离散型随机变量的均值

人教A版选修2—3精讲细练离散型随机变量的均值一、知识精讲1．离散型随机变量的均值或数学期望(1)定义：若离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．(2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平．【注】随机变量的均值与样本的平均值的关系:随机变量的均值是一个常

数,它不依赖于样本的抽取,而样本平均值是一个随机变量,它随样本抽取

的不同而变化.对于简单随机样本,随着样本容量的增加,样本平均值越来

越接近于总体的均值.(3)性质：如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且P(Y＝ax＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n.E(Y)＝E(ax＋b)＝aE（X）＋b.【注】此式有如下几种特殊形式:①当b=0时,E(aX)=aE(X),此式表明常量与随机变量乘积的均值等于这个常量与随机变量的均值的乘积;②当a=1时,E(X+b)=E(X)+b,此式表明随机变量与常量和的均值等于随机变量的均值与这个常量的和;③当a=0时,E(b)=b,此式表明常量的均值等于这个常量.(4)求解步骤：①写出ξ的分布列,在求ξ取每一个值的概率时,要联系概率的有关知识如古典概型,事件的概率,独立事件的概率等;②由分布列求E(ξ);③如果随机变量是线性关系或服从两点分布、二项分布,根据它们的均值公式计

算.2．两点分布、二项分布的均值(1)若随机变量X服从两点分布,则E(X)=p(2)若X~B(n,p),则E(X)=np【注】若离散型随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布,则E(X)= 二、典例细练【题型一】：求离散型随机变量的均值例题1（1）(2022年高考江西卷理科16)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．（1）求X的分布列；（2）求此员工月工资的期望．【解析】（1）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，则，所以所求的分布列为X01234P（2）设Y表示该员工的月工资，则Y的所有可能取值为3500，2800，2100，相对的概率分别为，，，所以．所以此员工工资的期望为2280元．【点评】本题考查排列、组合的基础知识及概率分布、数学期望．例题1（2）(2022年高考福建卷理科19)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，……，8，其中X≥5为标准A，X≥为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：5678P0．4ab0．1且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；（=2\*ROMANII）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：353385563463475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．（III）在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：（1）产品的“性价比”=；（2）“性价比”大的产品更具可购买性．【解析】（I）因为又由X1的概率分布列得由（II）由已知得，样本的频率分布表如下：3456780．30．20．20．10．10．1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：345678P0．30．20．20．10．10．1所以即乙厂产品的等级系数的数学期望等于.（III）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于6，价格为6元/件，所以其性价比为因为乙厂产吕的等级系数的期望等于，价格为4元/件，所以其性价比为据此，乙厂的产品更具可购买性。【点评】离散型随机变量数学期望的求解步骤：①写出ξ的分布列,在求ξ取每一个值的概率时,要联系概率的有关知识如古典概型,事件的概率,独立事件的概率等;②由分布列求E(ξ);③如果随机变量是线性关系或服从两点分布、二项分布,根据它们的均值公式计算.变式训练1：(2022重庆高考理科卷)某市公租房的房源位于A、B、C三个片区．设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．求该市的任4位申请人中：(1)恰有2人申请A片区房源的概率；(2)申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望．【解析】这是等可能性事件的概率计算问题．(1)方法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式有C42·22种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为eq\f(C42·22,34)＝eq\f(8,27). 方法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验．记“申请A片区房源”为事件A，则P(A)＝eq\f(1,3).从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为P4(2)＝C42eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(8,27).(2)ξ的所有可能值为1,2,3.又P(ξ＝1)＝eq\f(3,34)＝eq\f(1,27)，P(ξ＝2)＝eq\f(C32C21C43＋C42C22,34)＝eq\f(14,27)(或P(ξ＝2)＝eq\f(C3224－2,34)＝eq\f(14,27))，P(ξ＝3)＝eq\f(C31C42C21,34)＝eq\f(4,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或Pξ＝3＝\f(C42A33,34)＝\f(4,9))).综上知，ξ有分布列ξ123Peq\f(1,27)eq\f(14,27)eq\f(4,9)从而有：Eξ＝1×eq\f(1,27)＋2×eq\f(14,27)＋3×eq\f(4,9)＝eq\f(65,27).变式训练2：甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为eq\f(1,2)与p，且乙投球2次均未命中的概率为eq\f(1,16).(1)求乙投球的命中率p；(2)若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【解析】(1)设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B.由题意得[1－P(B)]2＝(1－p)2＝eq\f(1,16)，解得p＝eq\f(3,4)或p＝eq\f(5,4)(舍去)，所以乙投球的命中率为eq\f(3,4).(2)由题设和(1)知P(A)＝eq\f(1,2)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(3,4)，P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,4).ξ可能的取值为0,1,2,3，故P(ξ＝0)＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B)eq\x\to(B))＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2＝eq\f(1,32)，P(ξ＝1)＝P(A)P(eq\x\to(B)eq\x\to(B))＋Ceq\o\al(1,2)P(B)P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(A))＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2＋2×eq\f(3,4)×eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(7,32)，P(ξ＝3)＝P(A)P(BB)＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＝eq\f(9,32)，P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝eq\f(15,32).故ξ的分布列为ξ0123Peq\f(1,32)eq\f(7,32)eq\f(15,32)eq\f(9,32)ξ的数学期望E(ξ)＝0×eq\f(1,32)＋1×eq\f(7,32)＋2×eq\f(15,32)＋3×eq\f(9,32)＝2.【题型二】：求离散型随机变量的均值的性质例题2：节日期间，某种鲜花的进价是每束元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花销售情况需求量ξ(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则期望利润是()ξ200300400500P元 B．690元C．754元 D．720元【解析】节日期间这种鲜花需求量的均值为Eξ＝200×＋300×＋400×＋500×＝340(束)．设利润为η，则η＝5ξ＋(500－ξ)－500×＝ξ－450，所以Eη＝ξ－450＝×340－450＝706(元)．【点评】如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，E(Y)＝E(ax＋b)＝aE（X）＋b.变式训练1：设ξ为离散型随机变量，则E(E(ξ)－ξ)＝()A．0 B．1C【解析】选A.∵E(ξ)是常数，∴E(E(ξ)－ξ)＝E(ξ)－E(ξ)＝0.变式训练2：设离散型随机变量ξ可能的取值为1,2,3,4，P(ξ＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，又ξ的数学期望E(ξ)＝3，则a＋b＝________.【解析】：∵E(ξ)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3，又a＋b＋2a＋b＋3a＋b＋4a＋b＝1，即10a＋4b＝1，解得：a＝eq\f(1,10)，b＝0，∴a＋b＝eq\f(1,10).【题型三】：两点分布与二项分布的均值例题3（1）某运动员投篮命中率为p＝.(1)求投篮1次时命中次数ξ的期望；(2)求重复5次投篮时，命中次数η的期望．【解析】(1)投篮1次，命中次数ξ的分布列如下表：ξ01P则E(ξ)＝p＝.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数η服从二项分布，即η～B(5,．则E(η)＝np＝5×＝3.例题3（2）：(2022全国高考大纲卷)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为，设各车主购买保险相互独立．(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的期望．【解析】设A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买．(1)P(A)＝，P(B)＝，C＝A＋B，P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝.(2)D＝eq\x\to(C)，P(D)＝1－P(C)＝1－＝，X～B(100,，即X服从二项分布，所以期望EX＝100×＝20.【点评】此类题的解法一般分两步，一是先判断随机变量服从两点分布还是二项分布；二是代入两点分布或二项分布的均值公式计算均值．变式训练：学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)(1)求在1次游戏中，①摸出3个白球的概率；②获奖的概率．(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X)．【解析】(1)①设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i＝0,1,2,3)，P(A3)＝eq\f(C32,C52)·eq\f(C21,C32)＝eq\f(1,5).②设“在1次游戏中获奖”为事件B，则B＝A2∪A3.又P(A2)＝eq\f(C32,C52)·eq\f(C22,C32)＋eq\f(C31C21,C52)·eq\f(C21,C32)＝eq\f(1,2)，且A2，A3互斥，所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,5)＝eq\f(7,10).(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,10)))2＝eq\f(9,100)，P(X＝1)＝C21eq\f(7,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,10)))＝eq\f(21,50)，P(X＝2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,10)))2＝eq\f(49,100).所以X的分布列是X012Peq\f(9,100)eq\f(21,50)eq\f(49,100)X的数学期望E(X)＝0×eq\f(9,100)＋1×eq\f(21,50)＋2×eq\f(49,100)＝eq\f(7,5).【题型四】：数学期望的实际应用例题4（1）：某渔船要对下月是否出海做出决策，如果出海后遇到好天气，可收益6000元，如果出海后天气变坏，将损失8000元，若不出海，无论天气如何都将承担1000元损失费。据气象部门预测，下月好天气的概率是，天气变坏的概率是，请你为该船做出决定，是出海还是不出海？【解析】设该船一次出海的收益为随机变量，则其分布列为：6000∴。∵，∴应该选择出海。【点评】“出海”还是“不出海”，是将实际问题转到数学中来，即用数字来说明问题，数学期望反映了随机变量取值的平均水平，用它来刻画、比较措施取值的平均情况，在一些实际问题中有重要的价值。例题4（2）：已知6只电器元件,其中2只次品和4只正品,每次随机抽取一只测试,不放回,直到2只次品都找到为止,且最后一只次品恰好在最后一次测试中被发现,设需要测试的次数为ξ，求ξ的数学期望。【解析】ξ的取值为2，3，4，5，6。“ξ=2”表示“取出的两个都是次品”的事件，所以P（ξ=2）=。“ξ=3”表示“第三次取出的是次品，前两次中一个次品一个正品”的事件，所以P（ξ=3）=。“ξ=4”表示“第四次取出的是次品，前三次中一个次品两个正品”的事件，所以P（ξ=4）==。“ξ=5”表示“第五次取出的是次品，前四次中一个次品三个正品”的事件，所以P（ξ=5）==。“ξ=6”表示“第6次取出的是次品，前五次中一个次品四个正品”的事件，所以P（ξ=6）==。所以，Eξ=2×+3×+4×+5×+6×=。例题4（3）某商场准备在春节期间举行促销活动，对选出的商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品价格的基础上将价格提高180元，同时允许顾客有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都可获得一定数额的奖金。假设顾客每次抽奖时获奖与否是等可能的，请问：商场应将中奖奖金数额最高定为多少元，才能使促销方案对自己有利？【解析】假设商场中奖奖金数额定为元，则顾客在3次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量，其所有可能的取值为：0，，，。时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖，所以。同理可得：；；。则顾客在三次抽奖中所获得奖金总额的期望值为，要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金数的期望值不大于商场的提价数额，因此应有，所以。故商场应将中奖奖金数额最高定为120元，才能使促销方案对自己有利。【点评】解决该类问题时要注意正确地求出随机变量的各个取值以及相应的概率。变式训练1：为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：毫克)．下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081(1)已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；(2)当产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值(即数学期望)．【解析】(1)由题设知：乙厂生产的产品数量为98×eq\f(5,14)＝35.(2)由表格知：样本中优等品的频率为eq\f(2,5)，以此频率为概念，估计乙厂生产的优等品的数量为35×eq\f(2,5)＝14.(3)由题设知：上述5件产品中，有2件产品是优等品，则ξ服从超几何分布，于是有P(ξ＝k)＝eq\f(C2kC32－k,C52)(k＝0,1,2)得到ξ的分布列为ξ012