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文档简介

第六讲矩阵的初等变换与初等矩阵§3.1

矩阵的初等变换§3.2

初等矩阵第一节矩阵的初等变换

矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，它在解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到非常重要的作用。引例：用消元法解下面的线性方程组

在上述过程中，对线性方程组的消元操作实际上就是对整个线性方程组进行了三种操作:(1)对某一方程两边同时乘以不为零的常数；(2)交换方程组中两个方程的位置；(3)给某一方程乘以常数k加到另一个方程上去。上述的三种操作又都是可逆的，因而变换前的方程组与变换后的方程组是同解方程组。同时还看到，上述变换过程中实际上只对方程组的系数和常数进行运算，这就相当于是对该方程组所对应的增广矩阵进行了：(1)给某一行所有元素都乘以一个非零常数；(2)交换两行元素的位置；(3)给某一行所有元素乘常数k加到另一行的对应元素上去。把定义中和“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把“r”换成“c”）。矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为矩阵的初等变换。定义：下面三种变换称为矩阵的初等行变换：1)交换两行(记为ri↔rj);2)以数k

0乘某一行所有元素（记作rj×k）;3)把某一行所有元素的k倍加到另一行的对应元素上去（记作ri+krj）显然，三种初等变换都是可逆的，且其变换是同一类型的初等变换。变换ri↔rj的逆变换就是本身；变换rj×k的逆变换为rj×(1/k)；变换ri+krj的逆变换为ri+(－krj)

。如果A经过有限次初等变换变为矩阵B，称矩阵A与B是等价的，记为A～B。矩阵的等价关系有如下性质：反身性：A～A

对称性：A～B，则B～A传递性：A～B，B～C，则A～C

在数学上，我们把满足上述三条性质的关系称之为等价。由前面的引例可以看出，同时也不难证明对矩阵进行行的初等变换，可以把矩阵化为行阶梯矩阵，进而可以化为行最简矩阵。对行最简矩阵再施以列的初等变换，行最简矩阵可变成一种形状更简单的矩阵，称它为矩阵的标准形。矩阵标准形的特点是：其左上角是一单位矩阵，其余元素全是零。可以证明，任何一个m×n阶矩阵A，都可以经过初等变化化为标准形F。此标准形由m、n、r三个数完全确定，其中r就是行阶梯矩阵中非零行的行数，所有与A等价的矩阵组成了一个集合，这个集合称为一个等价类，标准形F是这个等价类中形状最简单的矩阵。例1.用初等行变换化矩阵为行阶梯形矩阵.例2.用初等行变换把矩阵化成行最简形矩阵。第二节初等矩阵定义：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。三种初等变换所对应的三个初等矩阵为设矩阵Am×n，Em(i,j)，En(i,j)，Em(i(k))，En(i(k))，Em(ij(k))，En(ij(k))，则可以验证：定理1.设A是一个m×n阶矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于对A左乘以相应的m

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