考研数学二分类模拟203

考研数学二分类模拟203一、选择题1.

如图，曲线段的方程为y=f(x)，函数f(x)在区间[0，a]上有连续的导数，则定积分等于______

A.曲边梯形ABOD面积B.梯形ABOD面积C.曲边三角形ACD面积D.三角形ACD面积正确答案：C[解析]因为

其中af(a)是矩形ABOC的面积，为曲边梯形ABOD的面积，所以为曲边三角形ACD的面积。故选C。

2.

由曲线(0≤x≤π)与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体体积为______

A．

B．

C．

D．正确答案：B[解析]由曲线y=f(x)绕x轴旋转一周所得旋转体的体积计算公式得

故选B。

3.

由曲线y=1-(x-1)2及直线y=0围成的图形(如图)绕y轴旋转一周而成的立体体积V是______

A．

B．

C．

D．正确答案：D[解析]按选项，要把曲线表示成x=x(y)，于是要分成两部分

则V是以下两个旋转体的体积之差

于是故选D。

4.

甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10米处，图中实线表示甲的速度曲线v=v1(t)(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线v=v2(t)，三块阴影部分的面积的数值依次为10，20，3。计时开始后乙追上甲的时刻记为t0(单位：s)，则______

A.t0=10B.15＜t0＜20C.t0=25D.t0＞25正确答案：C[解析]从0到t0时刻，甲、乙的位移分别为要使乙追上甲，则需。由定积分的几何意义可知

则t0=25。故选C。

5.

半圆形闸门半径为R(米)，将其垂直放人水中，且直径与水面齐平，设水密度ρ=1。若坐标原点取在圆心，x轴正向朝下，则闸门所受压力P为______

A．

B．

C．

D．正确答案：C[解析]如图所示，任取[x，x+dx]∈[0，R]，相应的小横条所受压力微元

于是闸门所受压力故选C。

二、填空题1.

设封闭曲线L的极坐标方程为则L所围平面图形的面积是______。正确答案：[解析]直接利用封闭曲线图形的面积公式可得

2.

设曲线的极坐标方程为ρ=eaθ(a＞0)，则该曲线上相应于θ从0变到2π的一段弧与极轴所围成的图形的面积为______。正确答案：[解析]所求面积为

3.

曲线直线x=2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为______。正确答案：[解析]直接利用旋转体的体积公式可得，如图所示，x的积分从1到2。

4.

设无界区域G位于曲线下方，x轴上方，则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积为______。正确答案：[解析]由题意

5.

当0≤θ≤π时，对数螺旋r=eθ的弧长为______。正确答案：[解析]利用极坐标的弧长公式

6.

曲线的弧长s=______。正确答案：[解析]

7.

曲线ρθ=1相应于的一段弧长s=______。正确答案：[解析]由已知可得则

8.

设曲线的参数方程为则对应于的曲线段的弧长s=______。正确答案：ln2[解析]因为x'(t)=cost，因此当时，曲线的弧微分为

因此，相应的曲线段的弧长为

9.

设有摆线x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0≤t≤2π)的第一拱L，则L绕x轴旋转一周所得旋转曲面的面积S=______。正确答案：[解析]根据旋转曲面面积公式可得

10.

一根长为1的细棒位于x轴的区间[0，1]上，若其线密度ρ(x)=-x2+2x+1，则该细棒的质心坐标=______。正确答案：[解析]质心横坐标其中

所以得

三、解答题1.

设D是由曲线直线x=a(a＞0)及x轴所围成的平面图形，Vx，Vy分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若Vy=10Vx，求a的值。正确答案：解：由微元法可知

由已知条件10Vx=Vy，解得

2.

设曲线y=ax2(x≥0，常数a＞0)与曲线y=1-x2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax2围成一平面图形D，求

(Ⅰ)D绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积V(a)；

(Ⅱ)a的值，使V(a)取得最大值。正确答案：解：由题意知，y=ax2与y=1-x2的交点为直线OA的方程为

(Ⅰ)旋转体的体积

(Ⅱ)

当a＞0时，得V(a)的唯一驻点a=4。当0＜a＜4时，V'(a)＞0；当a＞4时，V'(a)＜0。故a=4为V(a)的唯一极大值点，即为最大值点。

3.

设D是位于曲线下方、x轴上方的无界区域。

(Ⅰ)求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a)；

(Ⅱ)当a为何值时，V(a)最小?并求此最小值。正确答案：解：(Ⅰ)

(Ⅱ)令得a=e。

当a＞e时，V'(a)＞0，V(a)单调增加。当1＜a＜e时，V'(a)＜0，V(a)单调减少。所以V(a)在a=e取得极小值，即为最小值，且最小值为V(e)=πe2。

4.

过点(0，1)作曲线L：y=lnx的切线，切点为A，L与x轴交于B点，区域D由L与直线AB围成。求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。正确答案：解：设切点坐标为A(x0，lnx0)，斜率为，因此该点处切线方程为

又因为该切线过B(0，1)，所以x0=e2，故切线方程为

切线与x轴交点为(1，0)。因此直线AB的方程为

区域的面积为

旋转一周所围成的体积为

5.

一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为时(如图)，计算油的质量(长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为常数ρ，单位为kg/m3)。

正确答案：解：如图，建立直角坐标系，则油罐底面椭圆方程为

图中阴影部分为油面与椭圆所围成的图形。

记S1为下半椭圆面积，则记S2是位于x轴上方阴影部分的面积，则记y=bsint，则dy=bcostdt，可得

因此可知油的质量为

6.

函数与直线x=0，x=t(t＞0)及y=0围成一曲边梯形。该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t)，侧面积为S(t)，在x=t处的底面积为F(t)。

(Ⅰ)

(Ⅱ)正确答案：解：(Ⅰ)

所以

(Ⅱ)[解析]旋转体侧面积的一般公式可以总结为S=2π∫lds，其中l表示曲线上的点到旋转轴的距离，ds表示弧长微分。例如对本题来说，由于旋转轴是x轴，所以曲线上的点到旋转轴的距离为曲线的纵坐标，曲线方程为y=f(x)，弧长微分为，所以旋转曲面的面积就变成了

7.

设有摆线

试求L绕x轴旋转一周所得旋转面的面积。正确答案：解：这是由参数方程给出的曲线，由于

x'(θ)=1-cosθ，y'(θ)=sinθ，

则按旋转曲面面积计算公式，可得旋转面的面积

8.

为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口(如图所示)。已知井深30m，抓斗自重400N，缆绳每米重50N，抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度为3m/s，在提升过程中，污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉。现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需做多少焦耳的功?(说明：①1N×1m=1J，m，N，s，J分别表示米，牛，秒，焦；②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计。)

正确答案：解：作x轴如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口所做功记为W，当抓斗运动到x处时，作用力f(x)包括抓斗的自重400N，缆绳的重力50(30-x)N，污泥的重力即

于是

[解析]假设物体沿着x轴从x=a处运动到x=b处，并且作用力与位置之间的函数关系式为F=F(x)，x∈[a，b]，则这个过程中该作用力对物体所做的功为

9.

一容器的内侧是由图中(如图)曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由连接而成。

(Ⅰ)求容器的容积；

(Ⅱ)若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功?

(长度单位为m，重力加速度为gm/s2，水的密度为103kg/m3。)正