高中数学第8章成对数据的统计分析8.3列联表与独立性检验课件新人教版选修3

8.3列联表与独立性检验课前·基础认知课堂·重难突破素养·目标定位随堂训练素养•目标定位目标素养1.通过实例,了解分类变量、2×2列联表的统计意义.2.通过实例,了解独立性检验及其应用.3.通过学习,提升数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养.知识概览课前·基础认知1.分类变量与列联表(1)分类变量用来区别不同的现象或性质的随机变量称为

分类变量

.分类变量的取值可以用实数表示.

(2)列联表按研究问题的需要,将数据分类统计,并做成表格加以保存.我们将下表这种形式的数据统计表称为

2×2列联表

.2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数.

注:运用古典概型和条件概率的思路,用2×2列联表去研究所关心对象的全体.XY合计Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合计a+cb+dn=a+b+c+d2.独立性检验(1)利用随机变量χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为

χ2独立性检验

,读作“

卡方独立性检验

”,简称独立性检验.(2)独立性检验公式

(3)基于小概率值α的检验规则当χ2≥xα时,我们就推断H0不成立,即认为X和Y不独立,该推断犯错误的概率不超过α;当χ2<xα时,我们没有充分证据推断H0不成立,可以认为X和Y独立.(4)χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828微思考独立性检验的基本思想与反证法的思想有何相似之处?提示:反证法假设检验要证明结论A要确认“两个变量有关系”在A不成立的前提下进行推理假设该结论不成立,即假设结论“两个变量没有关系”成立,在该假设下计算χ2推出矛盾,意味着结论A成立由观测数据计算得到的χ2很大,则在一定可信程度上说明假设不合理没有找到矛盾,不能对A下任何结论,即反证不成立根据随机变量χ2的含义,可以通过χ2的大小来判断“两个变量有关系”这一结论成立有多大把握微训练下面是一个2×2列联表:则表中a,b处的值分别为(

)A.94,96 B.52,50

C.52,54

D.54,52答案:C解析:a=73-21=52,b=100-46=54.XY合计Y=0Y=1X=0a2173X=122527合计b46100(5)应用独立性检验解决实际问题大致应包括以下几个主要环节:①提出零假设H0:X和Y相互独立,并给出在问题中的解释.②根据抽样数据整理出2×2列联表,计算χ2的值,并与临界值xα比较.③根据检验规则得出推断结论.④在X和Y不独立的情况下,根据需要,通过比较相应的频率,分析X和Y间的影响规律.注意,上述几个环节的内容可以根据不同情况进行调整.课堂·重难突破一

列联表与等高堆积条形图的应用典例剖析1.为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系,分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查,结果如下:单位:人组别阳性、阴性数合计阳性数阴性数铅中毒病人29736对照组92837合计383573试画出列联表的等高堆积条形图,分析铅中毒病人和对照组的尿棕色素阳性数有无差别,铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否存在差异?解:等高堆积条形图如图所示:其中两个白色条的高度分别代表铅中毒病人和对照组样本中尿棕色素为阳性的概率.由图可以直观地看出铅中毒病人与对照组相比,尿棕色素为阳性的频率差异明显,根据频率稳定于概率的原理,知铅中毒病人与尿棕色素为阳性存在差异.规律总结判断两个分类变量是否有差异的两种常用方法(1)利用数形结合思想,借助等高堆积条形图来判断两个分类变量是否存在差异.(2)一般地,在等高堆积条形图中,相差越大,两个分类变量存在差异的可能性就越大.学以致用1.网络对现代人的生活影响较大,尤其是对青少年.为了解网络对中学生学习成绩的影响,某地区教育主管部门从辖区初中生中随机抽取了1000人调查,发现其中经常上网的有200人,这200人中有80人期末考试不及格,而另外800人中有120人不及格.利用等高堆积条形图判断学生学习成绩与经常上网和不经常上网是否有关.解:根据题目所给的数据得到如下2×2列联表:单位:人得出等高堆积条形图如图所示:比较图中阴影部分的高度可以发现经常上网不及格的频率明显高于经常上网及格的频率,根据频率稳定于概率的原理,可以认为学习成绩与经常上网和不经常上网有关.二

独立性检验典例剖析2.甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表:单位:件机床产品质量合计一级品二级品甲机床15050200乙机床12080200合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?(2)依据小概率值α=0.01的独立性检验,分析甲机床的产品质量与乙机床的产品质量是否有差异.α0.050.010.001xα3.8416.63510.828(2)零假设为H0:甲机床的产品质量与乙机床的产品质量之间无差异.根据列联表中的数据,依据小概率值α=0.01的独立性检验,推断H0不成立,即认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异,此推断犯错误的概率不大于0.01.互动探究(变问法)依据小概率值α=0.001的独立性检验,分析甲机床的产品质量与乙机床的产品质量是否有差异.解:零假设为H0:甲机床的产品质量与乙机床的产品质量之间无差异.根据列联表中的数据,经计算得到所以根据小概率值α=0.001的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立,即甲机床的产品质量与乙机床的产品质量无差异.规律总结1.利用χ2进行独立性检验的步骤(1)零假设:即先假设两变量没有关系.(2)列表:列出2×2列联表.(3)求值:求出χ2.(4)判断:与临界值比较,作出判断.2.独立性检验的必要性列联表中的数据是样本数据,它只是总体的代表,它具有随机性,因此只能利用列联表的数据和等高堆积条形图粗略判断两个分类变量是否有关系.而χ2给出了不同样本容量的数据的统一评判标准.利用它能精确判断两个分类变量是否有关系.学以致用2.某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示:单位:人学生是否喜欢甜品合计喜欢甜品不喜欢甜品南方学生602080北方学生101020合计7030100根据表中数据,根据小概率值α=0.05的独立性检验,分析南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面是否有差异.解:零假设为H0:南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面无差异.根据列联表中的数据,经计算,得根据小概率值α=0.05的独立性检验,推断H0不成立,即认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异,此推断犯错误的概率不大于0.05.三

独立性检验的综合应用典例剖析3.某生物疫苗研究所加紧对某种疫苗进行研究,将某一型号的疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验,得到统计数据如下:单位:只是否注射疫苗是否感染病毒合计未感染病毒感染病毒未注射疫苗20xm注射疫苗30yn合计5050100现从所有感染病毒的小白鼠中随机抽取一只,抽到注射疫苗的小白鼠的概率为

.(1)完成下面的2×2列联表:单位:只是否注射疫苗是否感染病毒合计未感染病毒感染病毒未注射疫苗20

注射疫苗30

合计5050100(2)依据小概率值α=0.01的独立性检验,分析注射疫苗是否对预防该病毒有效.α0.10.050.01xα2.7063.8416.635解:(1)所有感染病毒的小白鼠共有50只,其中注射疫苗的有y只,所以P=,所以y=10,x=50-10=40,m=40+20=60,n=30+10=40,所以2×2列联表为

单位:只是否注射疫苗是否感染病毒合计未感染病毒感染病毒未注射疫苗204060注射疫苗301040合计5050100(2)零假设为H0:注射疫苗对预防该病毒无效.根据列联表中的数据,根据小概率值α=0.01的独立性检验,推断H0不成立,即认为注射疫苗对预防该病毒有效,此推断犯错误的概率不大于0.01.规律总结独立性检验综合应用的方法策略(1)独立性检验在实际中有着广泛的应用,是对实际生活中数据进行分析的一种方法,通过这种分析得出的结论对实际生活或者生产都有一定的指导作用.(2)近几年高考中较少单独考查独立性检验,与统计、概率等知识综合,频率分布表、频率分布直方图与独立性检验融合在一起是常见的考查形式,一般需要根据条件列出2×2列联表,计算χ2的值,从而解决问题.学以致用3.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班48人进行了问卷调查,得到2×2列联表如下表所示:单位:人性别是否喜爱打篮球合计喜爱打篮球不喜爱打篮球男生

6

女生10

合计

48已知在全班48人中随机抽取1人,抽到喜爱打篮球的学生的概率为

.(1)请将上面的2×2列联表补充完整(不用写计算过程);(2)根据小概率值α=0.05的独立性检验分析喜爱打篮球与性别是否有关,说明你的理由;(3)现从女生中抽取2人进一步调查,设其中喜爱打篮球的女生人数为X,求X的分布列与均值.解:(1)列联表补充如下:

单位:人(2)零假设为H0:喜爱打篮球与性别无关联.根据列联表中的数据,经计算得到根据小概率值α=0.05的独立性检验,推断H0不成立,即认为喜爱打篮球与性别有关,此推断犯错误的概率不大于0.05.(3)喜爱打篮球的女生人数X的可能取值为0,1,2.其概率分别为随堂训练1.(多选题)在研究肥胖与高血压的关系时,通过收集、整理、分析数据得到“高血压与肥胖有关”的结论,并且依据小概率值α=0.01的χ2独立性检验,推断这个结论是成立的,下列说法中错误的是(

)A.在100个肥胖的人中至少有99人患有高血压B.肥胖的人至少有99%的概率患有高血压C.在100个高血压患者中一定有肥胖的人D.在100个高血压患者中可能没有肥胖的人答案:ABC2.通过对χ2的统计量的研究得到了若干个临界值,当χ2<2.706时,我们认为(

)A.X与Y有差异,犯错误的概率不超过0.05B.X与Y有差异,犯错误的概率不超过0.01C.依据小概率值α=0.1的χ2独立性检验,没有充分理由认为X与Y有差异D.不能确定答案:C解析:χ2<2.706=x0.1,根据小概率值α=0.1的χ2独立性检验没有充分理由认为X与Y有差异.3.(多选题)下面是某地区男、女学生喜欢物理情况的等高堆积条形图,阴影部分表示喜欢物理的百分比.下列说法错误的是(

)A.性别与喜欢物理无关B.女生喜欢物理的百分比为80%C.男生喜欢物理比女生喜欢物理的可能性大些D.男生不喜欢物理的百分比为60%答案:ABD解析:由题图知女生中喜欢物理的