第二十二章动量原理

第二十二章动量原理第1页，课件共80页，创作于2023年2月

动量定理：阐述的是质点系动量的变化与外力系冲量之间的关系，它的另一种重要形式——质心运动定理则是用来描述质点系质心的运动与外力系主矢之间的关系。

动量矩定理：建立起质点系对某点动量矩的变化与外力系对该点主矩之间的关系，用它可方便的研究质点系中各质点相对于空间固定点或质心的运动。第2页，课件共80页，创作于2023年2月

第二十二章达朗伯原理※22.1动量※22.2冲量※22.3动量定理※22.4质心运动定理例题1第3页，课件共80页，创作于2023年2月

第二十二章达朗伯原理※22.8刚体一般运动方程※22.6动量矩定理※22.5动量矩例题2例题3、4、5、

6、7、8第4页，课件共80页，创作于2023年2月1质点的动量:质点的质量与其速度的乘积，用表示，即22.1动量它用来表示质点机械运动强弱的一种物理量，矢量，其方向与速度方向一致。当质点之间存在力的相互作用时.动量可用来描述质点之间机械运动的传递关系第5页，课件共80页，创作于2023年2月2质点系的动量：质点系的动量:质点系中各质点的动量的矢量和将质点系质心的矢径公式若质点系中质点相对于空间某一固定点o的矢径为它的质量为,速度为,则其动量为第6页，课件共80页，创作于2023年2月质点系的动量等于想象地将质点系的质量都集中于质心时质心的动量。质点系的动量是表示其质心运动的一个特征量。表明两边对时间求一阶导数可得将它代入得质点系动量的简洁表达式第7页，课件共80页，创作于2023年2月

由质点系的动量定理的定义知，质点系的动量符合叠加原理.因此，当一个质点系由个刚体组成时，其动量可写成式中分别为第个刚体的质量和质心的速度。第8页，课件共80页，创作于2023年2月

例22.1图示各均质物体重量为Q,物体尺寸与质心速度或绕轴转动的角速度如图所示.试计算各物体对O点的动量矩.解:由于杆绕O轴转动,根据转动刚体对于转轴的动量矩公式,有而L第9页，课件共80页，创作于2023年2月故2，由于圆盘绕O轴转动,仿上可有而

所以

R第10页，课件共80页，创作于2023年2月３，由于圆盘绕O轴转动,故有将之值代入(1)式中（１）则C第11页，课件共80页，创作于2023年2月4.由于圆盘绕瞬时中心O转动,其对转轴O之动量矩为根据转动惯量的平行移轴定理,得所以

（2）但因O轴瞬时中心,故

（3）RC第12页，课件共80页，创作于2023年2月将(3)式代入(2)中,得第13页，课件共80页，创作于2023年2月力的冲量:用来度量在一段时间内的积累的效果通常定义为任意力在微小时间间隔内的元冲量22.2冲量将定义为力在时间间隔内的冲量，并用表示，第14页，课件共80页，创作于2023年2月力系的冲量：将作用于质点上各力的冲量的矢量和定义为力系的冲量。即力系的冲量为交换求和与积分的顺序，并将力系的主矢代入得第15页，课件共80页，创作于2023年2月表明力系的冲量等于力系的主矢在同一个时间间隔内的冲量。由于内力系和力偶系的主矢都为零，故这两种力系的冲量也都为零。22.3动量定理1) 质点的动量定理的微分形式：当质点的质量不变时，牛顿第二定律可写为22.3.1动量定理第16页，课件共80页，创作于2023年2月它又可以写为即质点的动量的微分等于作用于其上的合力的元冲量，称为质点动量定理的微分形式。2)质点的动量定理的积分形式：

将式在时间至积分并将代入可得第17页，课件共80页，创作于2023年2月即质点在至时间间隔内动量等于作用于其上的合力在同一时间间隔内的冲量，称为质点动量定理的积分形式。22.3.2质点系的动量定理1)质点系动量定理的微分形式设作用于质点系中质点上质点系的内力和外力的合力分别为第18页，课件共80页，创作于2023年2月质点系的动量的微分等于作用于其上的外力系的主矢的元冲量，称为质点系动量定理的微分形式表明根据将它们求矢量和，再交换求和与求微分的次序，并将式和代入得第19页，课件共80页，创作于2023年2月表明2）质点系动量定理的积分形式将上式在时间至内积分得质点系在至时间间隔内动量的改变量等于作用于其上的外力系的主矢在同一时间间隔内的冲量，称为质点系动量定理的积分形式。第20页，课件共80页，创作于2023年2月PS尽管质点系的内力不会改变质点系的动量，但是它能够引起质点系内各质点的动量的相互改变.动能定理的表达式都是矢量式.它们可以向固连于惯性参考系的直角坐标轴投影,得到相应的投影式.第21页，课件共80页，创作于2023年2月22.3.3质点系的动能守恒定律若质点系的外力系的主矢则由式可得，质点系的动量K=常矢量;若质点系的外力系的主矢在某一个固连于惯性参考空间的直角坐标轴，如轴上的投影,则由得质点系的动量在该轴上的投影=常数这就称为质点系的动量守恒定律。第22页，课件共80页，创作于2023年2月表明对于不变质点系，则M=常数。此时上式两边同除得质点系的质量与其质心加速度的乘积等于作用与其上外力系的主矢，称为质心的运动定理。

22.4质心运动定理22.4.1质心运动定理将质点系的动量表达式代入质点系的动量定理得微分形式第23页，课件共80页，创作于2023年2月质点系的动量定理其实质只能描述其质心的运动，且与这样的一个质点的运动相同，该质点的质量等于质点系的质量，并受到一个大小和方向与该质点系的外力系的主矢相同的力的作用。质点系质心的这种运动不仅与质点系的内力无关，而且与作用在其上个外力的作用点位置也无关。注意第24页，课件共80页，创作于2023年2月式中分别为第i个刚体的质量和其质心的加速度。若一个质点系由n个刚体组成，则由式或质心矢径公式知，其质心运动定理可表示为第25页，课件共80页，创作于2023年2月设系统中各刚体的质心在同一时间间隔内产生的有限位移，则由上式及系统的质心矢径公式可得当质点系由n个刚体组成时,若作用在其上的外力系主矢,且初始时,系统的质心速度为零，则根据式知,系统的质心相对于某固定点O的矢径

=常矢量22.4.2质心运动守恒定律第26页，课件共80页，创作于2023年2月于是有易知系统得质心在该轴上的坐标值若外力系的主矢在固连于惯性参考空间的直角坐标轴，如轴上的投影,且初始时系统得质心速度在该轴上的投影等于零，则由式在该轴上的投影式=常数第27页，课件共80页，创作于2023年2月于是有这个结论就是质心运动的守恒定律现假设各刚体对该轴得坐标值同时产生有限改变量，则由上式及系统的质心坐标公式可得第28页，课件共80页，创作于2023年2月把质点D在某瞬时相对于空间某一固定点的矢径与其动量的叉积定义为该瞬时质点D的动量对点O的动量矩，记作22.5动量矩22..5.1质点的动量矩第29页，课件共80页，创作于2023年2月若在O点建立直角坐标系，则式中i,j,k,分别为轴正向的单位矢量为点D的坐标分别为沿轴的投影。第30页，课件共80页，创作于2023年2月与定义力对轴的矩类似，可定义动量对轴的矩，又称为质点对轴的动量矩，并且相应的有以下结论：质点对某一固定轴的动量矩等于质点对该轴上任意一点A的动量矩在该轴上的投影。即式中为轴正向的单位矢量。

质点对点的动量矩式一个定位矢量而质点对轴的动量矩是一个代数量

注意第31页，课件共80页，创作于2023年2月22.5.2质点系的动量矩

1）质点系对某个固定点、某固定轴的动量矩。设质点系中质点相对于某一固定点O的矢径为，动量为。将质点系中各质点对固定点o得动量矩的矢量和定义为质点系对该点的动量矩。用表示，即第32页，课件共80页，创作于2023年2月

与力系对不同两点的主矩关系类似，质点对不同的两固定点O,A得动量矩的关系为将质点系中各质点对某一固定轴的动量矩的代数和为质点系对该轴的动量矩用表示(式中为系统的动量)即:第33页，课件共80页，创作于2023年2月BAO

例22.2图示无重细杆长为L,两端各固连一个质量为m的小球A和B,在杆的中点O受固定铰支座约束;杆的角速度为,转向为逆时针,求系统对O的动量矩.第34页，课件共80页，创作于2023年2月解:的大小为

的方向为垂直纸面向外第35页，课件共80页，创作于2023年2月2）质点系对动点的动量矩设在惯性参考系中有任意一动点A，其速度为现以A为原点建立平动直角坐标系设质点系中质点相对于A的矢径为相对于平动直角坐标系的相对速度为第36页，课件共80页，创作于2023年2月将质点系中各质点的相对动量对动点A的矩的矢量和定义为质点系对该点的相对动量矩，用表示，质点的绝对速度为则由复合运动的知识知，即第37页，课件共80页，创作于2023年2月将质点系中各质点的相对动量对动点A的矩的矢量和定义为质点系对该点的相对动量矩用表示即将代入并由第38页，课件共80页，创作于2023年2月可得

这就是质点系对动点的绝对动量矩的关系式当A取质心时

质点系质心C相对于A的矢径公式质点系对质心的绝对动量矩与相对动量矩相等第39页，课件共80页，创作于2023年2月22.5.3刚体的动量矩(1)平动刚体:

平动刚体对任意固定点A的动量矩为将平动刚体的质量全部集中在质心时对A的动量矩(2)定轴转动刚体:

根据代入各相关式子所得,结果说明定轴转动刚体对轴上任意一点的动量矩方向一般不沿转轴(3)一般平面运动刚体:

第40页，课件共80页，创作于2023年2月22.6动量矩定理

22.6.1质点的动量矩定理

设质量为m的质点D对固定点O的矢径r,作用在其上的合力为F,将该质点对O点的动量矩对时间求一阶导数得因则由牛顿第二定律知故右端第二项为合力F对O点的矩.第41页，课件共80页，创作于2023年2月质点对某一固定点的动量矩对时间得一阶导数等于作用在其上的合力对同一点的矩,称为质点的动量矩定理.表明于是22.6.2质点系对固定点的动量矩定理1)质点系对固定点的动量矩定理由质点的动量矩定理即知,质点系中有第42页，课件共80页，创作于2023年2月表明对各质点求和,交换求和与求导的关系

内力成对出现,它们对同一点的动量矩的矢量和为零即得质点系对某一固定点得动量矩对时间的一阶导数等于作用在其上外力系对同一点的主矩,称为质点系对固定点得动量矩定理.第43页，课件共80页，创作于2023年2月

例22.3图示均质圆轮A和B的质量均为m,半径都为r在轮A上作用一力偶矩为的主动力偶并通过不可伸长的,质量可不计的柔绳带动轮B在与水平段绳平行的水平地面上作纯滚动,绳与轮之间无相对滑动.试求圆轮B中心的加速度及圆轮B与地面间的摩擦力.BA第44页，课件共80页，创作于2023年2月解：即需求加速度，又要求约束反力的问题，受力分析很关键，纯滚动的摩擦力属静摩擦力，其方向依赖于主动力，一般可先假定其指向。动量矩定理经常与质心运动定理联合使用。若列写的独立动力学方程个数比其中未知量个数少，则一般可补充运动学关系是方程封闭。其具体解题过程为：1，取圆轮B为研究对象，其受力分析如图Nmg第45页，课件共80页，创作于2023年2月由质心运动定理，得到由对定点A的动量矩定理由知第46页，课件共80页，创作于2023年2月得到于是化为2，取圆轮A为研究对象,其受力分析如图。Amg由对定点A的动量矩定理第47页，课件共80页，创作于2023年2月3，以上方程含有5个未知量，补充以下两个运动学关系4，联立以上几个方程，可以得第48页，课件共80页，创作于2023年2月PS2)质点系对动点的动量矩定理A的主矩外力系对动点A为移动点,C为刚体的质心这就是质点系对动点的动量矩定理的数学表达式.对于动点A,一般不成立.但是有三种例外.第49页，课件共80页，创作于2023年2月质点系对其质心的动量矩对时间的一阶导数等于作用于其上外力系对质心的主矩,称为质点系相对于质心的动量矩定理.这说明(1)动点A就取质点系的质心,因变为(2)当时变为

此时=常矢量,即平动坐标系也是一个惯性参考系第50页，课件共80页，创作于2023年2月这说明(3)当动点A取为刚体的速度瞬心P的时候,将两边对时间求一阶导数,并将代入得得刚体对其速度瞬心得动量矩定理,其形式与刚体对定点的动量矩定理相同.将代入第51页，课件共80页，创作于2023年2月注意(1)若利用动量矩定理来建立系统的动力学方程,一般是对定点或质心来列写动量矩方程,这样比较方便.(2)在动力学中,必须将刚体运动和它所受的力联系起来.考虑到质心运动定理可将刚体的质心运动与外力联系起来,相对于质心的动量矩定理又可将质心平动坐标系的转动和外力系对质心的主矩联系起来.因此在动力学中,将一般平面运动的刚体的基点选在质心上是方便的.第52页，课件共80页，创作于2023年2月刚体运动所受的力质心运动定理质心运动外力质心平动坐标系的转动外力系对质心的主矩相对于质心的动量矩定理图示第53页，课件共80页，创作于2023年2月例22.4图示均质细杆AB质量为m,长为L,其B端面与光滑水平面接触,初始时杆与前垂线的夹角为.试求杆无初速度释放的瞬间,水平面对杆的约束反力.xyCBoA

解:(1)对杆进行受力分析如图(2)建立图示直角坐标系用,且初始时,则,即质心沿铅垂线运动,于是

(1)第54页，课件共80页，创作于2023年2月

对时间求一阶导数,将初瞬时,代入得(2)(3)由质心运动定理(4)由对质心的动量矩定理

(5)联立(2)(3)(4)解得(4)(3)第55页，课件共80页，创作于2023年2月转向如图所示4.质点系动量矩守恒定律作用于其上的外力系对O点的主矩为零,即,质点系得动量矩守恒定律作用于其上的外力系对某一固定直角坐标系的坐标轴的矩为零,即,xyCBOA第56页，课件共80页，创作于2023年2月规定转角顺时针方向为正例22.5圆柱体的质量是,在其中部绕以细绳,绳的一端固定不动.圆柱体解开绳子而下坠,其初速度为零.求当圆柱体的轴降落了高度时,这轴的速度和绳子的张力.解:

研究圆柱体.在当解开绳子它下落时,作平面运动.其上作用有绳子的张力和重力

AhB以圆柱体重心下落的起始位置为原点,选静止坐标系如图.第57页，课件共80页，创作于2023年2月由刚体平面运动微分方程,可有

(1)(2)

因点为瞬心,故将此值代入(1)式中,得所以

(3)第58页，课件共80页，创作于2023年2月将(3)式代入(2)中,则或

由此得到根据初始条件,当时

因之

所以(5)

再将(5)式进行积分,并考虑到第59页，课件共80页，创作于2023年2月将(6)式得入(5)中,即得圆柱体的轴下落时的速度为绳子的张力为

有

故

(6)

第60页，课件共80页，创作于2023年2月2.这里考虑到圆柱体沿绳滚而不滑的运动条件，建立了补充方程

1.在解平面运动问题时，质心加速度的正向与绕质心转动的角加速度的正向，必须规定一致，否则出现正负号上的麻烦。

小结

第61页，课件共80页，创作于2023年2月例22.6位于铅垂平面的均质杆AB和BD,长度均为L重量都是P.杆AB的A端预固定绞支座连接.B端与杆BD铰连.杆BD的D端与可沿铅垂滑槽滑动的滑块D绞接.今用一细绳将B点拉住,使杆AB和BD位于同一直线上,该直线与水平面间的夹角为,系统保持平衡,如图各处摩擦和滑块D的质量与大小略去不计。试求（1）剪断绳子瞬时,滑槽相对于滑块D的反力（2）杆AB运动至水平位置时,杆AB的角速度第62页，课件共80页，创作于2023年2月解

1)求剪断绳子后滑槽对滑块D的反力设AB杆有瞬钟向角加速度，BD杆有逆钟向角加速度由于初瞬时两杆角速度和均等于零，所以BD杆作平面运动，以B点为基点分析D点的加速度。其中DBA第63页，课件共80页，创作于2023年2月将上式分别沿DB和垂直于DB方向投影，可得求得即D点为该瞬时加速度瞬心所以BD杆质心C的加速度ABDBDCP取BD为研究对象，受力如图。BD杆作平面运动，根据平面运动微分方程，有第64页，课件共80页，创作于2023年2月取AB为研究对象，受力如图。AB杆作定轴转动，应用定轴转动微分方程，有考虑到由以上几式解得剪断绳子瞬时时，AB杆和BD杆的角加速度以及滑块D处反力分别为BAP第65页，课件共80页，创作于2023年2月2）求杆AB运动至水平位置时的角速度取整个系统为研究对象，利用动能定理求解。因为系统在初瞬时，AB杆与BD杆的角速度均为零，且BD杆的质心速度也为零。而当AB杆运动到水平位置时，若设AB杆的角速度为，此时BD杆为瞬时平动。所以系统在这一过程的初动能和末动能为第66页，课件共80页，创作于2023年2月系统在上述运动过程中重力所作的功根据动能定理有解得杆AB运动至水平位置时，杆AB角速度顺钟向CBAa第67页，课件共80页，创作于2023年2月

例22.7两根均质杆AD,BD质量都是M,长度都为L用光滑的铰链D连接并放在光滑水平面上，如图所示。开始时，系统静止于铅直面内，且杆对水平面的倾角是。求两杆运动到与水平面成倾角时铰销D的速度和加速度，并求水平面的支反力。DAB解：系统由于质量分布和受力对称，以及所给的初始条件，将保留在原铅直平面内它的位置用角确定。第68页，课件共80页，创作于2023年2月

取整个系统为研究对象，受力如图。应用动能定理的积分形式求速度，用动量定理或质心运动定理求反力。yxDOAB(1)求速度和加速度由于对称，在系统的铅垂平面内取固定坐标系Oxy，在系统的运动过程中，，系统的初速度等于零，因此系统的质心C在水平方向的位置守恒，即C将沿铅垂线下降第69页，课件共80页，创作于2023年2月因而铰销D也沿铅垂线下降。同时杆端A,B只能沿着x轴按反方向分开。所以两杆在平面运动中各自的速度瞬心分别是E、F.根据动能定理的积分形式其中初动能，系统在任意位置的动能而第70页，课件共80页，创作于2