2022-2023学年广西南宁市高一年级下册学期期末考试数学试题【含答案】

2022-2023学年广西南宁市高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知a为实数，若复数为纯虚数，则（

）A．i B． C．1 D．【答案】B【分析】由给定复数为纯虚数求出，再利用复数的乘方运算及除法运算求解作答.【详解】因为复数为纯虚数，则，解得，所以.故选：B2．我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡三百人，南乡两百人，凡三乡，发役六十人，而北乡需遗十，问北乡人数几何？“其意思为：“今有某地北面若干人，西面有300人，南面有200人，这三面要征调60人，而北面共征调10人（用分层抽样的方法），则北面共有（

）人．”A．200 B．100 C．400 D．300【答案】B【分析】根据分层抽样的定义结合题意列方程求解即可【详解】设北面共有人，则由题意可得，解得，所以北面共有100人，故选：B3．一个斜边长为2的等腰直角三角形绕斜边旋转一周，所形成的几何体的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可知，所形成的几何体是由底面半径为1，高为1的两个圆锥拼接而成，则其表面积是两个圆锥的侧面积之和【详解】由题意可知，所形成的几何体是由底面半径为1，高为1的两个圆锥拼接而成，所以所形成的几何体的表面积为，故选：D4．设，是互不重合的平面，，，是互不重合的直线，下列命题中正确的是（

）A．若，，，则 B．若，，，，则C．若，，，则 D．若，，，，则【答案】B【分析】对于A，可能相交，也可能平行，可判断A;根据面面垂直的性质定理可判断B;对于C，判断m,n可能平行也可能异面，即可判断正误，对于D，根据线面垂直的的判定定理可判断.【详解】对于A，，，，则可能相交，也可能平行，故A错误‘对于B,若，，，，根据面面垂直的性质定理可知，故B正确；对于C,若，，，则m,n可能平行也可能异面，故C错误；对于D，若，，，，由于不能确定m,n是否相交，故不能确定，故D错误，故选:B5．已知某人射击每次击中目标的概率都是0.6，现采用随机模拟的方法估计其3次射击至少2次击中目标的概率．先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4，5表示击中目标，6，7，8，9表示未击中目标；因为射击3次，所以每3个随机数为一组，代表3次射击的结果．经随机模拟产生了以下20组随机数：169

966

151

525

271

937

592

408

569

683471

257

333

027

554

488

730

863

537

039据此估计的值为（

）A．0.6 B．0.65 C．0.7 D．0.75【答案】B【分析】由20组随机数中找出至少2次击中目标的包含的随机数的组数，即可求概率的值.【详解】20组随机数中至少2次击中目标的包含的随机数为：151

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039一个有组，所以其3次射击至少2次击中目标的概率，故选：B.6．设，，，则下列结论正确的是A． B． C． D．【答案】D【详解】试题分析：因为，，，又函数在上是增函数，所以，，故选D.【解析】1、两角和的正弦公式；2、正弦函数的单调性.7．已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用空间向量的线性运算性质，结合空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】设该正面体的棱长为，因为M为BC中点，N为AD中点，所以，因为M为BC中点，N为AD中点，所以有，，根据异面直线所成角的定义可知直线BN与直线DM所成角的余弦值为，故选：B8．已知函数，若在上无零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先结合二倍角公式和辅助角公式将函数进行化简，得，由于在上无零点，因此，且，，在的条件下，解不等式可得解.【详解】，由，得，因为在上无零点，所以，得，因为，所以，因为，，所以解得，因为，所以解得，因为，所以或，当时，，当时，，所以的取值范围是，故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的综合问题，考查三角恒等变换公式的应用，考查函数与方程，解题的关键是将函数在上无零点，利用正弦函数的性质转化为关于的不等式组，从而可求得结果，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.二、多选题9．为普及疫情知识，某校不定期地共组织了10次全员性的防控知识问答竞赛，下面是甲、乙两个班级10次成绩Y（单位：分）的折线图：根据折线图（）A．甲班的成绩分数呈上升趋势B．甲班乙班的成绩分数平均值均为7C．甲班成绩分数的方差大于乙班成绩分数的方差D．从第7次到第10次甲班成绩分数增量大于乙班成绩分数增量【答案】ABCD【分析】由频率分布折线图,判断甲班的成绩分数呈.上升趋势，计算甲、乙两班成绩平均值，估计它们的方差大小，判断成绩分数增量情况.【详解】对于A，由频率分布折线图知，甲班的成绩分数呈上升趋势，A正确；对于B，计算甲班成绩平均值为，计算乙班成绩平均值为，所以甲班乙班的成绩分数平均值均为7，故B正确；对于C，根据甲班成绩数据比乙班成绩数据波动性更大些，所以甲班方差比乙班方差大些，故C正确；对于D，由频率分布折线图知，从第7次到第10次甲班成绩分数增量大于乙班成绩分数增量，故D正确.故选:ABCD.10．关于函数，下列说法正确的是（

）A．若是函数的零点，则是的整数倍B．函数的图象关于点对称C．函数的图象与函数的图象相同D．函数的图象可由的图象先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到【答案】BC【分析】首先由三角恒等变换化简函数解析式，作出图象，数形结合判断A错误；由正弦函数的对称性可判断函数的对称性；利用三角函数诱导公式可判断C选项；根据三角函数图象变换规则可判断D选项.【详解】，画出函数的图象，如图所示：的图象与轴相邻的两个交点的距离不相等，且不为，故A错；因为，所以函数的图象关于对称，则函数的图象关于点对称，故B正确；函数，故C正确；函数的图象可由先向上平移个单位，再向左平移个单位长度得到，故D错误.故选：BC【点睛】本题考查三角恒等变换、正弦型函数的对称性、三角函数诱导公式及三角函数图象变换规则，属于中档题.11．已知向量，，，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．存在，使得C．向量是与共线的单位向量 D．在上的投影向量为【答案】BCD【分析】根据向量关系依次计算判断即可.【详解】对A，若，则，则，故A错误；对B，要使，则，则，因为，所以，故存在，使得，故B正确；对C，因为，所以，又，所以向量是与共线的单位向量，故C正确；对D，因为为单位向量，则在上的投影向量为，故D正确.故选：BCD.12．如图，正方体的棱长为2，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且满足平面，则下列结论中正确的是（

）A．平面截正方体所得截面面积为B．点F的轨迹长度为C．存在点F，使得D．平面与平面所成二面角的正弦值为【答案】AC【分析】取CD中点G，连接BG、EG，计算截面的面积后判断A的正误，取中点M，中点N，则点F的运动轨迹为线段MN，故可判断B的正误，取MN的中点F，则可判断，故可判断C的正误，而即为平面与平面所成二面角，计算其正弦值后可判断D的正误.【详解】取CD中点G，连接BG、EG，则等腰梯形为截面，而，，故梯形面积为，A正确；取中点M，中点N，连接，则，故四边形为平行四边形，则得，而平面，平面，故平面，同理平面，而，平面，故平面平面，∴点F的运动轨迹为线段MN，其长度为，B错误；取MN的中点F，则，∴，∵，∴，C正确；因为平面平面且，，∴即为平面与平面所成二面角，，D错误．故选：AC.三、填空题13．设平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为．【答案】【分析】根据已知条件，运用向量的投影公式，即可求解．【详解】在方向上的投影向量．故答案为：14．基尼系数是国际上用来综合衡量居民内部收入分配差异状况的一个重要指标，它的一种简便易行的计算方法是根据中位数对平均数的占比来估计基尼系数（换算表如下表所示）.假设某地从事自媒体的人员仅有4人，年收入分别为5万元，10万元，30万元，55万元，则这4人的年收入的基尼系数为.中位数占比一基尼系数换算表：中位数占比0％20％40％50％60％70％80％90％95％100％基尼系数【答案】【分析】首先计算平均数和中位数，从而得到中位数对平均数的占比为，再根据换算表即可得到答案.【详解】4个人年收入的中位数为万元，4个人年收入的平均数为万元，则中位数对平均数的占比为，基尼系数为.故答案为：15．在中，，，，则的面积为．【答案】/【分析】由已知和内角和定理得到与的关系式及的范围，利用二倍角的余弦可得的值，根据正弦定理求出，利用诱导公式可得，根据面积公式求出即可．【详解】由，和，得，所以．故，即，可得，．又由正弦定理，得，可得，由，，，．故答案为：16．已知正方形中，，E是边的中点，现以为折痕将折起，当三棱锥的体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为．【答案】//【分析】由是边的中点，可得为定值，当平面平面时，高最大值，此时体积最大，求得三角形外接圆的半径，即可求得球的表面积．【详解】由题意，当平面平面时，三棱锥的高有最大值，此时体积最大．是直角三角形，取斜边的中点，则为直角三角形的外心，设等腰三角形的外心为，连接，则平面，则，即为三棱锥的外接球的球心，在中，，，则，得，外接球半径，三棱锥外接球的表面积为．故答案为：四、解答题17．某课外活动小组有三项不同的任务需要完成，已知每项任务均只分配给组员甲和组员乙中的一人，且每项任务的分配相互独立，根据两人的学习经历和个人能力知，这三项任务分配给组员甲的概率分别为，，.（1）求组员甲至少分配到一项任务的概率；（2）设甲、乙两人分配到的任务数分别为项和项，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先求甲一项任务都没有被分配的概率，利用对立事件的概率求法求组员甲至少分配到一项任务的概率.（2）由题意知，或，，可得三项任务可分配情况：甲甲甲，甲甲乙，甲乙甲，乙甲甲，再应用独立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式求概率即可.【详解】（1）记事件为甲一项任务都没有被分配，则，∴组员甲至少分配到一项任务的概率为；（2）满足，即，或，，∴三项任务的具体分配对象依次为：甲甲甲，甲甲乙，甲乙甲，乙甲甲，故所求概率.18．在中，角、、的对边分别为、、，．(1)求；(2)若，且，求的周长．在①的面积为，②这两个条件中任选一个，补充在上面空白处，并完成解答．【答案】(1)(2)条件选择见解析，的周长为【分析】（1）利用余弦定理、切化弦以及正弦定理化简可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）选①，利用三角形的面积公式可求得，结合余弦定理可求得的值，即可得出的周长；选②，求出、的值，利用正弦定理可求得、的值，即可得出的周长.【详解】（1）解：由余弦定理可得，则，同理可得，因为，即，由题意，且，所以，，所以，，因为，则，所以，，故.（2）解：若选①：，可得，由余弦定理可得，所以，，解得，因此，的周长为；若选②：因为，则为锐角，则，由正弦定理可得，所以，，，由正弦定理可得，得，因此，的周长为.19．某校为了提高学生安全意识，利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛（满分150分），加强对学生的安全教育，通过知识竞赛的形式，不仅帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处，还教会了同学们溺水自救的方法，提高了应急脱险能力．现抽取了甲组20名同学的成绩记录如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，141，142．抽取了乙组20名同学的成绩，将成绩分成[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]五组，并画出了其频率分布直方图．(1)根据以上记录数据求甲组20名同学成绩的中位数和第80百分位数；(2)估计乙组20名同学成绩的平均分（同组中的每个数据用该组区间的中点值代表替）；(3)现从甲乙两组同学的不低于140分的成绩中任意取出2个人的成绩，求取出的2个人的成绩不在同一组的概率．【答案】(1)中位数是，第80百分位数为(2)(3)【分析】（1）利用中位数与第百分位数的定义即可求解；（2）利用在频率分布直方图中，平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和即可求解；（3）利用列举法写出基本事件的个数，结合古典概型的计算公式即可求解.【详解】（1）由题意可知，甲组20名同学成绩的中位数是，∵，∴甲组20名同学成绩的第80百分位数为．所以甲组20名同学成绩的中位数为119,甲组20名同学成绩的第80百分位数为133.（2）由频率分布直方图可知：乙组20名同学成绩的平均数分为：．（3）甲组20名同学的成绩不低于140（分）的有2个，记作、；乙组20名同学的成绩不低于140（分）的有个，记作、、．记事件为“取出的2个成绩不是同一组”，任意选出2个成绩的所有样本点为：，，，，，，，，，，共10个，其中两个成绩不是同一组的样本点是：，，，，，，共6个，∴．所以取出的2个人的成绩不在同一组的概率为.20．如图所示，正四棱锥中，O为底面正方形的中心，已知侧面与底面所成的二面角的大小为60°，E是PB的中点．

(1)请在棱AB与BC上各找一点M和N，使平面∥平面，作出图形并说明理由；(2)求异面直线与所成角的正切值．【答案】(1)作图、理由见解析(2)【分析】（1）取,的中点,，连接,，可得平面，再利用面面平行的判定定理证明即可；（2）连接,，可得为异面直线与所成的角或其补角，计算即可；【详解】（1）分别取,的中点,，连接,，

则平面平面，证明：在中，,分别为，的中点，所以，同理，，又平面，平面，所以平面，同理平面又平面，所以平面平面，（2）连接,，取中点为，连接,由于,由于底面，底面,，又因为，，，平面，所以平面,平面,故,故为侧面与底面所成的二面角的平面角，故60°，不妨设底面正方形的边长为，则，,

因为，所以为异面直线与所成的角或其补角，因为，，，,平面，所以平面，又平面，所以，所以，所以，则异面直线与所成角的正切值为；21．为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD．其中AB＝3百米，AD＝百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设∠BAD＝，(，)．（1）当cos＝时，求小路AC的长度；（2）当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度．【答案】（1）；（2）【分析】（1）在△ABD中，由余弦定理可求BD的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinθ，根据正弦定理可求sin∠ADB，进而可求cos∠ADC的值，在△ACD中，利用余弦定理可求AC的值．（2）由（1）得：BD2＝14﹣6cosθ，根据三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求．SABCD＝7sin（θ﹣φ），结合题意当θ﹣φ时，四边形ABCD的面