高考数学热点专题7之7与球有关的切与接问题（原卷版）

与球有关的切与接问题思路引导思路引导一．与球有关的切、接问题的解法1.旋转体的外接球：常用的解题方法是过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．2.多面体的外接球：常用的解题方法是将多面体还原到正方体和长方体中再去求解．①若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体，利用2R＝eq\r(a2＋b2＋c2)求R.②一条侧棱垂直底面的三棱锥问题：可补形成直三棱柱．先借助几何体的几何特征确定球心位置，然后把半径放在直角三角形中求解．二．外接球8大模型秒杀公式推导1.墙角模型使用范围：3组或3条棱两两垂直；或可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合推导过程：长方体的体对角线就是外接球的直径秒杀公式：图示过程2.汉堡模型（1）使用范围：有一条侧棱垂直与底面的柱体或椎体（2）推导过程第一步：取底面的外心O1,，过外心做高的的平行且长度相等，在该线上中点为球心的位置第二步：根据勾股定理可得（3）秒杀公式：（4）图示过程3.斗笠模型（1）使用范围：正棱锥或顶点的投影在底面的外心上（2）推导过程第一步：取底面的外心O1,，连接顶点与外心，该线为空间几何体的高h第二步：在h上取一点作为球心O第三步：根据勾股定理（3）秒杀公式：（4）图示过程4.折叠模型使用范围：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠推导过程微信公众号：钻研数学第一步：过两个平面取其外心H1、H2，分别过两个外心做这两个面的垂线且垂线相交于球心O第二步：计算第三步：（3）秒杀技巧：（4）图示过程5.切瓜模型（1）使用范围：有两个平面互相垂直的棱锥（2）推导过程：第一步：分别在两个互相垂直的平面上取外心F、N，过两个外心做两个垂面的垂线，两条垂线的交点即为球心O，取BC的中点为M，连接FM、MN、OF、ON第二步：（3）秒杀公式：（4）图示过程6.麻花模型（1）使用范围：对棱相等的三棱锥（2）推导过程：设3组对棱的长度分别为x、y、z,长方体的长宽高分别为a、b、c秒杀公式：图示过程7.矩形模型（1）使用范围：棱锥有两个平面为直角三角形且斜边为同一边（2）推导过程：根据球的定义可知一个点到各个顶点的距离相等该点为球心可得，斜边为球的直径（3）秒杀公式：（4）图示过程鳄鱼模型使用范围：适用所有的棱锥推导过程：（3）秒杀公式：（4）图示过程内切球的半径---等体积法推导过程秒杀公式：图示过程特别说明：下面例题或练习都是常规方法解题，大家可以利用模型的秒杀公式母题呈现母题呈现技法1：几何体的外接球【例1】（1）（2022·全国乙（理）T9）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A. B. C. D.（2）（2022·新高考Ⅱ卷T7）正三棱台高为1，上下底边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是（）A. B. C. D.【解题技法】“接”的问题处理规律(1)旋转体的外接球：常用的解题方法是过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)多面体的外接球：常用的解题方法是将多面体还原到正方体和长方体中再去求解．①若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体，利用2R＝eq\r(a2＋b2＋c2)求R.②一条侧棱垂直底面的三棱锥问题：可补形成直三棱柱．先借助几何体的几何特征确定球心位置，然后把半径放在直角三角形中求解．【跟踪训练】1.（2022·吉林省实验中学模拟预测）已知三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝3，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为()A.eq\f(7\r(14),3)πB．14πC．56πD.eq\r(14)π2.（2021•甲卷T11）已知，，是半径为1的球的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为A． B． C． D．技法2：几何体的内切球【例2】（2020•新课标Ⅲ）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为．【解题技法】“切”的问题处理规律(1)找准切点，通过作过球心的截面来解决.(2)体积分割是求内切球半径的通用方法.【跟踪训练】（2022·辽宁实验中学模拟预测）如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为()A.eq\f(\r(6)π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,6) D.eq\f(\r(3)π,3)技法3：截面法处理切与接中的最值问题【例3】(1)(2022·成都模拟)已知圆柱的两个底面的圆周在体积为eq\f(32π,3)的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为()A．4πB．8πC．12πD．16π(2)（2022·陕西·西安中学模拟预测）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．【解题技法】(1)与球截面有关的解题策略①定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；②作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的．(2)正四面体的外接球的半径R＝eq\f(\r(6),4)a，内切球的半径r＝eq\f(\r(6),12)a，其半径R∶r＝3∶1(a为该正四面体的棱长)．【跟踪训练】（2022·山东日照·一模）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9eq\r(3)，则三棱锥D­ABC体积的最大值为()A．12eq\r(3) B．18eq\r(3)C．24eq\r(3) D．54eq\r(3)(2)(2022·长沙检测)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是________．模拟训练模拟训练1．（2023春·河南安阳·高三安阳一中校考模拟）若棱长均相等的正三棱柱的体积为，且该三棱柱的各个顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为（

）A． B． C． D．2．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末）在古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻有一个令他最引以为傲的几何图案.该几何图案是内部嵌入一个内切球的圆柱，且该圆柱底面圆的直径与高相等，则该圆柱的内切球与外接球的体积之比为（

）A． B． C． D．3．已知是边长为3的等边三角形，其顶点都在球O的球面上，若球O的体积为，则球心O到平面ABC的距离为（

）A． B． C．1 D．4．（2023·安徽·统考一模）在三棱锥中，底面，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．5．（2023秋·天津南开·高三校考模拟）如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为（

）A． B． C． D．6．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上､下底面的半径分别为3和4，球的表面积为，则该圆台的体积为（

）A． B． C． D．7．已知菱形ABCD的各边长为2，.将沿AC折起，折起后记点B为P，连接PD，得到三棱锥，如图所示，当三棱锥的表面积最大时，三棱锥的外接球体积为（

）A． B． C． D．.8．（2023·贵州贵阳·统考一模）棱锥的内切球半径，其中，分别为该棱锥的体积和表面积，如图为某三棱锥的三视图，若每个视图都是直角边长为的等腰直角形，则该三棱锥内切球半径为（

）A． B． C． D．9．（2023秋·湖南娄底·高三校联考期末）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图是阳马，，，，．则该阳马的外接球的表面积为（

）A． B．C． D．10．（湖南省部分市2023届高三下学期3月大联考数学试题）在直三棱柱中，为等边三角形，若三棱柱的体积为，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（

）A． B． C． D．11．（多选题）正三棱锥的外接球半径为2，底面边长为，则此三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．12．（多选题）（2022秋·河北沧州·高三校联考阶段练习）某正四棱台的上、下底面边长分别为和，若该四棱台所有的顶点均在表面积为的球面上，则该四棱台的体积可能为（

）A． B． C． D．13．（多选题）已知正方体的棱长为，则（

）A．正方体的外接球体积为 B．正方体的内切球表面积为C．与异面的棱共有4条 D．三棱锥与三棱锥体积相等14．（多选题）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（

）A．该半正多面体的体积为B．该半正多面体过三点的截面面积为C．该半正多面体外接球的表面积为D．该半正多面体的顶点数、面数、棱数满足关系式15．（多选题）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点处的小棱锥所得的多面体，如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有棱长均为的截角四面体，则下列说法正确的是（

）A．该截角四面体的内切球体积 B．该截角四面体的体积为C．该截角四面体的外接球表面积为 D．外接圆的面积为16．（陕西省汉中市2021届高三上学期第五次校际联考文科数学试题）中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．在如图所示的堑堵中，，则堑堵的外接球的体积是__________．17．（2023·四川泸州·统考二模）已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为的球面上，若该圆柱的高是底面半径的2倍，则该圆柱的侧面积为________．18．（2023秋·江苏南京·高三校考期末）已知正四棱台的上、下底面的顶点都在一个半径为3的球面上,上、下底面正方形的外接圆半径分别为1和2,圆台的两底面在球心的同侧,则此正四棱台的体积为_____．19．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）已知三棱锥中，平面，则三棱锥外接球的表面积为__________.20．（2023·山东日照·统考一模）设棱锥的底面为