4BCD,用S4S判断出AACE

ABCD,得出AE=BD=2,CE=CD,进而利用勾股定理求出DE,AD,最

后用勾股定理即可得出结论.

解：如图，过点C作CE_LCD交4。于E,

：.乙ECD=90°,

•••4ACB=90°,

:.乙ACB=Z-ECD,

Z-ACB—Z-BCE=Z.ECD-Z-BCE,

:.Z.ACE=乙BCD,

-AC=BC,

BC与AD的交点记作点F,

v乙ACB=90°,

:.Z.AFC+/.CAE=90°,

vZ.AFC=乙DFB,

・•・乙DFB+4CAE=90°,

vZ-ADB=90°,

Z.DFB+Z.CBD=90°,

/.CAE=乙CBD,

••・44CEM4BCDQ4s4),

•••AE=BD9CE=CD,

在Rt』DCE中，CE=CD=4伍

•••DE=V2CD=&X4a=8,

vBD=2,

:.AE=2,

:.AD=AE+DE=2+8=10,

在Rt』ABD中'根据勾股定理得，AB=yjAD2+BD2=V102+22=2^26>

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21.(1)3V5;

(2)见解析.

[※解析※]

(1)连接0D,如图:

是CD的中点，CD=12,

DM=^CD=6,OM1CD,Z_OMD=90。，

Rt40MD中，OD=VOM2+DM2>且OM—3,

：.OD=V32+62=3V5,即圆。的半径长为3遍;

(2)连接AC,延长4F交BD于G,如图：

•••ABLCD,CE=EF,

.•.48是CF的垂直平分线，

.■.AF=AC,即44CF是等腰三角形,

vCE=EF,

:.Z.FAE=Z-CAE,

,:BC=BC，

：•Z-CAE=Z.CDB,

・•・Z.FAE=Z.CDB,

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Rt^BDE111,乙CDB+乙B=90°,

・•・LFAE+=90°,

・•・乙AGB=90°,

：-AGLBD,BPAF1BD.

22.(1)a2+b2=c2.(2)?；(3)c4-/?=n

，2

23.(1)两直线BA'与AC所成角为60°.

(2)①丙；②PM+PN的最小值为10.

[※解析※]

(1)如图1中，连接BC：证明△ABC，是等边三角形，推出MC=60°,

由题意可知“WB是两条直线AC与所成的角.

(2)①根据立方体平面展开图的特征，解决问题即可.

②如图丙中，作点N关于AD的对称点K,连接MK交4D于P,连接PN,

此时PM+PN的值最小，最小值为线段MK的值，过点M作M/_LNK于J.根

据勾股定理求出MK即可.

解：(1)如图1中，连接BC.

ABC，是等边三角形,

ALBA'C=60°,

-AC//A'C,

・•.NC0B是两条直线4c与BA所成的角,

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•••两直线BA，与4C所成角为60°.

(2)①观察图形可知，图形丙是图2的展开图，

故答案为：丙.

②如图丙中，作点N关于AD的对称点K,连接MK交4D于P,连接PN,

此时PM+PN的值最小，最小值为线段MK的值，过点“作M/1NK于J.

丙

由题意在Rt^MKJ中，4MJK=90。,MJ=5+3=8,/K=8-（4-2）=6,

MK=yjMJ24-JK2=V824-62=10,

;PM+PN的最小值为10.

24.(1)证明见解析；

(2)证明见解析；

(3)证明见解析.

[※解析※]

(1)△/勿是等腰直角三角形，AB=AC,N加信90°,由夕LL6C,可求

/〃d=/力缈即可；

(2)由庞经△/切，可得NFA»NEAF,可证△AST总△/加(弘S),可得

EF^DF,在应△3中，根据勾股定理，。片=CD2+CF2即可；

(3)将△/跳'逆时针绕点4旋转90°到△力切，由△力a'为等腰直角三角形，

可求户90°,由=VL在位△/a1中由勾股定理BC=2,由AHVBC,

可求B生C4AH=1,可表示麽=tana+tan/3,BE=l-tana,CF=1-tan0,

可证△[加(弘S),得至I」上分，由EF2=BE2+CF2aj^

(tana+tan/?)2=(1—tana)2+(1-tan)?)2,整理即得结论.

(1)证明：•••△//是等腰直角三角形，

：.AB=AC,ZBA(=90°,

:./ABe/ACB=45°,

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,：CDLBC,

:./DCS,

，=90°-ZACB=9Q°-45°=45°=ZABE,

在△力庞和△力切中，

(AB=AC

l^ABE=4ACD,

IBE=CD

：./\ABE^/\ACD(S/1S),

(2)证明

:.NBAE=/CAD,AB=AD,

•.•/仍后45°,

:./BAE+/FA小9。°-Z£4/^90°-45°=45°,

:FAD=/FAN/CAA4FA8/BA氏45°;乙EAF,

在即和△/加中，

-AE=AD

Z.EAF=Z.DAF,

.AF=AF

:.△AE2XADF(SAS,

：.EF^DF,

在RtACDF中,根据勾股定理，

DF2=CD2+CF2,

即EF2=BE2+CF2；

(3)证明：将△/应'逆时针绕点力旋转90°到连结川,

：.ZBA^ZCAD,B芹CD,A^AD,

•••△/回为等腰直角三角形，

ZACB=ZB=ZACD=45°,ZDC^ZDCA+ZAC^45°+45°=90°,

AB=V2,

：.AC=AB=y[2,

Z2

在放△48。中由勾股定理BC=山1,+心=J(V2)+(V2)=2

■:AH'BC,

：.BH=CH=AH=\BC=1,

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:.EP=ElhF由AHtana+AHtan£=tana+

tan£,除此给1-tana,旧什HE-tan£,

必尸45°,

历14/。490°-N近1后45°,

工/DAe/DAN/的伫/BAE+/CA六45。二乙EAF,

在△/既和△/母'中，

(AE=AD

\/.EAF=Z.DAF,

(AF=AF

：./\AEF^/\ADF(S/IS),

：.EF^DF,

在位△加中，DF2=CD2+CF2^EF2=BE2+CF2,

(tana+tan/?)2=(1—tana)2+(1—tan^)2,

整理得2tana-tan0=1—2tana+1—2tan0,

即tana-tan/?=1—tana—tan/?,

tana+tan^=1—tana-tanj5,

tana,tan/?_1-tan450_tan(a_|_/?),

1-tanatan/?

1小叽含翳翳

25.(1)4；

(2)tana=—

2

[※解析※]

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(1)根据矩形的性质求出AC=2A0,根据等边三角形的判定得出4408是

等边三角形，求出AB=A0=2,求出BD；

(2)根据勾股定理求出AD,然后根据等腰三角形的性质求得AE,然后解

直角三角形求得tana的值.

解：(1)•••^BOC=120°,

**.Z-AOB=60°,

・・・四边形/BCD是矩形，

/.BAD=90°,AC=BD,AO=OC,BO=DO,

:.AO=BO,

・••ZMOB是等边三角形，

:.AB=AO=BO,

•:AB=2,

・•・80=2,

・,.BD=2BO—4,

二矩形对角线的长为4；

(2)由勾股定理得：AD=\lBD2-AB2=V42-22=2\/3,

vOA=OD,OE14。于点E,

AE=DE=^AD=V3,

26.(1)作图如图所示；

(2)①从1；②见解析.

[※解析※]

(1)根据两点之间线段最短，即可得到最短路径；连接力，AC,可以利用

弧长与母线长求出NZ0C,进而证明出△而「是等边三角形，利用三角函数即

可求解；

(2)①由于圆锥底面圆周上的任意一点到圆锥顶点的距离都等于母线长，因

此只要蚂蚁从点力爬到圆锥底面圆周上的路径最短即可，因此顺着圆柱侧面

的高爬行，所以得出最短路径长即为圆柱的高力加上圆锥的母线长/；

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②如图，根据已知条件，设出线段"的长后，即可用它分别表示出OE、BE、

GE、AF,进一步可以表示出曲、GA,根据以G、/三点共线，在欣△力附中

利用勾股定理建立方程即可求出GC的长，最后依次代入前面线段表达式中即

可求出最短路径长.

解：（1）如图所示，线段AB即为蚂蚁从点/爬行到点颂最短路径；

设N40俏,

•.•圆锥的母线长为"cm，£?的长为4兀cm，

・127m.

77-4

・・二180一—兀，

/.n=60；

连接的、CA,

"：OA=OC=12,

A04C是等边三角形,

•••8为母线OC的中点，

,AB1OC,

AB=OAxsin60°_gV3.

（2）①蚂蚁从点爬行到点。的最短路径为：先沿着过A点且垂直于地面

的直线爬到圆柱的上底面圆周上，再沿圆锥母线爬到顶点。上，因此，最短

路径长为

②蚂蚁从点力爬行到点8的最短路径的示意图如下图所示，线段*8即为其

最短路径（G点为蚂蚁在圆柱上底面圆周上经过的点，图中两个。点为图形

展开前图中的C点）；

求最短路径的长的思路如下：如图，连接OG,并过。点作GFLAD,垂足为F,

由题可知，OG=OC=1,GRh,OB=b,

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由的长为a,得展开后的线